专题13超几何分布

1、专题13超几何分布例1有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽畀件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）A. ”B. （一1）C D.（川 + 1）NNN【解析】解：设抽到的次品数为X,则有N件产品，英中有M件次品，从中不放回地抽“件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X H（“，M, N）,:.抽到的次品数的数学期望值EX = N故选：C.例2.有6个大小相同的黑球，编号为1, 2, 3, 4, 5, 6,还有4个同样大小的白球，编号为7, 8, 9, 10, 现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；F表示取岀的最小号码：取出一 个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取岀的4

2、个球的总得分：“表示取出的黑球个数，这四 种变量中服从超几何分布的是（）A.B.C. D. 【解析】解：超几何分布取岀某个对象的结果数不左，也就是说超几何分布的随机变虽为实验次数，即指 某事件发生“次的试验次数，由此可知服从超几何分布.故选：B.例3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方 便的村庄数，则P（X=4）= 巴 （用数字表示）429【解析】 解： 由题意7x6x5 v 8x7p（X= 4） = W =3x2x1 % 百=140一C 15x14x13x12x11 4295x4x3x2xl故答案为：429例4有一批产品，其中有6件正品

3、和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为i3一【解析】解：从10件产品任取3件的取法共有,其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品.3件次品，取法分别为g, C；因此所求的概率容4故答案为二3例5设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为 A _15一【解析】解：从袋中10个球中任取4个球，共有V种取法，则其中恰有3个红球的取法为C；C；cjTT2040（4分故答案为JL.15例6在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是【解析】解:设抽到次品个数为歹,则H（3, 2, 10）nM 3x235 N 105故答案为：-5例

4、7.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球.从这10个球中任取3个.求:（1）取岀的3个球中红球的个数X的分布列：（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.【解析】解：（1）由题意知，随机变屋X的所有可能取值为0, 1, 2. 3,且X服从参数为N = 10，M=3, = 3的超几何分布，（1分）所以X的分伤列为:X0123P72171244040120（6 分（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A, “恰好取出1个红球和2个黑球”为事件，“恰好取出2个红球”为事件A?, “恰好取出3个红球”为事件九，（7分）由于事件儿，处彼此互斥，且A =而心）=乍宀

5、C103207P（A） = P（X=2） = ,P（4）= P（X=3） = -L, （10 分）120所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为:1 _11203 3 7（11 分）（12 分）p（a）= p（A）+p（a2）+p（a3）= -+- +答：取出的3个球中红球个数多于白球个咖岫叫- 例8.某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规左至少要答对其中2道才能 通过初试，他只能答对英中6道，试求:（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率.【解析】解：（1设随机抽出的三逍题H某人能答对的道数为X，且X=O、1、2、3, X服从超几何分布, 分

6、布列如下：X0123Pclc2c：c：cc3VI0c3V!0即X0123p1311301026（2）要答对貝中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到1 1 2P（X2） = P（X=2） + P（X=3） = - + - = j例9.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选岀4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列：（2）根据你所列的分布列求选岀的4人中至少有3划男生的概率.【解析】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变虽X表示其中男生的人数，X可能取的值为0. 1, 2, 3,

7、 4.P(X=k) =,k = 0.1,2,3,4 所以X的分布列为:X01234P143s12103572114（2）由分布列可知至少选3名男生，即心3） + P（X=4）靠+ $护 例10某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的槪率为P = o2若从该批产品 中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率：（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望.【解析】解：批产品中次品有力件,由已知兰= 0.2,10.x = 2（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X ,3件产品中恰好有一件次品的概率为P（X =1）=（4分（2）.X可能为0, 1,

8、 2. P(X=0) =升存（存心2）=晋洛（10分）X的分布为:X012P7711515157712PIlX=Ox + lx + 2xA=(13 分)151515 5例11生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品 中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.问：该批产品被接收的概率是多 少？【解析】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从 超几何分布H（5, 2, 50）.这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的槪率为p（x0）即p（xq）=i ：

9、；肓+匕：=宗答：该批产品被接收的概率是兰.245例12.甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽而朝上的次数为加；乙用一枚硬币掷2次，记 下国徽而朝上的次数为”.（1） 算国徽而朝上不同次数的概率并填入下表：国数而朝上次数巾32I0P(m)国麵朝上欢数210呱）（2）现规泄：若则甲胜；若心小 则乙胜.你认为这种规定合理吗?为什么?【解析】解:（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：国皱面胡上it数m3210P何G 12厂8G 3 23_8Q 3 2厂&S 1Z厂8国狡而無上次數”210P（町a 1C1 122_2 12由于“抽检的2件产品中有次品” *j “2件都是正品”为对立事件4（2）这种规宦是合理的.这是因为甲获胜，则/n n1: m = 3时,n = 2 1 0其概率为丄x（丄+丄+丄）=丄84 2 48勺 2 = 2 时，M =1 0,其概率为-x（ + ）=:82 4323 13当加=1时9 = 0,其概率为-X =；8 4 32甲获胜的概率为 + + -=-8 32 322若乙获胜，则1