2第二章一般张量00

1、第二章一般张量 笛卡尔张量是笛卡尔坐标系变换下的不变量，要建立在任意坐标系变换下的不变量,必须引进一般张量。在笛卡尔直角坐标系中，有力矢量P和位移矢量为W = P切。在二维的情况下，在笛卡尔直角坐标系中，W = P U = p1u1 + p2u2现在讨论这种情况在斜角直线坐标系的表达形式。第一节斜角直线坐标系和曲线坐标系U，则力P在产生位移U时所做的功有：采用平面斜角直线坐标系,(2.1.1)取 e1, e2为单位矢量，坐标线 X,和X2的夹角为a，有力P和位移U的矢量形式：P = R 0 + F2 e2, U = u1 e +u2 e2故有：W= P、U= (p1 e + P2 e2 ) (

2、u1 8 +u2 e2 )= p1ui+ 卩2口2+(氏 + p? )cosa 比较这个式子与直角坐标系中矢量点积的式子， 量两两乘积之和的简洁形式。为了建立矢量点积的简洁表达形式，引入一组对偶基矢量，3 g表示，称为逆变基矢量。相对地，原来带下标的基矢量 逆变基矢量可由协变基矢量按下面的对偶关系确定： = j i, j =1,2,3(2.1.2)(2.1.3)形式上多了一项，失去了矢量点积是矢量分1 2g、g、g、g2、g3称为协变基矢量，用带上标的矢量ig式中，(2.1.4)p i H j为克罗奈克尔符号，有九个分量，指标相同的分量取值为=g1 g1 cos(90o-= 1,若取 g =1

3、，则 g在二维情况下，g1 g1的方向正交于g2。同理得(2.1.5)1，指标相异的取值为零。1si na，并且g11 2=，并且g正交于g1。si not*图这时用逆变基矢量的线性组合来表示P为：P = P1 g1式中称带下标的符号P = P1 g式中称带上标的符号+ P2 g2P1、P2为矢量p的协变分量。用协变基矢量表示P时，则有：+ p2 g2p1，p2为矢量p的逆变分量。由于P不依赖与坐标系，P的逆变分(2.1.6)(2.1.7)量和协变分量应满足一定的关系。对二维情况，有：1 2 1 2P1 g +P2g =p a + p g?对上式两边分别点乘 g , g2，可得协变分量和逆变分

4、量的关系：1 2 2 1P1 = P + P cos , P2 = P + P coset现在把二维的概念推广到三维的情况，计算功或矢量的点积，令：P = Pid = pig , u = ujgj=ujgj则有：W = P u = Piujgi(2.1.8)(2.1.9)(2.1.10)(2.1.11)ij i j i= pujgi g =P uj =p ui上式表明，只要在斜角直线坐标系中引进协变和逆变基矢量，就能够像在直角坐标系下那样，对一个矢量采用协变分量的分解，对另一个矢量采用逆变分量的分解，就得到矢量点积的简洁形式。显然，矢量 P的协变和逆变分量分别为：p；=p，p；=p d（2.1

5、.12）在斜角直线坐标中，矢量的协变分量和逆变分量分别是矢量在协变和逆变基矢量的投影。从以上讨论可以看出，采用对偶基矢量后，矢量有两种分量，分别是矢量的协变分量和 逆变分量，相应地有逆变基矢量和协变基矢量。今后把具有上标的量称为逆变量，具有下标的量称为协变量。同时应注意：自由指标在表达式中只能出现一次，哑标出现两次表示爱因斯坦求和约定，但必须一个指标在上而一个指标在下。为了便于理解，下面考虑极坐标系中的矢量。选择线元 矢量e,和82定义为沿坐标增加的方向，就能写出：d S = dr 0 + rd 日82这里实际上是把dr，rd 0看作是矢量d s的逆变分量了，但有类似于 出现， 矢量：d s作

6、为待研究的矢量，把单位（2.1.13） rd 0这样非线性项的 将给运算带来不便。我们对上式作一调整，便得坐标的微分成为线元矢量d s的逆变这样,dr dx1，d 9 =dx2就需要这两个微分的系数：(2.1.14)g = e,，g2 =r e?（2.1.15）作为新的基矢量，而不是用单位矢量作为基矢量。 由此可见，在极坐标系中，基矢量g和g2 随点而变，相当于一个活动标架。现在把极坐标的概念推广到三维曲线坐标系x；，i =1,2,3。在任意一点A，选择三个矢量g的大小和方向，使得线元矢量满足：d r = g dx； 对于任意曲线坐标系，g一般不是单位矢量，都是坐标的函数并且一般都具有量纲。然

7、后，考虑从定点 0 （也许是坐标原点）到点 A引一个位置矢量r，矢量r是坐标的函 数，相邻点B的位置矢量为r1，则r1 = r + d r，d r是从A点到B点的r的增量，可以把 这一增量形式写为：d r =冬dx； ex比较以上两式得：dr g；ex由此看出，协变基矢量是位置矢量对相应曲线坐标的偏导数， 曲线坐标系下的协变基矢量，其大小和方向都与坐标有关。由协变基矢量g可通过对偶关系定义逆变基矢量：g； gj =引用这两组基矢量，可以确定任一矢量P的两组分量：P= P； g； =Pj gj 也可以把这两组基矢量用于任何两个矢量Vj gj =u；Vj 讦(2.1.16)(2.1.17)(2.1

8、.18)其方向与坐标曲线相切。 所以,(2.1.19)(2.1.20)u或者有：v = ui gu和v的点积，U和v的点积写为:i=U Vi(2.1.21)i=u；v当协变基矢量g、g2、g3构成右手系时，其混合积为正值，记: g g2 93】=g g： a =7g式中g为正实数，混合积的几何意义是三个矢量依次构成右手系时， 平行六面体的体积。iv = Ui gvj gj =UiVj 6；(2.1.22)（2.1.23）以这三个矢量为棱边的g1丄g2, g1丄g3，即有g1平行1于 g2 X g3,可令 g1 =ag? x ,因为 1 = g1 g = a(gs )9 ajg ,可求得 a=,

9、 vg根据对偶关系可由协变基矢量确定逆变基矢量。因为故有:(2.1.24)同理可得:13= (g3xg), g Jg每个矢量都可以分解成协变分量或逆变分量。如果把每个基矢量都用同名的基矢量表 示，即把协变基矢量用逆变分量表示以及把逆变基矢量用协变分量表示时，便有：g 和gj, g、可 gj(2.1.26)譬如g =1g +0gPjjTij变换到新坐标系，则这 9个量T；和T j的集合定义两个二阶混变张量。这也是一阶张量推 广到二阶张量的必然结果。3n个有序数的集合现在我们可以定义三维空间中的任意高阶张量，如果三维空间中有Tj,(共有n个指标)，这组数按下式进行坐标变换：憎；屮佝讥_SHnn则这

10、组有序数的集合就是三维空间中的n阶张量，每一个数就是张量的分量， 张量的指标代表坐标变换时张量分量的协、逆变性质，如果指标全为上标，称为n阶张量的逆变分量，如里，果指标全为下标，则称为n阶张量的协变分量，同时具有上标和下标的张量分量，称为n阶张量的混变张量。要判别一组有序数的集合是否构成一个张量，使用商法则是比直接采用定义更为方便的方法，下面以三阶张量为例说明商法则。若已知ck是一阶张量的逆变分量，bj是二阶张量的协变分量，aijk能对下式成立：ck = aijk bij则aijk必为一个三阶张量的逆变分量。现在给予证明，根据已知条件：cSfVJ, bij 邛Pjjbj代入后得：n k I i

11、jk Q j Pi-c =a Pi Pj bij，两边同乘p:得：k ijk 口 i R j R k .c =a Pi Pj Pk br同时在新坐标系中，有下式成立：八把上两式相减得（aijk】pPjjXaijk）bjjv0由于bj的任意性，就有：这说明aijk必是一个三阶张量。矢量的实体表示是其分量与相应基矢量的线性组合，张量也有同样形式的实体表达。为此，构造任意两个矢量a和b的并矢，写作ab，把这两个矢量的分量逐个相乘，基矢量并写到一起，分量相乘后可得到四种9个数的集合，譬如其中一种是aibj，考察并矢的坐标转换关系，并利用协变和逆变转换系 数的互逆性质，有：ab = aibj gg=偲）

12、（叫）（肾g3（Pjg）= 怙jlaf gk= akblgkg因此ab是一个二阶张量，而aibj只是它的逆变分量，这里基矢量的并矢 ggj可称为二阶基 张量，它们是线性无关的。由于ab在坐标系转换时保持不变，所以是一个张量实体。在一个坐标系中，对于二阶张量可以实体表示为：T当坐标转换时，T张量是矢量的推广， 矢量可用分量表示，也有实体表示，=Tj gigj =Tj dgj =Tj gigj =T Pg张量实体不因坐标转换而变化。对于上面的二阶张量，有：fij-r- i，j， T-i，/ -|-j，i=T gi g=Tij-g gggg griji jijj i=T gigj =Tij g g

13、gg T g gj容易证明，上式与张量的分量形式是完全等价的。高阶张量的实体表示完全可以依次类推， 其中基张量的个数就是张量的阶数，矢量可看作一阶张量，而标量可看作零阶张量，它们都具有对坐标的不变性，或者说张量不依赖于坐标系。在曲线坐标系的每个点都需要引进对偶的协变基矢量和逆变基矢量，张量就可分解为协=10 MPa,变、逆变和混变分量，譬如二阶张量有四种分量。现以弹性平面应力状态为例考察这四种分 量，在直角坐标系中某点的应力分量为：crx=50MPa，CTy=20MPa，x讨论& =60” 中的逆变、协变和混变应力分量。 插图匕和n，引用记号X1 =x建立两个坐标系，斜角直线坐标系的坐标参数为

14、X1； J x2；n。由图有：1 1 2 22*x = x +x cosG， x = x si并由此求得：112 cosot2x2=x-Xsi notsi na令直角坐标系的两个基矢量为e,和e2，则斜角直线坐标系中矢径为:r = X1 e, + X2 e2 = (x1 + X com 打 + x2 sinote则协变基矢量分别为:gT =drex1g2=drex2-=co血 0 +sin ae2其模均为1。则两坐标系的变换系数为:ex1ex2,=cosot根据ex2ex11=0,%2=ex2ex2-=si naP11exex1=1,P2ex2ex1=0，p2ex1cosasi netex2e

15、x2si not，得逆变基矢量:11 e1cosotsi nete2ei+ P22e2si nae2把笛卡尔坐标系作为旧坐标系,斜角直线坐标系作为新坐标系,由张量分量的坐标变换关系有:0-+叫咋12+盯卩1 咯21+肾盯b2222,11O12O212221x，c22c1L2b21+ fpjb12C2122Pi2O11O122122y，12T_ xy，c21Tyx，代入上式中得:2cos asin2 abycosetsinacosetsinaSx2sin abycos a.2Sin Ctcos a-2zSin J类似地推导可以得到:以及by= cos2acrxsi nasinoSxsin2 OC

16、T+ sina cosGTxy+ sig coswTyx= C0Sabx +si naxy=COSb x+ siyxxcosot_TyxSin acos a+ Tyx2cos ot-:Tyxsinasin otb； , = cosabx -cosaby +sinagy2， 1b 1, = X yxsi notVcos awr -砧 Jy2，cosa2y +Txysin a1 - Txy sina2 , = cosabx -cosaby +sinofcos Ct；T yxsi na若代入a =60和应力值，可以得到四种应力分量的具体数值（略）。上述各应力分量的四种表示如图所示，注意第一个指标表示

17、应力的作用面，第二个指标表示应力方向。第四节度量张量前面提到，在把协变基矢量分解为协变分量以及逆变基矢量分解为逆变分量时，分别定义了度量张量的协变分量和逆变分量， 并且协变分量是协变基矢量的点积， 逆变分量是逆变 基矢量的点积。现在考察这些分量的坐标变换关系，根据定义：gf =g 匸 A* gN g =3,0g； g g邛：,叩 g1 =PPjgkl所以gij和gij是二阶协变张量和二阶逆变张量，根据一般张量的概念， 度量张量还存在两种混变分量，它们是：gj = g g =可，gj = gj =硏显然，度量张量的两种混变分量都是单位张量，可以推论它们在任何坐标系均为单位张量。 这样，度量张量的

18、实体形式可完整地写成：i jijt i j t j iG = gij gg =g gig gg F ggj度量张量协变分量的行列式记为 g，利用式：讦=gikgjk把上式展开成矩阵形式，并对两边取行列式，由于矩阵之积的行列式等于因子矩阵行列式之 积，所以有：c c jk gik g=gik igjk二ggjk=1因此有:=丄gg是一个标量函数，考察它的坐标转换关系，利用度量张量协变分量的坐标变换关系并同时 取其行列式，有：g二 gijjgij如令协变转换系数的行列式pjfpikJigkl=gPk Pj=也，上式成为:g j2g因此，尽管g是标量函数，但是在新旧两个坐标系的值是不同的，这样的标量

19、称为伪标量。 注意到协变基矢量构成右手系时，混合积是以三个基矢量为棱边的平行六面体的体积，而g等于混合积的平方，因此有：5 g2 g3 0, g =|gij| aO有了度量张量后，现在简单介绍一下空间的概念。数学上的空间是指具有一定性质的点的集合，测量空间距离的规则就叫度量，这里关心的是三维空间情况下这些点的集合，那么空间中任意一点对应着独立的三个数即坐标。空间中两点的距离也就是矢量的长度，而矢量的长度可用矢量点积来表达，因此规定了矢量的点积也就规定了两点的距离。如果两点很近，则其间的距离是线元矢量 d r的长度，由于线元是个微分量，可用相应的线元弦长来代替：(ds)2 =d r dgi dx

20、 gj dxj = gijdxidxjgij，从而建立起微分距离的空间度量，gijdxidxj为空间的度量，称gij为度量张用度量张量决定性质的空间称为度H0，这样的空间称为黎曼空间。如果上式表明坐标的微分导致线元长度的变化完全取决于gij 一般是坐标xi的函数，如果 g=gij0，则称这个空间为欧氏空间，反之, 线元长度的平方也是一个微分二次型，gj 0，则称这个空间为闵可夫斯g = gj基空间。鉴于线元的平方(d s)2是二次型gijdxidxj，所以称 量，它也是确定空间几何性质的一个最基本的度量尺度。 量空间。gj是其系数，由式可知，这个二次型是正 定二次型，如果把 gij看作矩阵，这

21、个矩阵也是正定的。现以球坐标系为例，确定度量张量的协变分量和逆变分量。注意到笛卡尔坐标系中的度量张量有：gii =1，g- =1gj =0， gj =0 (i H j)式中在两个相同指标下面加一横，表示不对指标求和。观察式，容易得到：gr g / = gi gj =0(i K J )gi k g所以球坐标系中的协变和逆变基矢量互相垂直，为正交曲线坐标系，同时考虑到 kj =甲的展开式，因此，有：.八1gj = gU =0(i H j),=g-考虑变换关系gij匸生P-gij，则有：gii =+ 肾卩；+=cos 日 cos2 + sin2 0 cOs + sin2 =1922，咼：际利 vr2

22、cos2W 933，邛3咼+氏陽+陵“2 且g12, = g23，= g13，= 0，而逆变分量为：11 彳 22 1g ，g =?cosg12度量张量协变分量的行列式为：g =r4cos 半第五节置换张量前面已经看到，在一个坐标系中基矢量的点积构成度量张量，并且度量张量的混变分量就是克氏符号。现在考察基矢量的混合积形式。在最简单的笛卡尔坐标系中，三个互相正交27的单位基矢量的混合积为Ee, e2 e3】=1。当这三个基矢量任意排列时，其全部排列构成个值，利用置换符号的性质，写其混合积为e ej ek = ejk 。现在推广到任意曲线坐标系中，曲线坐标系中基矢量的混合积有：g g2 aZG,

23、g1 g2 g3=；27中可能的排列，因为混合积中若有两 三种Jg取上面两组各三个基矢量任意排列，则每一组共有个矢量相同，混合积为零，所以只有6种排列不为零，其中三种顺序排列的值为正值，逆序排列为负值，为此扩展具有 3个指标的置换符号为：ijk eijk =e1当i,j,k顺序排列= 1,当i, j, k逆序排列0,当i,j,k非序排列则基矢量混合积的全部排列可统一写为：g gj g丄 Jgejk, gi gj gk 匸命eijk对基矢量的混合积进行坐标变换，得：g -gj - g/JP；gi Pjjg Pk0；冋庐|5bi gj gJ根据张量定义应为三阶张量， 并且是三阶张量的协变分量, 其

24、协变分量与逆变分量记为：=g gj gk】=7gejkr i j k 11 ijk=g g g 二石e协变分量和逆变分量的关系可通过置换张量定义和指标升降关系得到：靭k =gi gjX gk=(gir gr) (gjs gs)x(gkt d) giVjsgkt gr g所以，协变分量可通过逆变分量指标三次下降而得到，反之亦然。到置换张量的六种混变分量，张量，其分量一般是坐标的函数。置换张量实体形式记为：k iki P P k E = y gigjg = y ggjgk = yrgi gj g =利用置换张量，考察基矢量的叉积，因为：g天gj比较上式两边，得：g gjgj - gk-混合积满足坐

25、标转换关系, 个张量为置换张量，称这毎ijkrsts _ tX g = girgjsgktS 根据指标升降关系还可得 但没有实际使用价值。置换张量是关于任意一对指标的反对称Q = Ejk= ijl 6 = ijl g gkl=名ijl gijkgk同理可得：gj用置换张量表示基矢量的叉积与式(由逆变基求协变基)的形式是完全等价的。置换符号关于任意两个指标均反对称，它不是三阶张量的分量， 利用置换符号，可以改写行列式的展开式：a = ap1ai2ai3ai1a 22 a23 a 21a32a33a3i j k123 ijkaia2a 3eij aha jake这里令p为行号，q为列号。根据行列式

26、的性质，如果在a1aj2a3e|jk中对下标作任意的位置置换，譬如aaiak就相当于把行列式的两列互换，行列式的值为-adz，在置换一次又改变了符号，其结果又回到了+ 4=6230，这个规律可以写成:i j kaelmn = aLa ma neijk =1aL2aL3aL1a m2a m3a m1an2an3an因为交换行列式的两行时行列式的值也变号，因此类似地有:Imn I m n ijkae=aa jake =latma1na%la2ma2na 2la3ma3na327种展开式，把行列式换行、换列以及两行这样相当于把行列式的唯 两列相等时的性质都包括进来，拓展了行列式的表达形式。如果同时变

27、换行列式的行和列，则得到一组共有6个自由指标的行列式，即种展开式表达为apia.ajka.ia ma mka mianank an= aeijkemn (i, j,k,l,m,n = 1,2,3)，这个式子也可以这样证明,首先可直接写出:aeijk =ia1ai.kaia2a2ka2ia 3aj3ka 3elmn =式得证。如杲考虑克氏符号构成的行列式，由于&是一个单位矩阵，所以=1 ,则有:把以上两式相乘，得:a；a；a；8air8a； 8a；8a；ia mainijkae eimn aia2a38=ar8ar8ar8 =ala mankka2ka 388a：8a：8a：8ka Ika mk

28、anijk卅 erst 二 8 8 8k+ 8 8 8+ 8 8j 8 -8 8 8 - 8 8 8 -8 8j 8器称为广义的克氏符号，当i, j,k和r,s,t都是顺序排列或都是逆序排列时，器=1 ；当i, j,k和r,s,t中一为顺序排列，一为逆序排列时，8St = 1;其余情况，=0。它的主要性质在一 Qst- 8 8 Q 8=8 8k 8 8=3 Q- 8=2 Q =28 =6于：ijke erstijke eijke ejk把上式哑标改写成：Imn ceimn e =6上式两边同乘a=|aq|并利用式，得到：cImnImn i j6a=aemne=eljke aLamaijki1

29、ijke 7g孑1 ijk根据指标升降关系，有：ijkli mj nkli mj nk pqE =mngg g = Jgemng g g =Jgg上式即为置换张量的逆变分量的定义。对于两个任意给定的矢量 a和b，在任意曲线坐标系中，a = ai g，b = bj gj令这两个矢量的叉积为kq = qk g得矢量q的协变分量：qkq，则有：= ab = a gi xbj g j bg x gj =九乜咏 gkijk同理得到矢量q的逆变分量：k. ijkq =aibj s但必须注意叉积三个矢量的二重叉积， 表示连续两次叉积运算， 其结果仍是一个矢量， 的顺序，即有：ax(bxc) =3 gi X

30、(bjOk sjklg) = abjOk sjklg x g = abjCk sjkl =孑64(紀5/弋或)gm =akCkbm gm ajbjCm gm =(a c) b- (a b) c(axb)x c = (a c)b-(b c)a一组三个矢量的混合积abc用矢量的逆变分量表示为：a1a be = a= aibjck 孤 =Jg aibjckejkc12 a b22c3ab33c另外一组三个矢量的混合积 uv W用矢量的协变分量表示:uvw = u vxw= UjVjWk k =-uiVjWkeijkVgUiViw1U2V2w2U3V3w3把两组混合积相乘，注意矩阵行列式之积等于矩阵之

31、积的行列式以及矩阵转置不影响行列式 的值，得：123iiiaaaU1V1W-1a Uia va Wiabc u vw =b1b2b3U2V2w2 =biUibiVibiWi123iiicccU3V3W3c Uic Vic W利用矢量点积公式，显然有：a uavawabc u vw =b ubvbwc ucvcw上述等式与坐标选择无关，它适用于任意曲线坐标系。 第六节张量代数(1) 张量相等若两个同阶张量T和S在同一个坐标系中的一种分量(譬如逆变分量)一一相等，则 这两个张量的其它分量也将一一对应相等，且在任意坐标系中的分量也会一一相等，记为：T =S(2) 张量的加法若将两个同阶张量 T和S在

32、同一个坐标系中的一种分量(譬如逆变分量)一一相加， 所得结果是同阶张量的该种分量，令张量之和为U，记为：U =T +S(3) 张量的并乘以二阶张量为例，令Tj、Skl分别是张量T和S的分量，则张量的并乘得一新张量 U， 张量U的阶数等于张量 T和S的阶数之和，其分量是T和S的各9个分量的两两乘积， 所 以四阶张量U有81个分量，其实体表示为：U =TS = Tj gigj Sk1 gkggjgkgu V gi gjgkg = u矢量并矢或张量并乘有时也记为U =TS，并乘运算不能调换顺序。由于广义克氏符号：翥=eijkemn器是一个6阶张量。它是两个置换张量的并乘，所以广义克氏符号张量的缩并是

33、把基张量中的任意两个基矢量(一般选一个协变基矢量和一个逆变基矢 量)进行点积，其结果是对应分量的指标变成哑标。譬如将四阶张量T = Tjk1 g gj gkg1中的第2、第4基矢量进行点积，或直接将张量分量的第2、第4指标进行缩并，有：G T j1 k -r ij f 1 k -,-ijk “ks= T.ki gj gg g =Tki6jgi g =T,kj gig =Sk gig可以证明，张量缩并后得到一个新张量，其阶数比原张量低两阶。例如ijk .J%mn是一个6阶(4) 张量的缩并张量，直接把第3、第6指标进行缩并后可得一个四阶张量ijk1mk。(5) 张量的点积两个张量T和S先并乘后缩

34、并的运算称为点积，一般是取前一个基张量的最后一个基 矢量和后一个基张量的第一个基矢量进行点积，否则须指明哪两个基矢量进行点积。可以证明，两个张量点积后得到一个新张量，其阶数比两个张量阶数之和低两阶。以一个四阶张量和三阶张量的点积为例：T s= Tiki gigjgkd s；grgsd =代：& gr)gigjgkgsd htIS；ggjgkgsg双点积是两个张量T和S并乘后进行两次缩并的运算，一般是取前一个基张量的最后 两个基矢量和后一个基张量的前两个基矢量分别进行点积，双点积有两种形式，其中并联式是把需运算的前两个基矢量和后两个基矢量按“前前后后”次序分别进行点积，例如：T :S =Tijk

35、i ggjgkglS： grgsd =代目站 gXg1 gs)ggjgggjg而串联式是把需运算的前两个基矢量和后两个基矢量按“里里外外”次序分别进行点积，例如：T S = Tijki gi gj gkg1 s： gr gsd PS： gr)(gk gs)g gj g “总 g gj g 以上两种双点积得到的是不同的张量。(6) 张量的叉积张量的叉积是矢量叉积的推广。现以两个二阶张量T和S说明之，T和S的叉积为：T r = (Tj gigjP(Ski gkg) = Tj Ski gi(ggk)g1 二TjSkiJkmgigmg1 与张量双点积规定的运算顺序相同，可以定义张量间的混合积和双重叉积

36、：Z S = (Tij gi gj尸(Skl gkd) = Tj Skl(gi gk)(gj 汽 g1) =Tij s飞叫jm gm(Tij gigj)Sk1 gkg1TijSk1(g gk)(g以 gTijSkl汕 gmgn在进行张量的点积运算时，一般是将一个协变基矢量和一个逆变基矢量进行点积。而在叉积运算时，总是把两个协变基矢量或者两个逆变基矢量进行叉积，这种处理会带来运算上的方便。如果条件不满足，就利用协变基矢量和逆变基矢量的转换关系， 进行运算。（7）张量的转置 如果保持基张量的排列顺序不变，构造相应的形式再转置，所得张量称为原张量的转置张量。例如，指标调换排列次序，得到一个新张量：! T jik IR =Tkj g gj g g张量的转置只是调换其分量指标的前后次序，R的分量为：Rijki 二Tkj：因此，张量及其转置张量都具有相同的基张量，这种运算叫张量的k I .而调换张量分量两个指标的顺序，对四阶张量 T = Tijkl g g gkg1的第1、第3基张量保持不变，所以这表示同阶的转置张量张量分量的指标和基张量具有相同的排列顺序，不同的只是转置张量的分量联系于原张量的某种分量。（8）张量的对称化和反对称化 若调换张量分量某两个指标的顺序后张量保持不变则称该张量对这两个指标具有对称 性。如四阶张量满足：Tki =Tjki