八年级上册数学全册全套试卷专题练习(解析版)

1、八年级上册数学全册全套试卷专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.如图，已知八8C中，AB=AC=20cm, 8c=16cm,点。为48的中点.（1）如果点P在线段8c上以6cm/s的速度由8点向C点运动，同时点Q在线段CA上由 C向4点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BP。与acap是否全等，请 说明理由：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点8同时出发，都 逆时针沿48C三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上

2、相遇？ 【答案】（1）8PD乌CQP,理由见解析；V=7.5 （厘米/秒）：（2）点P、Q80在48边上相遇，即经过了一秒，点P与点Q第一次在A8边上相遇.3【解析】【分析】（1）先求出t=l时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据NB=NC证得BPDW4CQP；根据必于为,使8PQ与CQP全等，所以。=8。=10,再利用点P的时间即可得到 点Q的运动速度；（2）根据VqVp,只能是点。追上点P,即点。比点尸多走AB+AC的路程，设运动x 秒，即可列出方程?x=6x + 2x20,解方程即可得到结果.2【详解】（1）因为t=l （秒），所以8P=CQ = 6 （厘米）,48 = 20,

3、 D 为 AB 中点,A 80= 10 （厘米）又PC=8C-8P=16 - 6 = 10 （厘米）：.PC=BD9：AB=AC.N8= NC,在8PD与CQP中，BP = CQVp，只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走48+AC的路程设经过X秒后P与Q第一次相遇，依题意得?x = 6x + 2x20, 280 解得卡一（秒） 380此时P运动了一x6 = 160 （厘米） 3又因为AA8c的周长为56厘米，160=56X2+48,QH所以点P、Q在48边上相遇，即经过了一秒，点P与点Q第一次在A8边上相遇.3【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注

4、意 顶点的对应关系是证明的关键.2.如图，AB=12cm, ACAB, BD1AB , AC=BD=9cm,点 P在线段 AB 上以 3cm/s 的 速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动.（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=l （s） , ACP与4BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC_LAB, BD_LAB”改为“NCAB=NDBA，其他条件不变.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使4ACP与4BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC, BD交于点E,使C, D分别是AE

5、, BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿4ABE三 边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.3【答案】（1 ） ACPg/kBPQ,理由见解析：线段PC与线段PQ垂直（2 ）1或二（3）9s2【解析】【分析】（1）利用SAS证得ACP合4 BPQ,得出N ACP=Z BPQ,进一步得出Z APC+Z BPQ=Z APC+Z ACP=90得出结论即可；（2）由aACP合 BPQ,分两种情况：AC=BP , AP=BQ ,AC=BQ , AP=BP,建立方程组 求得答案即可.（3）因为丫1丫，只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的

6、路程，据此列出方程，解这个方程即可求得.【详解】（1）当 t=l 时，AP=BQ=3 f BP=AC=9 ,又TNA=N B=90 ,AP = BQ在aACP 与aBPQ 中，| 乙4 = N8,AC = BPACP合 4 BPQ ( SAS ),A ZACP=ZBRQf，ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90 ,ZCPQ=90 ,则线段PC与线段PQ垂直.(2)设点Q的运动速度x,若AACP合 A BPQ,则 AC=BP , AP=BQ ,”9 = 12 74t = xtt = 3解得x = 若AACP合 BPQ,则 AC=BQ , AP=BP ,19 = xt|r = 12-r7 =

7、 6解得（3 ，x = 2f/ = 3 P = 6综上所述，存在，或3使得4ACP与4BPQ全等.x = l x =2（3）因为Vq与AC之间的数量关系并说明理由.【答案】（I） ZAFC=120 ； （2） FE与FD之间的数量关系为：DF=EF.理由见解析：（3） AC=AE+CD.理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出NFAC, NACF即可解决问题；(2)根据在图2的AC上截取CG=CD,证得4CFG4CFD(SAS),得出DF=GF；再根据ASA证明AFGgZAFE,得 EF=FG,故得出 EF二FD：(3)根据的证明方法,在图3的AC上截取AG=AE,证得

8、EAFgAGAF (SAS)得出 ZEFA=ZGFA；再根据ASA证明FDCgZkFGC,得CD=CG即可解决问题.【详解】(1)解：V ZACB = 90, ZB = 60%AZBAC=90 - 60 = 30% AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,AZFAC=15% ZFCA=45,AZAFC=180 - (ZFAC+ZACF) =120(2)解：FE与FD之间的数量关系为：DF = EF.理由：如图2,在AC上截取CG = CD,VCE是/BCA的平分线， AZDCF=ZGCF,在4CFG 和ZkCFD 中，CG = CD NDCF =乙GCF , CF = CF/.CFGACF

9、D (SAS),，DF=GF. ZCFD=ZCFG由(1) NAFC = 1200得，/. ZCFD= ZCFG = ZAFE=60, ZAFG=60,又,: ZAFE=ZCFD = 60%, NAFE=NAFG,在ZiAFG 和4AFE 中，/AFE = ZAFGAZCFG=ZCFD = 60,同(2)可得，aFDCAFGC (ASA),，CD=CG,，AC=AG+CG = AE+CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相 等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公 共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全

10、等三角形.4.如图，RSABC 乌 RSCED ( N4C8= NCDE=90),点。在 8c 上，A8 与 CE 相交于点 F 如图1，直接写出48与CE的位置关系如图2,连接/W交CE于点G,在8c的延长线上截取C”=D8,射线HG交A8于K,求 证：HK=BK图1【答案】(1) ABCE； (2)见解析.【解析】【分析】(1)由全等可得NECD=NA,再由NB+NA=90 ,可得NB+ECD=90。，贝l ABJCE.(2)延长HK于DE交于H,易得4ACD为等腰直角三角形，NADC=45。，易得 DH=DE,然后证明DGHgADGE,所以NH=NE,则NH=NB,可得 HK=BK.【详

11、解】解：(1) V RtA AB8 RtA CED,： NECD= NA, NB= NE, BC=DE, AC=CDVZB+ZA=90:.ZB+ECD=90A ZBFC=90 , AABXCE(2)在 RtACD 中，AC=CD, A ZADC=45 ,又NCDE=9(T , AZHDG=ZCDG=45 ；CH=DB,，CH+CD=DB+CD,即 HD二BC,ADH=DE,在dgh iadge 中，DH=DE ZHDG=ZEDG=45DG=DG.,.DGHADGE (SAS) .ZH=ZE又,.,NB=NE.,.ZH=ZB,.HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等

12、，再利用等角对等边判定线段相 等是本题的关键.5.如图，八(0, 4)是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运 动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰RD4P8.设P点的 运动时间为t秒.（1）若ABx轴,如图1,求t的值：（2）设点4关于x轴的对称点为A,连接A8,在点P运动的过程中，N0A8的度数是否 会发生变化，若不变，请求出N0A8的度数，若改变，请说明理由.（3）如图2,当t=3时，坐标平面内有一点M （不与A重合）使得以M、P、8为顶点的 三角形和aABP全等，请直接写出点M的坐标.【答案】（1）4； （2） N0A8的度数不变，2048=4

13、5，理由见解析：（3）点M的坐 标为（6, -4） , （4, 7） , （10, - 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明aAOP为等腰直角三角形，从 而求得答案：（2）根据对称的性质得：PA=PA=PB,由N%8+NP84 = 90。，结合三角形内角和定理即 可求得N048=45。；（3）分类讨论：分别讨论当48Pg4M8P、4ABP4MPB、ZkA8PgMPB时，点M的 坐标的情况：过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及 全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）.F8x轴，4P8为等腰直角三角形， ，N%8

14、= NP8A = N4PO=45,.AOP为等腰直角三角形，：.OA = OP=4.=4+1=4 （秒），故t的值为4.（2）如图2, N0A8的度数不变，/OA8=45。, 点4关于x轴的对称点为A,：.PA=PA又 AP=P8,：.PA=PA = PBf，NM/T = N%A，ZPBAl = ZPAlB.又N%8+NP84 = 90,/. N0VT+N%4+N%8+NP8A= 180-(ZPAB + ZPBA)= 180。-90=90%/. ZA4,B=45,即 NOA8 = 45。：(3)当t=3时，M、P、8为顶点的三角形和ASP全等,如图 3,若48Pg/kM8P,则4P=PM,过点

15、M作MDLOP于点。， ZAOP= ZPDM9 /APO=NDPM,：.AAOP/MDP (AAS), Q = 0M=4, 0P=P0=3,如图 4,若ABPgAMPB,则 A3 = AM，过点M作ME_Lx轴于点E，过点4作BG _Lx轴于点G ,过点3作BE _L)轴于点尸， AP8为等腰直角三角形，则MP8也为等腰直角三角形，N8AP=NMP8=45。，PA = PB Z1 + Z3 = 9O = Z2 + Z3, Z1 = Z2:.RlAOP = RtPGB:.BG = OP = 3, PG = AO = 4,8G_Lx轴，BQ，)轴 四边形BGOF为矩形，OP = BG = 3,则A

16、F = OAOF = 43 = 1BF = OG = OP+PG = 3+4 = 1在RABF和RiPME中/8川=45。+ /1, NMPE=450 + N2，:./BAF=/MPE AB = PM R ABF = Ri PME:,ME = BF = 7, PE = AF = 的坐标为：(4, 7),如图5,若“BP咨AMPB,则=过点乂作ME_Lx轴于点。，过点4作BG _Lx轴于点E ,过点3作8尸_L )轴于点F ,AP8为等腰直角三角形，则MPS也为等腰直角三角形，NBAP=NMP8=45。，PA = PB Zl + Z3 = 90 = Z2 + Z3, Z1 = Z2 . RiAO

17、P三RlPEB:.BE = OP = 3, PE = AO = 4 6EJ_x 轴，8F_L)轴 .四边形BE。尸为矩形，：.OP = BG = 3,则AF = OAOE = 43 = 1BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7在RABF和RPMD中V BF y 轴 .N4 = N2 N4+/=+NPMD NABF = NPMD AB = PM工 RiOABF = Ri PMD；MD = AF = 1, PD = BF = 1 .M的坐标为：(10, - 1).综合以上可得点M的坐标为：(6, -4) , (4,7), (10, - 1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角

18、形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题 要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出 结论.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图，在48C中，AB=AC, BD平分NABC交AC于点D,点E是8c延长线上的一 点，且8D=DR点G是线段8c的中点，连结AG,交8D于点、F,过点D作OH_L8C,垂 足为H.(1)求证：?占为等腰三角形：(2)若NCDE=22.5, DC=叵,求 GH 的长；(3)探究线段CE, GH的数量关系并用等式表示，并说明理由.BE【答案】(1)证明见解析：(2) ： (3) CE = 2GH,理由见解析.2【解析】

19、【分析】(1)根据题意可得/。8。=1/48。=1/4。8,由 BD=DE,可得/D8C=NE=22LnaCB,根据三角形的外角性质可得NCDE=LnaCB=NE,可证4DCE为等腰三角 22形：(2)根据题意可得CH=DH=1, ZiABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC, BH=HE=JJ+1,即可求 GH 的值；(3) CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC BH=HE,可得GH=GCHC=GC(HE-CE) =-BC- -BE+CE=-CE,即 CE=2GH222【详解】证明：(1) 9：AB=AC,：.ZABC= ZACB,8D平分乙ABC,I1，/CBD=

20、 - ZABC= - ZACB9 229：BD=DE.1，NDBC= NE= - NACB, 2/ NACB=NE+NCOE1，/CDE= - N4CB= NE, 2:.CD=CE,.OCE是等腰三角形(2)AVZCD=22.5% CD=CE=,AZDCH=45% 且。心8C,AZHDC=ZDCH=45:.DH=CH,VDH2+CH2=DC2 = 2,:.DH=CH=, ZABC=ZDCH=5Q.A8C是等腰直角三角形，又点G是8c中点 J.AGLBC. AG=GC=BG,80=0E, DHBC:.BH=HE=e+1: BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=正 +1A 1+2GH=7

21、2+1GH-& 2(3) CE=2GH理由如下：.98 = 64,点G是8c的中点，8G=GC, 9：BD=DE. DHBC. :.BH=HE,1 11: GH=GC HC=GC (HE - CE) = - BC - -BE+CE=-CE,222：.CE=2GH【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质 定理、综合运用知识是解题的关键.7. (1)问题发现.如图1, AACB和ADCE均为等边三角形，点4、。、石均在同一直线上，连接他.求证：MDC9MEC.求ZAE8的度数.线段A。、斯之间的数量关系为.(2)拓展探究.如图2, A4C3和 MCE均

22、为等腰直角三角形，NAC3 = NDCE = 90。，点A、D、E 在同一直线上，CM为ADCE中。石边上的高，连接图2请判断ZAEB的度数为.线段CM、AE、斯之间的数量关系为.(直接写出结论，不需证明)【答案】(1)详见解析；60 ；AD = BE； (2)90 ： AE = BE+2CM【解析】【分析】(1)易证NACD=NBCE,即可求证4ACD乌ABCE,根据全等三角形对应边相等可求得AD = BE,根据全等三角形对应角相等即可求得NAEB的大小；(2)易证ACDg/BCE,可得NADC=NBEC,进而可以求得NAEB = 90。，即可求得DM= ME = CM,即可解题.【详解】解

23、：(1)证明： AAC8和ADCE均为等边三角形，AC = CB, CD = CE,又 ZACD+ZDCB = ZECB+ZDCB = 60,ZACD = AECB,MDCABEC(SAS).ACDE为等边三角形， ZCDE = 60.,点A、D、E在同一直线上，. /4。 = 180。一/。七=120。，又；AADCABEC,：.ZADC = ZBEC = 120ZAB = 120-60 = 60.AD = BEAADg岫EC,AD = BE.故填：AD = BEx(2)AAC3和MCE均为等腰直角三角形，AC = CB, CD = CE,又：ZACB = ZDCE = 90 ,ZACD+Z

24、DCB = ZECB + ZDCB,ZACD = ZECB,在41。和MCE中，AC = CBZACD = ZECB, CD = CE/. ZADC = ZB EC.点A、D、E在同一直线上，ZADC = /BEC = 180-ZCDE = 180-45 = 135。，ZAEB = 135- ZCED = 135- 45 = 90.ACDA q ACEB , BE = AD.V CD = CE, CM 上DE,.1. DM=ME-又ZDCE = 90，：.DE = 2CM ,AE = AD+DE = BE+2cM.故填：90；AEuBE+ZCM.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三

25、角形对应边相等、对应角相等的性质，本题 中求证ACDgBCE是解题的关键.8.如图，在MBC中，CE为三角形的角平分线，AD工CE于点、F交BC于点D （1）若NB4C = 96, NB = 28，直接写出 NBAO=度（2）若 ZACB = 2ZB，求证：AB = 2CF若CF = a,EF = b,直接写出丝=（用含的式子表示）CD 一【答案】（1） 34： （2）见详解：一-a-b【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）证明NB = NBCE,得出BE=CE,过点A作A”3c交CE与点H,贝ijAH = ZBCE = ZACE, ZEAH = ZB ,得

26、出 AH=AC, ZH = ZEAH ,得出 AE=HE, 由等腰三角形的性质可得出HF=CF,即可得出结论：证明族三DCF,得出 AH=DC,求出 HF=CF=a, HE=HF-EF=a-b, CE=a+b,由AHBC得出胆=隹=匕匕,进而得出结论.BC BE a + b【详解】解：(1)V ZBAC = 96 , N5 = 28， ZACB = 180-96-28 = 56,CE为三角形的角平分线，工 ZACE = -ZACB = 2S09 2 AD1CE, ZC4F = 90o-28o = 62,A ZBAD = 96-62 = 34.故答案为：34；(2)证明：./4CB = 24 =

27、 2NBCE .ZB = ZBCE BE = CE过点A作AH/3C交CE与点H,如图所示：则 /H = ZBCE = ZACE, ZEAH = /B，AH=AC, AH = Z.EAHAAE=HEV AD1CE:.HF=CFAAB=HC=2CF：在AH/7和OCF中，/H = /DCF AB = AC = BCZAMP = ZA = 60 AP = /W尸，ZEMP = 180- ZAMP = 120, ZFCP = 180 - ZACB = 120 AAM尸是等边三角形，NEMP = NFCP = 120。 AP = MP = AMVP点是AC的中点 AP = PC = MP = AM=-

28、AC = -AB = -BC222:.AM =MB = -AB2在AETk炉与AFCP中NEMP = ZFCP11故答案为.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.12.在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的详解九章算术（1261年）一书中， 用下图的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.杨 辉三角两腰上的数都是1,其余每一个数为它上方（左右）两数的和.事实上，这个三角 形给出了 +与（ =1,2,3,4,5,6）的展开式（按。的次数由大

29、到小的顺序）的系数规 律.例如，此三角形中第三行的3个数1,2/，恰好对应着（“ +尸=42+2 + 展开式 中的各项系数，第四行的4个数L3,3,1,恰好对应着（a += a3 + 3/8 + 3ab2 +/展开式中的各项系数，等等.请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：（1）写出他+）4的展开式;（2）利用整式的乘法验证你的结论.【答案】（1）a44-4a3b + 6a2b2+4ab3+b4： （2）见解析【解析】【分析】（1）运用材料所提供的结论即可写出：（2）利用整式的乘法求解验证即可.【详解】（1） （a + b）4 = / + 4/b + 6a2b2 + 4ab3 + / ,（2

30、）方法一：（+4 =（4+b”（a+b）= （a+b）（a + 3a2 b + 3ab2 +/?）=? + 3ab + 3ab2+aby + ab + 3a2 b + 3ab +Z?4=a4 + 4ab + 6a-b2 + 4/ + b4方法二：（a+）4 =（4+8）2（4+Z?f= （a2 + lab + b2 ）（a2 + lab + b2）=a4 + 2/b + a2b2 + 2。/+4a2b2 + 2aby + a2b2 + 2aby + b=a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3+b4.【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.13.请

31、你观察下列式子:(x-l)(x + l) = x2-l(x-l)(x2+x + l) = x3-l(x-l)(x3+x2 +x+1) = x4-1(x-l)(x4 +x3+x2 +x + l) = x5 -1 根据上面的规律，解答下列问题：(1)当 x = 3 时，计算(3 1)(3如7 + 32016 + 32015 +.+33 +32 +3 + 1)=: 设 =2如7+2刘6+2刈5+.+23 + 22+2 + 1，则。的个位数字为_：(3)求式子 5207 + 5刈6 + 52015 +. +53 +求 + 5 的和.、2018 _勺【答案】(1)32.8_1：(2)3：14【解析】【分

32、析】(1)根据已知的等式发现规律即可求解；(2)先根据x=2,求出=2刈8_1，再发现2的耗个位数字的规律，即可求出a的个位数 字：(3)利用已知的等式运算规律构造(5-1) X(520s+5刈5+5刈4+. + 52+5 + 1)即可 求解.【详解】(1) V (x-l)(x + l) = x2-l(x-l)(x2 +x + l) = x3-l(x-l)(x3 +X2 +X4-1) =X4 -1(x-l)(x4 +x3+x2 +X + 1) = x5 -1+x + x!2 +. + X2 +x+l) = x 1故 X=3 时，(3 -1)(3237 + 32016 + 32015 + +33

33、 + 32 + 3 + )= 2018 _ j故填：32O,8-1；(2) a = 22017 + 2刈6 + 22015 +. +2, + 2? + 2 +1=(2-1) (22017 + 22016 + 22015 +. +23 + 22 + 2 +1) = 22018-1V21=2/22=4,23=8/24=16,25=32,26=64的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，V20184-4=504.2,2刈8的个位数为%A 2刈s 一1的个位数为3,故填：3；(3)52Ol7+52O,6+52O,5 + .+53 +52 +5= -(5-l)x5x ( 52016 + 52015 +

34、5刈4 + +52 + 5 +1) 4=-x (5-1)(5+52O,5+52O,4 + .+52+5 + l) 4_ 520,8 -5 4【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.14.探究阅读材料：若x满足(80x)(x-60) = 3。，求(80-工)2+(_-60的值” 解：设(80 戈) = 4, (x-60) = Z?,则(80x)(x-60) =而=30, r7+Z? = (80-x)4-(x-60) = 20, 所以(80-工)2+(工一60)2=2+62=(4+)2-24%=202-2乂30 = 340. 解决问题：B(1)若X满足(45-力

35、(x-15) = 20,求(45 x+(x15)2的值.(2)若x满足(2020x+(2018 x)2=4040,求(202。一工)(2018 1)的值.(3)如图，正方形A8CO的边长为x, AE = 20. CG = 30,长方形ER3Z)的而积是 700,四边形NGO”和ME。都是正方形，PQDH是长方形,求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体的数值).【答案】(1)940： (2) 2018： (3) 2900【解析】【分析】(1)根据材料提供的方法进探究，设(45-x) =a, (x-15) =b,则有 (45-x)(x-15) = rz/? = -20, a+ = (45x)+(

36、x-15)=30,据此即可求出(45 -的值；(2) (2020-x) =m,( x-2018) =n,则(2020-x)2+(x-2018)2= m2 +n2 = 4040,m + n = 2,则可求出(2020-x)(2018-x) 的值：(3)根据题意知 S 四efgd= (x-20) ( x-30) =700,知 S#medq= (x-20) 2, S#dhng= (x-30)2, S pi：pqdn= (x-20) (x-30) =700,设 x-20=a, 30-x=b 则有-ab=700,据此即可求出阴影部 分的而积.【详解】解：(1)设(45-x) =a, (x-15) =b,

37、则有(451)(工一15)=。人=-20, 。+/? = (451)+ (/15)=30A (45-x)2 + (x-15)2 =a2 +b2=(a+b)2-lab = 302-2x(-20) = 940；(2) (2020-x) =m,( x-2018) =n,则(2020-x)2+(x-2018)?= m2 + n2 = 4040, m + n = 2,(2020-x)(2018-x)=-(2020-x)(a:-2018)(?+-(/+/) 4-4040 .nio/ mn = -201822(2020 - 力(2018 - X)=-mn=2018；(3)根据题意知S pij EFGD=(X

38、-20)( X-30 ) =700, S | MEDQ=(X-20) 2, S il- DMNG=(X-30)S PI PQDN=( X20)(x-30) =700设 x-20=a 30-x=b,A-ab=700,A (x-30)2+(x-20)2 =6?+Z?2=(+Z?)2-2/? = 102-2x(-700) = 1500AS 峨=1500+700+700=2900故答案为：(1)940； (2) 2018； (3) 2900【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练学 握完全平方公式.15 .阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子

39、的平方，如3+2衣= (1+点)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+bJJ= (m+n&) 2 (其中a、b、m、n 均为正整数)则有：a+b=m2+2n2+2mn y/2 所以 a=m2+2M, b=2mn.这样小明 就找到了一种把a+b戊的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+bJJ= （m+n/3 ） 2,用含m、n的式子分别表/Jn a、b,3= t b=（2）若a+4= （m+n ） ?（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值.【答案】（1） m2+3n2, 2mn； （2） 13.【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式：（2）根据题意, 4=2mn,首先确定m、n的值，通过分析m=2 , n=l或者m=l , n=2,然后即可确定好a的 值.试题解析：a+b/=（m+n#）2,/ a+b y/3 =m2+3n2+2mn y/3 ,Aa=m2+3n2 , b=2mn.故 a=m2