1第一讲整数的基本性质学生版

1、第一讲整数的基本性质©本讲概述.离散性任何两个整数之间至少相差1。即:=偶数；偶数±偶数=奇数；偶数X偶数=偶数；奇数X奇数=偶数;=偶数;=奇数;(2)任何一个正整数n都可以写成n= 2ml的形式，其中m为非负整数，I为奇数.二.奇偶分析将全体整数分为两类，凡是 2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数 .因此，任一偶数可表为 2m (m Z), 任一奇数可表为 2m+ 1或2m 1的形式.奇、偶数具有如下性质：(1) 奇数±奇数 奇数±偶数 奇数X偶数整数的相除1.整除的定义一般的，两个整数 a和b(bM0)，若存在整数k，使得a=bk,我们称a能被b整除

2、，记作b|a.此时把 a叫做b的倍数，b叫做a的约数如果a除以b的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a,记2.数的整除特征(1) 1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a,总有1|a.0是任何非零整数的倍数，az 0, a为整数，则a|0.(2) 能被 2, 5; 4, 25; 8, 125; 3, 9; 11, 7, 13 整除的数的特征：能被能被能被能被除.能被能被0, 2, 4, 6, 8的整数能被2整除，我们记为2k(k为整数). 0或5的整数必被5整除，我们记为 5k(k为整数).4 (25)整除的整数必能被 4 (25)整除. 125整除的数的特征：末三位数字组成

3、的三位数能被8 (125)整除的整数必能被 8 (125)整2整除的数的特征：个位为5整除的数的特征：个位数为4、25整除的数的特征：末两位数字组成的两位数能被8,3,119整除的数的特征：各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被 3或9整除.整除的数的特征：一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数就能被11整除.能被7, 11, 13整除的数的特征：一个三位以上的整数能否被7 (11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差(以大减小)能否被7 (11或13)整除.3. 整除的基本性质(1 )自反性:(2 )对称性:(3

4、 )传递性:a|a(aM 0)若 a|b, b|a,贝U a=b 若 a|b, b|c,贝y a|c(4)(5)(6)(7)若 a|b, a|c,贝y a|(b, c)若 a|b, mM 0,贝U am|bm若 am|bm, mM0，贝U a|b若 a|b, c|b, (a, c)=1，贝U ac|b4. 带余除法：对于任一整数a及大于1的整数m，存在唯一的一对整数 q, r (0< r<m)，使得a=qm+r成立，这个式子 称为带余除法式。q就是a除以m的不完全商，r就是a除以m的余数。证明：取由所有m的整数倍排成一列数,km,2m, m, 0, m, 2m,km,(k N)a必

5、介于该数列中的某两个相邻数之间，即存在整数q，使qm < a<(q+1)m。令 r=a qm，贝U 0< r<m，于是有 a=qm+r如还有整数q1,r1满足a=q1m+r1 (0< r1<m)，贝Uq1m+r1=qm+r=m(q 1 q)=r 1若4产q，则|m(q1 q)| > m，而|rvm，这是不可能的.这说明q1=q,于是r1=r。1.2.3.4.四.基本定义：素数、合数、最大公约数、最小公倍数、完全平方数、阶乘 一个大于1的整数n如果没有真因子(大于 1而小于n的约数)，则称n为素数；否则称它为合数.素数的性质1：若P为素数，a,b为整数，

6、如p|ab,那么p必整除a,b之一.素数的性质2：素数有无穷多个.(欧几里得在公元3世纪给出了一个经典的利用反证法的证明)设a,b,c是有限个不全为零的整数，同时整除它们的整数叫做它们的公约数(或公因子).这些数中必有一个最大的，称为a,b,c的最大公约数，记作(a,b,c).如果(a,b,c) =1，则称a,b,c是互素的；同时为它们的倍数的整数叫做它们的公倍数，其中正的公倍数中最小的那个称为最小公倍数，记作a,b,c一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数.性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.性质2 :奇数的平方的个位数字为奇数，十

7、位数字为偶数.性质3奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为 8n或8n+4型.性质4不能被5整除的数的平方为 5k ± 1型，能被5整除的数的平方为 5k型.性质5:平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9.对任一正整数n，定义n的阶乘为 n!=nx(n- 1)x(n-2)x”x 3x2x1【例1】【例【例 证明n2 3 +n +1不是平方数;©例题精讲(1) 求整数a,b,c,使得2? +护+出+3血+血+ 2匕(2) 奇数的平方都可表为 8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式(m Z)(3) 证明能被7, 11, 13整除的

8、数的特征。工1曲+工必+為血+“+工訂1= 0,却是+1或者-1。求证：n是4的倍数。【例三角形三边长均为质数，证明：其面积不可能为整数【例5】m,n是正整数若 m>ii 则求证 22"-1| 22"-!.若m求山求证2泸+ 1与2评+ 1互质.ra>2,证明：(2-1)不整除(2H1J.(4) 求证：(2皿一12"-1)二2砂-1【例6 (1)设a,b是正整数，且 a+b|ab.求证：(a,b)>1.(2) 设a,b是正整数，曲I护+呼 .求证：a=b.(3) 设(a,b,c)=1,且ab=c(a-b).求证：a-b是一个完全平方数。【例求出所

9、有的非负整数n.,使得20n+2能整除2003n+2002.【例自然数n恰有12个正因数，将它们由小到大排列：1 =4 <d2 <.<: 2 = n且 dd2 =(di + d2 + djdg，求 n.【例试找出所有的正整数对（a,b）使得血2 + b+7能整除a细+ a+h°【例10】a,b是两个正整数，护+ 1）2除以a+b的商是q,余数是r.求出所有使得q + r二1997的a,b.©大显身手练习1:正整数a,b,p,q,r,s,满足 <?<-, X-関二 1。 求证：0 + S < b, q 力 S 7-练习2 :有n个整数，积为

10、n,和为0。求证：n是4的倍数。练习3:试找出最小的自然数 n,使它的立方的十进制表示中末三位数字恰为888.4:可以对写在黑板上的四位数进行如下形式的操作：或者将它的某两个相邻数字同时加1，如果它1，如果它们都不等于 0,试问能否通过这样的操作将练习们都不等于9；或者将它的某两个相邻数字同时减1234 变为 2002?练习 5:证明：19921997995 + 995997练习6:记f (n) = n2 +n+41，证明：(1)有无穷多个正整数 n使得f(n)为合数；(2)有无穷多个正整数 n 使得 43|f(n)。练习出n7 :设n为正整数，若2n +1,3n +1均为完全平方数，试确定

11、5n+3是否为合数？如可能为素数，试给 的一个可能值.练习&试求所有满足 p+q=(p q)3的质数对(P,q).练习b +1 a 中 1I9 :设a,b为正整数，且 +为整数，证明：(a, b) < Ja + ba b10:记n为大于1的整数，全部正因子为山哉”“血，其中，1 =山<血<<dj. = n.记。练习D M皿? + ddg +血_十(1) 证明：祸(2) 确定所有n,使得Din?.练习11: p,q均为正整数，使得卫=11+11+一丄 +q 2 3 41318 1319练习练习练习试证：1979 I P。12:试求所有这样的质数p,使得p2 +11恰有6个不同的正约数。