解析几何知识点大总结

1、解析几何知识点大总结第一部分：椭圆.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点F1, F2距离的和等于常数 2a(A F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆，即点集 M=P| |PF i|+|PF2|=2a, 2a> |F iF2|=2c;2c。这里两个定点Fi, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距(2a = f1f2=2c时为线段F1F2, 2avFiF2 =2c无轨迹)。2.标准方程:c2 =a2 -b2焦点在x轴上:a22y-121 (a> b>0);焦点 F (± c, 0)b焦点在y轴上:2y2a2x 彳T 一 1 (a > b> 0);

2、焦点 F (0,± c)b注意：在两种标准方程中,总有a> b>0, a2=b2 +c2并且椭圆的焦点总在长轴上;2 2一 XV一般形式表示：一+一 =1 或者 mx2 + nv2=1(m>0,n)m n二.椭圆的简单几何性质:1.范围(1)椭圆22-+ L =1 (a > b> 0) 横坐标-a w xw a ,纵坐标-b < x< ba2b2(2)椭圆2 2占 +刍 =1 (a > b > 0) 横坐标-b w xw b,纵坐标-a w xw aa2b22.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭

3、圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1)椭圆的顶点：Ai(-a ,0),A2(a,0),Bi(0,-b ), &(0,(2)线段AiA2, BiB分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 .离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c2a即c称为椭圆的离心率,a椭圆就越接近于圆； 椭圆越扁；e越接近于0(e越小)，e越接近于1(e越大),注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，(2 )椭圆的第二定义：平面内与一个定点(焦点)与其所处的位置无关。 和一定直线(准线)的距离的比为常数e, ( Ov ev 1)的点的轨迹

4、为椭圆。(T F|=e) d焦点在x轴上:(a> b> 0)准线方程:2±0_c焦点在y轴上:(a > b> 0)准线方程:2 ±0.c小结一：基本元素(1 )基本量：(2)基本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3 )基本线：对称轴(共两条线)5椭圆的的内外部a、b、c、e、(共四个量)，特征三角形2 2X y1(1 )点P(x0, y0)在椭圆一+专=1(a >b >0)的内部a b2 2(2)点P(x0,y0)在椭圆 笃+占=1(a:>bA0)的外部=a b6.几何性质(1)焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段)a-c<MF

5、(2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦)(3)焦点三角形(椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形)S3|F1F2 = b0tan 其中2F1MF2 =日 7直线与椭圆的位置关系:(1)判断方法：联立直线方程与椭圆方程消y(或X)得到关于X的一元二次方程，根据判别式A的符号判断位置关系:>0 =<0 =二相交 二有一个交点 二没有交点有两个交点相切相离 2联：2y2_ +b2 =1 消 y 得:Ax + By +C = 0(a2Ab2B2 X2a2ACa2(Cb2B=0-2a2ACa2(c2-b2B2 )Xl +X2 =2 "2 2J X1X2 =a2A2 +b2B2a2A2+b

6、2B2联，7吒Ax + By +C(a2A2 +b2B2 ”2 + 2b2BCy + b2(C2 -a2A2 )=0 b2(C2 -a2A2) yiy2 = 2.2 . 22 a A +b B弦中点问题：斜率为k的直线l与椭圆+m2y2=1(m > 0, n0,m工n)交于两点nA(Xi,yi)、B(X2,y2)M（X0,yo）是ab的中点，则:2k -丄XAB 一 2my。aB =（Xi -X2）2 +（yi -y2）2弦长公式： r :=（Vk2）（xx2）4x1x2第二部分：双曲线标准方程（焦点在X轴）标准方程（焦点在 y轴）双曲线2 2XyW =1(a A0,b0)ab2 2yX

7、=1(a A0,b >0)ab第一疋义：平面内与两个疋点F,，F2的距离的差的绝对值是常数（小于FiF2 ）的点的定义轨迹叫双曲线。这两个定点m|mFi| MF2|=2a（2a <|吋2|）叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。准线方程2X =±!_c2y =±a-c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离:2 a2渐近线y=±bxax = ±bya方程共渐近线的双曲线2 2y Xr =k( k h0) b系方程(1 )判断方法：联立直线方程与双曲线方程消y(或X)得到关于X的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系:A >0有

8、两个交点二相交 相切二有一个交点直线和双曲线的位 <0相离二没有交点22I X y 联立孑"了一1消y 得:Ax + By + C = 0(a* -b2B2 X2 + 2a2ACxta2©2 +b2B2)=0 a2(C2+b2B2)X1X2 =Xi 中 X2-2 a2 AC2A2 -b2B2a2A2-b2B2联立I2y_ 5 孑二1 消 X 得:aAb y + C = 0(a* -b2B2 ly2b2BCbCa2A=0-b2(C2-a2A2) yiy2 =a2A2 -b2B2弦中点问题：斜率为k的直线I与双曲线2 2M-=1(mA0,nA0)交于两点m2n2kAB*亡

9、A(Xi,yi)、B(X2,y2)M(心)是 AB 的中点，则: 弦长公式：lAB卜乜三史二(1 + k2)(Xi +x2)2 -4x1X2补充知识点:等轴双曲线的主要性质有:（1）半实轴长=半虚轴长;其标准方程为X2 -y2 =C其中 80;离心率e = J2 ；渐近线：两条渐近线 y=± X互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；等轴双曲线上任意一点 P处的切线夹在两条 渐近线之间的线段，必被 P所平分;7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数a2第三部分：抛物线知识点总结2y =2px（p0）图象2y 一2 px（p

10、>0）2X =2p y（ p>0）IyVF /0X0X/I0 K F X2X =2 py（ p0）平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线定义范围的焦点，直线I叫做抛物线的准线。 M |Mf|=点M到直线I的距离对称性关于X轴对称焦点（2,0）（-2,0） 焦点在对称轴上关于y轴对称吒）（0,-卫）2顶点0（0,0）离心率e=i准线方程xx"y =卫2222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。X亡 R, y >0顶点到准线 的距离焦点到准线的距离焦半径A(Xi, yi)PAF = -Xi + 2AF = yi +号焦点弦

11、长(Xi +X2)+ p(yi +y2)+ p(W +y2)+ P焦点弦AB(Xi +X2)+p_A,yi )的几条性质A(Xi,yi)B(X2,y2)(以BF| =X2= P一2 1 + cosa焦点在X轴正半轴为例)若AB的倾斜角为a ,贝y AB=Xi + X2 + P = 2p 二 2p(通径)sin a2PX1X2 =41 十 1_2|af| BF " p2 P2sina参数方程x = 2 pt 2(t为参数I y = 2 pt1.直线与抛物线的位置关系以AB为直径的圆必与准线I相切，以MN为直径的圆与AB相切与点F,即MF丄FNy =kx+b，消 y 得:P"

12、+ 2(肚-p)x+护=0直线/抛物线几2眄2 =如(1 )当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点;(2)当 kM 0 时, > 0, =0, < 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；直线I与抛物线相切，一个切点；直线I与抛物线相离，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点 ，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 I: y = kx + b 抛物线 C：y = 2", (p A 0)y =kx+b"2 p广k2x2 +2(kb- p)x + b2 =0设交点坐标为A( xi, yi) , B(X

13、2, y2)，则有0 ,以及Xl +X2, Xl X2，还可进一步求出联立方程法:y, +y 2 =kx1 +b + kx2 +b =«为 +x2)+2b2 2yiy2 =(kxi +b)(kx2 +b) =k X1X2 + kb(xi +X2)+b相交弦ab的弦长在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.Xl X2=Jl +k2 J(xi +x2)2 -4xiX2b.AB|=jl¥|yi一“+右时音中点叫曲冷=宁点差法:2Cyi =2pxi设交点坐标为 A(xi, yi)，B(X2, y2)，代入抛物线方程，得2 cy2 =2 px2将两式相减，可得(y, -y2)(yi +丫2)=2p(xi X2)m = 2pXiX2 yi+y2a.在涉及斜率冋题时，kAB