第一章行列式

1、第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:.解（1）-4= 2x(-4)x3 + 0x(-1)x(-1)+ 1x1x8-1-0x1 咒 3-2x(-1)咒 8-1 咒(一4)x (-1)=-24+8 + 16-4 =-4=acb + bac + cba- bbb- aaa - ccc=3abc- a3 - b3 -c3bb2bc2 + ca2 + ab2 -ac2 - ba2 - cb2= (a-b)(b-c)(c-a)(x+y)3 x33=x(x + y)y + yx(x 中 y)中(X + y)yx y32=3xy( x+y)y 3xy 3y2x- x3 - y3 -x32.按自

2、然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1) 1 2 3 4(3) 3 4 2 1(2) 4 1 3 2 (4) 2 4 1 3(2n-1)(2n);(2n-1)(2n)(2n - 2)2.解(1)逆序数为逆序数为逆序数为逆序数为逆序数为4:5:3:n(n -1)(2n-1) 2 , (2n-1) 4 ,(6)逆序数为n(n-1)(2n-1) 2 , (2n-1) 4 ,1,2 1(2n-1) 6，(2n-1)(2n- 2)(n- 1)(2n-1) 6，(2n- 1)(2n- 2)(n- 1)(n-1)个(2n) 2 , (2n) 4 , (2n) 6，(2n) (2n -2) 3.写

3、出四阶行列式中含有因子aiia23的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为(-1门1 p1a2p2a3P3a4p4,其中 t为 P1P2P3P4 的逆序数.由于 P 1, P 3已固定，p1 p2 p3p4只能形如13，即卩1324或1342.对应的t分别0 + 0 + 1 +0 = 1 或 0 + 0+ 0+2=2 aiia23a32a44禾口 aiia23a34a42为所求.9017901710-214=041244-12-101202C2 - C3120210520C4 -7C310321-104-110=122 x(_1)4M=12-2103-14103144

4、.计算下列各行列式:解(1)C2 + C3C1 T C3214121403-121C4 - C23-122123212305062506221404 -23-1224 -112302140213-112-abacae-b cebdcdde=adf b - cebfcfefb c-e-111=adfbce 1-11 = 4abcdef11-1a1000 1+ aba0-1b101 + ar2 - 1b100-1c10-1c100-1d00-1d0001 + ab0a+=(-1)(-1严=(-1)(-1严2=00-11 + ab-1c - c15.证明:(1)左边=Uab - a2=(b-a)(b

5、- a)C3dc2-1ad1 + cd-1ada22ab2-1=abcd + ab + cd + ad + 1ab - a2.2 2b - ab- a2b - 2a-a22b- 2ab)3 =右边分别再分 2axay + bzaz+ bxyay + bzaz+ bxayaz+ bxax + by+ bzaz+ bxax + byzax + byay + bzxax+ byay+ bzxzz按第一列(2左边ay + bz az + bx + byax0+0 +y bzaz+ bx ax + by ay + bz分别再分3ayzx+ b3zxyxyzyzxy zxyzxyz3 ayzx+ b3yz

6、xzxyzxyxy(-1)22 a2 a+ (2a + 1)(a + 2)2(a+ 3)b2b2+ (2b+ 1)(b+2)2(b+ 3)2 c2 c+ (2c + 1)(c+2)2(c+3)d2d2+ (2d + 1)(d + 2)2(d+3)右边22左边=222 aC2 - ClCs - CiC4 - Cib22cd22a+ 12b + 12c + 14a+ 44b+ 44c + 46a + 96b+ 96c + 9a2 a 4a+ 4 6a + 9a21 4a+ 4 6a+9b2 b 4b+4 6b+9b21 4b+4 6b+92 2+c2 c 4c 中 4 6c+ 9C21 4c +

7、4 6c + 9d2 d 4d + 4 6d + 9d21 4d + 4 6d + 92d + 14d中46d + 9按第二列 分成二项第一项Csa2 a 4 9a21 4a 6ab2b 4 9+b21 4b 6bc2c 4 9c21 4c 6cd2 d 4 9d21 4d 6d-4C2C4 - 6C2第二项 Cs - 4C2C4 - 9c2=01a左边=2a4 a0b- ab2a2b4-a4c a22c - a44c - a0 d - d2 d4a2-a4-a则Dn按第1列展开：b- a.2 2b a.2彳.2 2、 b (b - a )c a2 2c - a2/2 2、c (c - a )

8、d - a.2 2d a.2彳.22、d (d - a )=(b-a)(c-a)(d-a)c+ ac2(c + a)1b + ab2(b+ a)1d + ad2(d+a)=(b a)(c a)(d a) X0d - b2 2d (d + a)-b (b+a)1 0b + ac - b2 2 2b (b + a) c (c + a)- b (b+a)=(b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)咒 1 1(c2 +bc + b2) + a(c + b) (d2 + bd + b2) + a(d + b) =(a - b)(a - c)(a - d)(b- c)(b -

9、d) (c- d)(a + b+ c+ d)(5)用数学归纳法证明a2a1=x2 + aqX + a2,命题成立.+假设对于(n - 1)阶行列式命题成立，即Dn 1In 2I IIn=x + aqX + an/X + an,.-1000Dn 二 XDn/ +an(1严-1=XDnv + an =右边所以，对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D = det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90”、或依副对角线翻转，依次得an1anna1nannh1，D2 =hha11a1na11an1D1 -D3 =annan1a1na11n(n/)证明D D2M-1)D,D3 二证明 P D = d

10、et(aij)an1ann十1)2a11an11a1n annba11a1 n a21a2nD1 =a11a1n(-1)2(-1严a21an1a2nanna11a1nan1anna31a3n(T)n'(T)z - (T)n(n_J)(1)1 卄 n/MD (1)Dn(n J)ai1an1n(n_J)n（n）同理可证D2=（-1） 2(-1) 2 D (-1) 2 Da1 nannn(n J)n(n/)n（n）D3 十1) 2D2 = (-1)(-1)D = (-1)叫9 = D7.计算下列各行列式（a00010a0000 0 a 00 000a01000aDk为k阶行列式）：按最后一行

11、展开001.解(1) Dn(-1严（再按第一行展开十1严（-1）n(n”n/)(n-2)(n-2)+(_1)2n(n1)(2)n -2 /2八(a - 1)（2）将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得xaa XX a再将各列都加到第一列上,X + (n - 1)a0= x + (n-1)a(x-a)n 从第n + 1行开始，第n + 1行经过n次相邻对换，换到第1行，第行经（n-1）次对换换到第2行，经眄1）次2n (a- i + 1)-(a- j +1)交换，得111a aT a - n n -4 a(a-1)2(a-n)n1n a(a-1)n(a-n)nn(n41)Dn卄(T)2此行列式为

12、范德蒙德行列式Dn卄（T）n(n F)2n(n+1)M-1) 2n(n)nT屮"+1(i j) = (T) 2 -(T)2 nn+13jN(i- j)=n (i - j)(4) D2n按第一行展开 ananCnanCn_1an -iai bi Ci diaiCibidibndni0bndn0dnbn/+ (i严bnaiblcidiCn都按最后一行展开由此得递推公式:CnXdn/0andnD2n2 一 bnCn D22D2n=(andn - bnCn)D22=n(aidi - iiCi)D2i=2即D2n而D2 =(5)Dnri2 -3,-1-1-1aiblD2n=n(aidi -bC

13、i)0123n -11012n- 22101n- 33 I21 1 0n - 4 n -1 n-2n-3n - 40111 1-111 1-1-11 1C2 + C1,C3 + C1-1 -1 -1 1 C4 + G,n -2n - 3n - 4 0000000diCin=degj)=-1-1-1-1n -10-2-200aij = i -=(-1)nTn- 1)2-1-2-22n-32n -42n-5(6) D+ a1C1 C2, C2 - C31 + anC3 一 C4,a1000-a200a2- a30a3-a4按最后一列展开（由下往上）=(1+an )(aia2an 丄)+ aia2a

14、3a2an+ a2a3an000一 anan J10000-an1 + ana100000a? ia200000 -a3a3000(1+ an)(a1a2"an J ) -00- a4000000- an/an/000000-ana10000-a2a20000-a3a300+ + +000- an 二an 二0000-ana2a20000- a3a300100-a400000一 an二an/0000-ann 1= 22an)(1 + S)Hai-2-3-1-5-2-3-1-51111-5-1-5-1-911-13-3-2311-13-3-23-5-1-911-5-1-911-10-4

15、6-138二-142151115111-2-140-7-232-2-1-50-12-3-7302110-15-18023120000142D2151115110-13201-19003931000-2848.用克莱姆法则解下列方程组:1111111112-1401-232-3-1-5 "0-5-3-7312110-2-18解（1） D1111111101-2301-2300-13800-1-5400-514000142=1425111511-1-2=-2841151-2D3-3-2-511=426D4X1D1-1-1-2-2X2D22,X3D3=3,X4D4

16、-1按最后一行展开5D -=5D -6D"= 5(5D " 6D ”)-6D ”二佃D " -30D-114Dppp r=65 19- 114% 5 = 6651507(D为行列式D中a11的余子式，D为D冲a；1的余子式，D”； D”类推按第一列展开= D7 64 = 19D-30PP PP十6451000D2 =按第二列展开3-5 6 = -65- 1080= -1145D3 =按第三列展开1 6 00 5 6+ 60 150116015 60 11 50 =19 + 6X14 = 703=-5-61560按第四列0150展开00160005=-3951560按最后一列0156 +展开0015000165 60 00 11 515071145703-3952122 665； X2= -16? ；X665； X 665 ；X665* + X2 + X3 = 09.问A，卩取何值时,齐次线性方程组“ Xq +卩X2 + X3 = 0有非零解?