有理数的乘方

1、有理数的乘方（一）乘方2在小学我们已经学习过a a，记作a，读作a的平方（或a的二次指数底数3壽方）；a a a作a，读作a的立方（或a的三次方）；那么，a a a a可以记作什么？读作什么？ a a a a a呢? a aaa （n是正整数）呢? n个1概念：一般地，我们有：n个相同的因数a相乘，即a £用a，记作an。例如，2X 2X 2 = 23 ; ( 2)( 2)( 2)( 2) = (2)4。这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 幕。在an中，a叫作底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作 a的n次幕。例如，23中，底

2、数是2,指数是3, 23读作2的3次方，或2的3次幕。2、有理数乘方的符号法则正数的任何次幕都是正数.负数的偶次幕是正数，奇次幕是负数.个数可看作这个数本身的一次方，例如：3就是31 , （-5）就是（-5）1，通常1省略不写.3、有理数的乘方运算的步骤先确定幕的符号，再计算底数绝对值的乘方，这一点和有理数加法、乘法、除法相同.疑难问题解析 弄清1, 1, 0这三个特殊数的乘方1的任何次幕是1; -1的偶次幕是1; -1的奇次幕是-1 .0 的任何非零数次幕是0,如：12003 =1 ； （-1）2004 =1 ； （-1）2003 =-1 ; 03=0一般地，当n为自然数时，（1）2n=1,

3、 （1）2曲=-1 ； 1n=l 负数和分数的乘方要加括号负数和分数的乘方，在书写时，一定要用括号把整个负数和分数用括号括起来，如:32 2 22 22 3 23（2）咒（-2） =（2）2而不等于22 ； 2咒二x2=G）3，而不等于 .3 3 333弄清（-a）n与-an的关系在（a）n中，底数是-a，而-an中底数是a ； （-a）n的意义是n个-a相乘，而-an表 示n个a相乘的相反数.当n为偶数时，（-a）n与-an互为相反数，如（-2）4与-24就互为相反数.当n为奇数时，（a）n与-an相等，如（2）3 = -23.弄清乘方与乘法的关系，乘方是乘法的特殊情况.典型例题分析 例1判

4、断下列乘方的幕的符号.(1)22 -3(2) a3(ac0)(3) (2严例2计算(1)(-讣32(2) (-0.75)3(3)-(-2)4(4)3x(-2)2(5) 48气-2)5(6)(-2)3"-3)2分析：解（1）、（ 2）（ 3）题，要先判断幕的符号，再计算底数的绝对值的乘方，如果 底数是分数，要把分子、分母各自乘方.先算乘方，后算乘除.解: （ 1）（）3 =（-3）3 =2 24）、（ 5）（ 6）是乘方与乘除的混合运算，应(4)3乂(-2)2 =3X4=12(_2)3乂(_3)2=_8冥9 = 72278）（亠75）3 十4）3 一 648-(2)5 =48-(32)

5、 _(_2)4 = -163=一221例 3 当 a = 2，b =，c =-时， 34分析：像这类代入求值题，首先要正确代入, 数的乘方应加括号.b2 -C2 的值。其次要准确计算，尤其要注意：负数和分解:21当 a = 2，b=，c =-时，342、2 . , 1、23' 4（1）如果一个有理数的正偶次幕是非负数A正数 B 、负数 C（2） 两个有理数互为相反数，那么它们的n次幕的值（A相等B 、不相等C（3）计算（2）11 +（2）10 的值是（A. -2B. （-2）21C.0,22,_、2.,2、2.,1、2,41,55+ b -C =（一2） +（匚）+（）=4+；- =4

6、 916144,那么这个数是（）非负数 D 、任何有理数）D 、没有任何关系、绝对值相等）D.（4）下列数中，与（-7-2）5相等的数是（A.（-7）5+（-2）5分析：（1）（2）（3）-210）。B.-145C.310 D.任何有理数的正偶次幕都是非负数。应选D.两个互为相反数的n次幕可能为相反数，可能相等，绝对值相等。应选（2）11 +（2）10 =（2）x（2）10 +（2）10 =-（2）10（7-2）5 =（9）5 =（32）5 = 310.应选择 D.-310C。例5计算：（321)(T)3(2) 0.125吸87(4) (-1)+ (_1)2+(-1)99 +(-1)100 ；

7、 (1 -2X2-3X3-4 广(2011-2012).=-210 .应选 D.(3) (-1)2叫(弋)20035分析：(1)题是(-1 )的3?次方，而是32=9奇数，所以原题是，(-1)9=-1。 ( 2)(3)观察到：0.125与8,-1与-5均互为倒数，充分利用互为倒数的两个数乘积是5解决本题的关键.(3)、( 4)关键是判断-1的n次方的符号，再抵消得到结果。2 2解：(1) z2 (-1)3 =(-1)9 = -1(2) 0.1258 x87 =()8 x87 =(!8 8 8(3) 原式=(_)x(_)x.x(_)x(/)x(_5)x.x(_5)= -5一 5_2 23个200

8、2(个)1 1 1原式=(_1)+1 +(_1)十1 =0 ；原式=(1)X(1)X(_1)X(_1)(_1) = _1 ；IP2011例6若X、1y是有理数，且X+2(x-iy +1)2 =0,求 xy的值。4分析:解：因为>0， (X-丄 y+1)2 >0,4又因为x +丄+2(x-丄 y+1)2=0,41所以x+丄=0，2例7已知有理数 (a9xb3xc2)的值。解：因为a-1 >0，1 1 1 x-；y+1=0，所以 X =-一，y=2，所以 xy=(-；) 2J满足 |a -1 +|b+3|+|3c-1 =0，求(axbxc)2'4125 .b+q >

9、0,3c-1 >0,且 a-1 +b+ q +|3c-l| =0.a >0, b? >0，要使 a =0，必须 a = 0，且 b = 0.a-1=0,所以b+3=0,所以b = -3,13C-1 =0,a = 所以 axbxc = 1 , agb3%。2 =1x(-27)x = 3 ,1 9c =.3所以(abc)125 =(1)125 =1,所以(abc)125十(a9xb3xc2) = (1)十(3)=丄3(二)科学记数法计算：101，10?，103，104，105，106，1010。105=10000，106=1000000，1010=10000000000，左边用

10、10 的 n 次幕表示简洁明了，且不 易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幕表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。又如像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是 300000000米/秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示 它们呢？这就是本节课我们要学习的内容一一科学记数法。10n的特征观察 101=10, 102=100, 103=1000 , 104=10000，1010=10000000000。提问：10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？10n=1000 , n恰

11、巧是1后面0的个数；7n个0(1)10n =100 0，比运算结果的位数少V（n书位1。反之,练习:0000000 = 107。7个0(1)把下面各数写成 10的幕的形式：1000, 100000000, 1000000000001后面有多少个0，10的幕指数就是多少，如指出下列各数是几位数：103, 105, 1012, 10100。科学记数法：（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幕的形式。如：100=1 x 100=1 x 102 ； 6000=6x 1000=6x 103 ； 7500=7.5 x 1000=7.5 x 103第一个等号是我们在小学里就学习过的关

12、于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100, 1000,变成 10 的 n（2）科学记数法定义：根据上面例子，我们把大于10的数记成ax 10n的形式，其中a的整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于 10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简 单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。般地，把一个大于10的数记成ax 10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数 （即K avl0）, n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。例8用科学记数法记出下列各数:（1）696 000 ;（2）1 000 000

13、;(3)58 000;一7 800 000。解：（1）原式=6.96X105 ；原式=106; (3)原式=5.8X104 ； (4)原式=一7.8咒106。三.达标测试（一）填空题 若a <0 ,则 若a2 > 0,且1、3a -a >0，则 a2na0 ； 若 a5 <0，则 a7 0 ；0, a2n +0；2、3、4、若a <0 , n为正整数，则 在式子（-3）2中，指数为5-1t 曰 F ,占厶 击加、"匕Fr、.2000 亠 2001 亠 2002 亠 2003若a是最大的负整数，求 a +a+a+a若a2b3> 0，则 b_0.，底数

14、为0.，读作5、5.89 X106还原后的原数中零的个有，那么这个有理数等于6、 如果一个有理数的平方等于（_2）2 （二）选择题1、11表示（A 11个8连乘 B 、11乘以8、8个11连乘 D 、8个别1相加2、下列结论中正确的是（A.绝对值大于1的数的平方一定大于B.一个数的立方一定大于原数C.任何小于1的数的平方都小于原数D.一个数的平方一定大于这个数3、对于（-2）4与-24，下面说法正确的是（A.它们的意义相同C.它们的意义不同，结果相等B.D.它们的结果相同它们的意义不同，结果不等4、a, b互为相反数，aO,n为自然数，则A. an, bn互为相反数B.a2n, b2n互为相反

15、数C.互为相反数D.以上都不对5、(_1)2001+(_1)200-A、0 B 、16、下列各式中正确的是(A. a2=(-a)2 B.(三)计算题1 2 2 1 2 -(-)"V) + (:)48和 一1| +(1)2003C、一1)=(-a)3的值等于（DC.2-a2-aD.(_2)100 +(2)101（四）解答题。1、已知 |x 1|+ （y+ 3）2 =0,求（xy）2 的值.2、若a, b互为相反数，C, d互为倒数，且a H0,则求(a+ b)2007 +(cd)2008 -(旦)2009 的 b值。3. 你吃过拉面吗？吃拉面既经济又实惠.你观察过面馆师傅们是如何伸拉面

16、条的吗？师傅们揉好面团，弄成长条，将它折叠一次，再拉长，再折叠一次，再拉长请问：折叠一次变成折叠二次变成折叠八次变成通过计算，你发现了什么规律？14、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 '的矩形，接着把面积为21-的矩形，如此进行下81 ,611分成两个面积为一的矩形，再把面积为 一的矩形等分成两个面积为4 41 、7 , 1 、811111去，试利用图形提示的规律，计算：丄+（丄）2+（丄）3+（丄）4+（丄）5+（-f+（-）'+（-r2 2 2 2 2 2 2 2四.家庭作业1、如果4aa4，那么a是2、已知a2 =1,b' =8，则ab的结果为3、(-0.25 )2004 X 42004 +(_1)2004 +12004 的值是