数列通项公式的十种求法

1、数列通项公式的十种求法一、公式法2=2，求数列an的通项公式。例1已知数列an满足an半=2an + 3x2n，3解: an+=2an +3x2n两边除以2n*，得尹以ai“=2=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,21 2 2盼a-，故数列*是22n得空=2n1+(n-1)| ,31所以数列a的通项公式为an = ( n )2“。2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an十=2an+3x2n转化为銅是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an2nan=1 +(n-1)-，进而求出数列2n 23，说明数列2an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足anH1 =an

2、+2 n+1,耳=1，求数列a.的通项公式。解：由 an+=an+2n+1 得 an+-a2n+1 则an =(an -an) +(anan/) +il|+(a3 -a2)+(a2 -a,)+a1=2 (n-1)+1+2 (n- 2)+1+川 +(22+1)+ (21+1) + 1 =2( n-1)+( n- 2)+川 +2+1 + ( n-1)+1 =2心2+(-1)+1= (n- 1)(n+1)+1=n22 所以数列aJ的通项公式为an = n。评注：本题解题的关键是把递推关系式a =an +2n+1转化为a -a 2n + 1，进而求出(an-anJ 中(an4anJ+lll + (a3

3、-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列 何的通项公式。例3已知数列an满足an =an +2x3n +1,印=3，求数列的通项公式。an=an+2x n + 3 得 1an屮一a. = 2x3n+1an =(an - an 丄)+(an J - an2)+ 11 + (a3 - a2 ) + (a2 - a1 ) + a1= (2x3n+1)+( 2x32 +1) +川 + (2x32 +1)+( 2X31 +1) + 3=2(3山 +3n/ +川+32 +31) +(n -1)+3(n-1) + 3= 23 +1-3=3n _3 +n -1+3+ n 1所以an=3n +n1.评注：本题解

4、题的关键是把递推关系式an + = an + 2 X 3n +1转化为ann，- an = 2咒3n +1，进而求出an =(an an)+(anan+111 + ® a2)+2 ai) + ai，即得数列 佝的通项公式。例4已知数列an满足可十=3an +2x3n +1, a1=3，求数列an的通项公式。解：an+=34 +2x3n+1 两边除以 3n*，得3n41 ，则=3 +产，故an / an anj./an4 anJ2j_/an/ an 、丄 i u 丄厂(厂訂+(兀尹)+(产戶+川+丄)+(? +') +(? +!) +川 +(Z + 丄)+ 3 3n) (3 3

5、® (3 32，(3 32) 3十 讣 仔十了1十川十卡 十133333=(|2(n-1)丄(1 -gn J) 因此 an = 2(!口+i3n31-3nJ32 2x3n+旦32 1则 an = X nX3n +-%3n3 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an出=3an +2% 3n +1转化为显：-肆=2 +二,3333进而求出兽巽)+(养-弄)+(耗予)+川+弊針11，即得数列刖的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。三、累乘法例5已知数列an满足an半=2( n+1)5吸an, a =3，求数列a.的通项公式。解:a因为 an+ =2(n+1)5帳an, 4=3，所以 a

6、0 ,则 亠=2(n+1)5n，故anananril 邑皂 aian_2a2 ai=anan 4=2(n 1 +1)522( n -2 + 1)5HII 2(2 +1)522(1 +1)咒51%3 = 2nFn(n-1) 411 3x2x52WfE妆 3n(n)= 3x2宀n!n(n-l)所以数列aJ的通项公式为an =3咒225丁咒n!.评注：本题解题的关键是把递推关系4=2(n+1)Fxan转化为 益 =2(n + 1)5n，进而求an出旦-Sn 4an -2a2”亞a,，即得数列aj的通项公式。ai(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列 an满足a1 -1,an =ai+2a

7、2+3a3+川+(n -"an>2)，求 佝的通项公式。解：因为 an =4 +2a2+3a3+111+(n- 1)an(n>2)所以 an+=ai +2a2 +3a3 +|i|+(n-1总4 +nan用式一式得an十一an = nan.则 an+=(n+1)an(n>2)故空=n +1(n >2)an所以 a-a川也.an(n-1)川“心血=-aanJ an_2a22由 an =印 + 2&2 +3a3 + 111 + (n -1间二(n >2),取n =2得a2 = a<H2a2，则 a?=印,又知n Iai =1，则 a1，代入得 a

8、n =1 3 4 5 川 m =。2所以，an的通项公式为an =旦2O评注：本题解题的关键是把递推关系式an出=(n+1)an(n>2)转化为上1 = n+ 1(n > 2)，an进而求出旦-anW a2，从而可得当n 3 2时，an的表达式，最后再求出数列的an_2a2通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an十=2% +3x5n,印=6，求数列牯的通项公式。解：设 an十 +xx5n =2(an +xx5n)将an十=2an +3x5n代入式，得 2an +3x5" +xx 5n* = 23.+ 2c咒S，等式两边消去2an，得3 "T + X &#

9、39;=去' 5两边除以5n，得3 + 5x = 2x贝U x = 1代入式得an + _5"十=2(an -5“)5门41由a51 =6-5=1 HO及式得an5nH0，贝U齢 n =2，则数列an5n是以an-56 -E =1为首项，以2为公比的等比数列，则 an -5n =2n4，故an =2 +5n 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an十=2an + 3X5n转化为 可十-5n =2(可-5n)，从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列 an-5n的通项公式，最后再求出数列15an的通项公式。例8已知数列an满足an出=3an +5x2n +4, a =1，

10、求数列an的通项公式。解军：设 an卡 +xx2n+ + y =3(an +xx2n + y) 将an专=3an +5x2n +4代入式，得 3an +5x2n +4 + xx2n + + y = 3(an +xx 2n + y)整理得(5+2x)x2n +4 + y =3xx2n +3y。令p+2x=3x，则x=5，代入式得4 + y=3yy = 2 an+ +5x2n +2=3(an +5x2n +2)由耳+521 +2=1+12=13工0及式,na 丄 +5X 2n* +2得 agg0，则；+5炮+2 =3故数列an +5咒2n +2是以a + 5X21 +2=1 +12=13为首项，以

11、3为公比的等比数列,因止匕 an + 5X2n + 2=13x3"，贝H an =13x3n"1 5咒 2n-2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+ =3an +5% 2n +4转化为 an+5x2n*+2 =3(an+5x2n+2)，从而可知数列 佝+5咒2"+2是等比数列，进而求 出数列an +5x2n +2的通项公式，最后再求数列 aJ的通项公式。例9已知数列an满足an4 =2an +3n2 +4n +5, a =1，求数列aj的通项公式。解：设 an+ +x(n +1)2 + y(n +1) +2(an + xn2 + yn + z) 2将an+

12、=2an +3n +4n+5代入式，得2 2 22an+3n +4n +5+x(n+1)+y(n +1) + z = 2(an+xn +yn + z)，则2 22an+(3+x) n +(2x + y+4 )n +(x+y+ z+5) =2an+2x n +2y n + 2z等式两边消去 2an，得(3 + x)n2 +(2x + y +4)n + (x + y + z+5) = 2xn2 +2yn + 2z ,x=33 + x = 2x解方程组<2x + y +4 =2y ，则< y =10，代入式，得X +y +z+ 5 =2zz =18an+3( n+1)2 +10( n+1

13、)+18=2(an +3 n2 +10 n+18)由 a +3天12 +10x1+18 = 1+31 =32h0及式，得 an +3n2 +10n+18H02则a.半+3（n+1） +心+站亀，故数列2an+3n +10 n+18an +3n2 +10 n+18为以2a1+3x1 +10x1+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此 an +3n2 +10n+18=32x2n，贝U an =2n* -3n2 -10n-18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+=2an+3n2+4 n+5转化为 an 卅+3( n+1)2 +10( n+ 1)+18=2(an +3 n2 +1

14、0 n+18)，从而可知数列2 2an+3n +10n+18是等比数列，进而求出数列an +3n +10n+18的通项公式，最后再求出数列aJ的通项公式。五、对数变换法例10已知数列an满足an+ =3an，6=7，求数列an的通项公式。解：因为an十=2x3nxa5, a =7，所以an>0, an十 >0。在 an41=2x3nxa5式两边取常用对数得 Igan十=5lgan +nlg3 +Ig2设 lgan+x(n+1) + y =5(lg axn + y)将式代入 (11式，得5lgan + n Ig 3 Ig 2x n什 1)y = 5ag+xn + y，两边消去Ig3x

15、 =4Ig3 Ig25 lgan 并整理，得(Ig3 +x)n + x +y + lg 2 =5xn +5y，则1g3+x=5x 丄 阳，故V'X + y+lg2=5y|y=工+亠I 164込、厂、Ig 3Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2 厂、代入®式，得©时+口鬥厂計：二厶唤+打比6异4)® 由Igai +也1+必+型=©7+也咒1+必+型北0及式,41644164得 IganJg3nJg3Jg2H0，4164Iganjn+1)+13 +晋贝 y416L =5Igan+也n+也+也 八 4164所以数列Igan+朋n+W是以Ig7

16、 + /+也+咗 为首项，以5为公比的等41644164比数列，则 Igan+也n+g+22=(Ig7+/+/+P2)5n，因此41644164Igan=(Ig7+竽+譬+弩)5=罟n 一罟-晋41644641 1 1 1 1= (lg7+lg34 +Ig36 +©2)52©3 Ig316 -Ig24111n 11= lg(7 34 3 右旷-lg(34 撐 刁)1 丄 1n 丄 1= lg(7 34 3忆 24)5n4lg(34 3 24)5n 丄-n 5nT 5n-J-= lg(75n4 3 43甘 2 4)5n4n45"丄4= lg(75nr3"

17、2)5n 4n45n丄4则an =75.亠天3 16咒2丁。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an+ = 2咒3n X an转化为ig 3ig 3 ig 2ig 3 ig 3 ig 2igan. + 9 (n +1)+十耳 =5(igan+ 门+耳+)，从而可知数列卡 41644164ig 3 ig 3 ig 2ig 3 ig 3 ig 2ig an +卫一n+d+卫一是等比数列，进而求出数列 ig an +主一n +旦+乩的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an+= a3(n彬;a =5，求数列%的通项公式。解：因为an十a,

18、"，所以an=annrr 3(n)2n-,3n2n-= a2 32(n4)n2(n 虫华 d= an_2I- 3(n_2) 2n2,32(n)n 刃"2*卫=an J333(n_2)(n4n 2(n3卡自半d=0心=IH3nd2 3|H|Kn_2) (n)n 21 单北勻十2 如“ =aiMnll3nn! 2 2 =6又6=5，所以数列an的通项公式为an(n _n_ 535! 2 2即先将等式兔啡=&3(宀2"ig an+ =3(n +1)2n，再由累乘法可推知igan 占ig an 4igon)川 igaig anig a2罟 lgai=lg53f2

19、ig冃n(n_U'2n(nJ)3n n! 2-，从而 On =52。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。两边取常用对数得 ©0=3(n+1)x2nx|gan,即ig On七、数学归纳法例12已知数列 an满足 an4t = an十8( n+1)2 2 ?(2n +1)2(2 n+3)2ai8,求数列Oi的通项公式。9解：由 an+ =an +8(n0(2n +1)2(2 n +3)82及aiH，得8(1+1)88x224(2>d+1)2(2x1 +3)29 9x25258(2+1)a = a2 +22(2x2+1)2(2 x2+3)28(3+1)2

20、4 + 8x3"25 25x4948"49a a3 +22(2 咒 3 +1)2(2 咒 3 +3)248 8x4=+ 49 49x818180由此可猜测an二册1，往下用数学归纳法证明这个结论。")当2时，3=唱帝=|，所以等式成立。假设当n=k时等式成立，即a-(2(2k1)r，则当n”1时，ak 十 ak+8叮 J2(2 k +1)2(2k +3)2(2k+1)2-1 亠 8(k+1)+ 2 2 2(2k+1)2(2k+1)2 (2k+3)2(2k+1)2 -1(2k+3)2 +8(k+1)(2 k +1)2(2k+3)2(2k +1)2(2k +3)2 -

21、(2k +3)2 +8(k +1)(2k +1)2(2k +3)2 (2k + 1)2(2k+3)2 -(2k+1)2(2k + 1)2(2k +3)2(2k +3)2 -1(2 k+3)22( k +1)+12 -1 2( k +1)+12由此可知，当n =k +1时等式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 n亡N都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法1 例13已知数列an满足an = (1+4an +j1+24an), a1 =1，求数列a.的通项公式。16解：令，则 a2.(bn1)故

22、 an+ = 1 (b2+-1)，代入 an* = 1 (1 +4an + J1 + 24an)得2416却“1)诂WWl+bn 因为 bn =Jl+24an "，故 bn+=Jl+24an>013则 2bn+=bn +3，即 bn+ = 2b2，1为公比的等比数21= (-)2+3，得可化为 bn+3=2(bn-3)，所以bn-3是以 fci-3 = Jl+24ai -3 = Jl+24xl-3 = 2为首项，以1 1 1 列，因此 bn -3 =2()2 =( )2，则 bn =()2+3，即 / + 243.222 ran =2(1)n+(2)n¥。3 423评

23、注：本题解题的关键是通过将J1+ 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化13bn+ =-bn +5形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn -3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a -24,ai =4，求数列an的通项公式。例14已知数列an满足an+=n4an +1解：令 x=21x24，得 4x2-20x24 04x +1两个不动点。因为，则 X1 =2, X2 =3是函数 f (x21x24 的4x +121an-242an + 3 21an 244an+1ai 3= 42=2为首项，以13为公比的等比数列，故 3 = 2()29an 394-3an 3an+_2 _ 4a1 _ 21an 一24 -2(4an +1) _ 13寺 - 26 _ 13 an - 2。 所以数列 _3 21an 24-3(4an+1)9a279 an3则an评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21-2421X-24的不动点，即方程x=24的两4x+14x + 1个根为=2, X2 =3，进而可推出anH! 2 an + _312 .L?2，从而可知数列为等比数9 an -3ian-3J列，再求出数列a _2J一 的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an 3J例1