人教版初二(上)数学第29讲：全等三角形的判定(1)(含答案)

1、21A OB = AOB的依据是人教版初二（上）数学第29讲：全等三角形的判定（1）（含答案）【教学目标】1、理解全等三角形的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS ;2、能运用判定方法判定两个三角形全等；3、经理探索判定方法判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活【知识梳理】1 . SSS的两个三角形全等（简称 SSS）.这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也 是三角形具有 的原理.2 .利用SSS证明三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.如下图，已知： ABC与 DEF的三条边对应相等，求证： AB集

2、DEF.A / 证明：在 ABC! DEF中，AB DE, AC DF, BC EF, AABCC DEF (SSS.3 .利用SSS作一个角等于已知角用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，说明4 .边角边定理三角形全等判定方法 2: 和它们的 分别相等的两个三角形全等.（简称SAS符号语言：在 ABd DEF 中,AB DEB EBC EFA4 A. .ABe DEF7 (SAS . 图示：B5 .探索边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形 等.6 . ASA分别相等的两个三角形全等,简称角边角或ASA如下图，已知/ D=Z E, AD= AE, /1 = /2.1求证：

3、AB¥ ACE证明：.一/ 1 = / 2 （已知）.Z 1 + Z CAD= Z 2+Z CAD（相等的角加同一个角仍相等）即 / BAD= / CAE在 AB/口 ACE 中，/ D=/ E （已知）,AD=AE （已知）/ BAD= / CAE （等量相加） . ABN ACE （ASA）.7 . AASAAS分别相等的两个三角形全等，简称角角边或如图：D在 AB上，E在 AC上，DC=EBZ C=Z B.求证： AC国 ABE证明：在 AC/口 ABE中./ C=Z B (已知)Z A=Z A (公共角)DC=EB(已知) .kc里 ABE (AAS .参考答案：1.三边分别

4、相等稳定性3 .全等三角形的对应角相等4 .两边 夹角5 .不一定全6 .两角和它们的夹边7 .两个角和其中一个角的对边【例题讲练】1 .先证明对应边相等，再证全等(利用中点、等量相加等)AB8 FED.【例1】如图所示，在 那BC和 kED中，AD=FG AB= FE, BC= ED,求证:【解析】AD=FC,AD+ DC= FC+ DC,即 AC= FD. 在"BC和AFED中，BC ED, AC FD, AB FE,. AB8 FED (SSS.总结：利用“SSSE明两个三角形全等，有如下几种常见类型：(1)有公共边的两个三角形.(2)有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加

5、或相减，推出两边相等. (3)含有中点的两个三角形，如图：AB=AC, D是BC的中点，由中点的定义可得： BD=CD.继而可证 那Bg ACD练1.如图，已知AC=BD 0是AB、CD的中点，求证 AAO8ABOD.【解析】要证AAO8 BOD,只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.证明：。是是AB、CD的中点,AO=BO, CO=DO.在那OC和ABOD中,AC BD,AO BO,CO DO,AAO8 BOD.2 .先利用SSS证明三角形全等，继而证明边（角）相等，或求边（角） 【例2】如图所示，AB = DC , AC = DB ,求证：/ 1 = 7 2.【解析】在AABC与ADCB

6、中，AB DC, BC CB, AC DB,.AB8 DCB （SSS . ./ ABC= / DCB, / ACB= / DBC. / ABC / DBC= / DCB- / ACB.即/ 1 = / 2.总结：1 .要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质2 .当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和（差）相等，将问题转化3 .求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是人”字形屋梁，AB= AC.现在要在水平横梁 BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D,然后在A, D之间竖支柱 AD.那么这根AD符合 垂直”的要

7、求吗？为什么？【解析】ADLBC符合要求，理由如下： 点D是BC的中点,BD=CD.在"BD和9CD中，AB AC,BD CD,AD AD,ABDAACD (SSS . ./ ADB=Z ADC.又 / ADB+ / ADC= 180°, ./ ADB=Z ADC= 90°.AD ±BC.AB练3.如图所示，已知： A, C, F, D四点在同一直线上， AB= DE, BC= EF, AF= DC,求证:/ DE.AB【解析】先根据 SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：/A= /D,即可证明/ DE.证明：AF= DC,AF- CF= DC

8、 CF.AC= DF.在那BC与ADEF中,AB DE, BC EF, AC DF,.AB8 DEF (SSS.Z A=Z D. .AB/ DE.练4.已知：如图所示，在四边形 ABCD中，AB= CB, AD= CD,求证：/ C= /A.【解析】连接 BD,在那BD和4CBD中,AB CB, BD BD, AD CD,. AB4 CBD (SSS. C= / A.练5.如图，在四边形ABCD中，AB= CD, AD= CB,求证：/ A+/D=180°.【解析】证明：连接 AC,在AADC与4CBA中,AB= CD, AD=CB, AC= CA,. AD8ACBA< (SS

9、S, ./ ACD= / CAB, .AB/ CD, A+Z D=180°.3.利用SAS直接证明三角形全等【例3】如图所示， ABC , ADEF均为锐角三角形， AB=DE , AC=DF , / A= / D .求证： ABC【解析】直接根据 SAS可证明 ABCA DEF.证明：在 ABC和ADEF中，AB DE A D , AC DFABCA DEF (SAS).总结：运用“边角边”判定两个三角形全等时，(1)同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边”的顺序书写；(2)注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；(3)条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次

10、是“边一角一边”，另一个三角形的元素也必须依次是“边一角一边” ，如果是其他“边一边一角”或“角一边一边” ，则两个 三角形不一定全等；(4)在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，如果把夹角改为其中一条边的对角，则 不一定全等.练6. (2018秋？天元区期末)如图，在 AABC和4DEF中，已知 AB=DE, BC=EF根据(SAS) 判定"88 DEF还需的条件是()B -C E FA. /A=/DB. /B=/E C. / C=/ FD,以上三个均可以【解析】根据三角形全等的判定中的SAS,即两边夹角.做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法.A、C都

11、不满足要求, 故选B.解：要使两三角形全等，且 SAS已知AB=DE, BC=EF还差夹角，即/ B=/E;D也就不能选取.练7.如下图所示，已知/ 1 = Z2, AO=BO,求证： AO8 BOC：.【解析】两个三角形包含一个公共边，结合已知条件，根据SAS可证明 AO8 BOC：.证明：在 AOC和 BOC中，AO BO 12 ,CO COAOCA BOC (SAS).4.先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】(2017春?启东市校级月考)如图， AE=CF, AD/BC, AD=CB .求证： ADFACBE. y4 * 2 *与气. 4 * 2 * L "C【解

12、析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论.证明：AE=CF,AE - EF=CF - EF,即 AF=CE .又 AD / BC, / A= / C.在 ADF 与 CBE 中，AD CB A C , AF CE.ADFACBE (SAS).总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，(1)先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么 条件，再去证什么条件；如果已知两边，则要找第三边或夹角；如果已知一角和该角的一边，则需 要找夹角的另一条边；(2)在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比如公共边、 对顶角等，从而

13、为解题所用；(3)有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到.练 8. (2018明山区二模)如图，已知 AB=AD , AC=AE , / 1 = /2,求证： ABC ADE .上B卫 C【解析】已知/ 1=Z2, Z BAE是公共角，从而可推出/ DAE= / BAC ,已知AB=AD , AC=AE , 从而可以利用 SAS来判定 ABC ADE .证明：.一/ 1=/2, .1 + / BAE= /2+/BAE ,即 / DAE= / BAC .在4ABC和4ADE中，AB AD, DAE BAC, AC AE.ABCA ADE (SAS).练9. (2018挑春县质检)已知：如图，

14、点C是线段 AB的中点，CE=CD, / ACD= / BCE .求证： AECA BDC .【解析】 根据 / ACD= / BCE ,可得出/ ACD+ / DCE= / BCE+ / DCE,即/ ACE= / BCD ,根据边角边公理可得出 AEC BDC .证明：在 AEC和4BDC中, 点C是线段AB的中点，AC=BC , / ACD= / BCE , / ACD+ / DCE= / BCE+ / DCE ,即/ ACE= / BCD ,在 AEC和 BDC中，AC BCACE BCD ,CE CDAECA BDC (SAS).点评：本题考查了全等三角形的判定SAS.5.先用SAS

15、证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】(1) (2018升堰)如图，点 D在AB上，点 E在AC上，AB=AC , AD=AE .求证：/ B=/ C.【解析】首先根据条件 AB=AC ,AD=AE，再加上公共角/ A= / A可利用“SAS”定理证明 祥BE 0ACD,进而得到/ B=/C.证明：在那BE和AACD中，AB ACA A ,AE AD.ABEAACD (SAS). B=/C.(2) (2017春霞楼区校级月考)如图，点E,F在AC上，AB /CD, AB=CD , AE=CF .求证：BF=DE .【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE ,根据SAS证

16、明 ABFA CDE ,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.证明：: AB / CD,Z A= Z C, AE=CF , . AE+EF=CF+EF ,即 AF=CE ,在 ABF和 CDE中，AB CD A C , AF CEABFA CDE (SAS),BF=DE .总结：综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下：(1)由问题中的条件，依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等；(2)由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等.练10. (2018秋麻水县期末)如图， AB与CD交于点 O, OA=OC , OD=OB , Z A=50° , /B.30C. 80°

17、;D. 100B=30°,则/ D的度数为()【解析】利用 SAS可证明AAOD ACOB,则/ D= Z B=30° .解： OA=OC , OD=OB , /AOD=/COB,AODA COB (SAS),故选B.练11. (2018春供帛州校级期中)如图，点 B, E, C, F在同一直线上，在 ABC与4DEF中,AB=DE, AC=DF 若 / =/,则AB8 DEF,所以 BC=,因此 BE=.A DB. C . K【解析】根据三角形全等的判定方法SAS,若/ A= / D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果.解：若/ A= ZD 时， ABC DEF;

18、在 ABC 和 DEF 中，AB DEA D , AC DF ABCA DEF (SAS), BC=EF , BE=CF ; 故答案为：/ A=/D, EF, CF.6.先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如图所示，四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于。点，/ 1 = Z2, /3=/4.求证：BO = DO.【解析】先用 “ASAE明 AB8AADC,得出AB=AD,再用“SASE明 ABOADO,可得出结论.证明：在 ABC和4ADC中,12,AC AC,34,.AB8 ADC (ASA) . AB= AD.在 ABO与 ADO中，AB AD, 12,AO AO, AC8AADO

19、(SAS .BO= DO.总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角 相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.BC于点练12.如图所示，在 那BC中，点O为AB的中点，AD/BC,过点O的直线分别交 AD,D, E,求证：OD=OE.【解析】点O为AB的中点，.AO=BO.1. AD/ BC, / ADO= / BEO, / DAO= / EBO.在 AODA BOE中，ADO BEO, DAO EBO, AO BO, .AOg BOE (AAS).OD=OE.7.先用AAS证全等，再证边角相等【例7】如图所示，/ 1 = /2, /C= / D

20、,求证：AC=AD.B【解析】先利用 AAS证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC= AD.证明：在 ACB与4ADB中，12,C D,AB AB,. .AC® ADB (AAS). . AC= AD.总结：1 .由“ASA与"AAS可知，两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等.2 .注意不用混淆“ASA和"AAS, "ASA是两角及夹边对应相等，“AAS是两角及一对边对应相等练 13.如图所示，C, F在 BE上，/A=/D, AC/ DF, BF= EC.求证：AB= DE.【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减

21、的思想证明BC= EF,应用AAS可得 AB8 DEF,进而得出结论.证明：AC/ DF, ./ ACE= / DFB.又. / AC曰 / ACB= 180°, / DFB+ / DFE= 180°, ./ ACB= / DFE.又 BF= EC,BF-CF= EC CF,即 BC= EF.在 ABC与 DEF中，ACB DFE,A D,BC EF,.AB8 DEF (AAS)AB= DE.8.灵活选用证明方法证（判断）全等例8如图所示，已知/ B= / DEF BC= EF,要证那B8 DEF,若要以“AS的依据，还缺条件;以“SA的依据，还缺条件 ;以“AASJ依据，

22、还缺条件 ADBE C F【解析】已知一组角和一组边相等，要依据“ASAE全等就要求夹已知边的另一组角相等，故填/ACB=Z DFE;要依据“SA耻全等就要求夹已知角的另一组边相等，故填AB=DE;要依据“AASE全等就要求另一组角相等，故填/A=Z D.答案：/ ACB= / DFE; AB=DE; /A=/D.总结：1 .到目前为止，我们学习了 4种证明三角形全等的方法， 分别是 边边边“边角边“角边角”角“ 角边”注意：三角形全等的判定方法中不存在角边边“角角角2 .边边边“角边角“角角边“边角边”这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等.3 .在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐

23、含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平 分线.4 .以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解.练14.如图所示，点 D在AB上，点E在AC上，且/ B=/ C,那么补充下列一个条件后，仍无 法判定AABE ACD的是（）.A.AD=AEB./AEB= / ADCC.BE= CDD.AB= AC【解析】选择 A中的AD=AE,加上已知条彳可根据 AAS证明 ABE ACD;选项B中给出/ AEB= /ADC,加上已知条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE= CD,加上已知条彳% 可根据 AAS证明AB® ACD;选项D中的 AB=AC

24、,加上已知条彳可根据 ASA证明 AB® ACD;练15.如图所示，BFLAC, DE±AC,垂足分别为点 F, E, BF= DE, /B=/D,求证：AE=CF.【解析】BF± AC, DE± AC, ./ DEC= / BFA= 90°.在 85人与4 DEC中，B D, BF DE, BFA DEC,.BF心 DEC ( ASA)AF=CE. .AF+EF= CE+ EF.AE=CF.练16.如图，将ABOD绕点。旋转180°后得到 小OC,再过点O任意画一条与 AC, BD都相交的直线MN ,交点分别为 M和N.试问：线段O

25、M = ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由.B【解析】OM = ON成立.理由是： BOD绕点。旋转180°后得到 AOC, . BOg AOC.A=Z B, AO=BO.又. / AOM=Z BON,AOMABON(ASA).OM = ON.练17.如图所示，直角三角形 ABC的直角顶点C置于直线l上，AC= BC,现过A, B两点分别 作直线l的垂线，垂足分别为点 D, E.【解析】(1) AC* CBE证明：ACB= 90°, ./ ACD+ / BCE= 90°.又 ; AD± l , ./ CAD+ / ACD= 90

26、6;. ./ BCE= / CAD. BEX l , ./ ADC= / CEB= 90°.在 ACD与CBE中，/ CAD= / BCE / ADC= / CEB AC= CB, . .AC* ACBE (AAS).(2)由(1)可知 ACD CBE,AD=CE, CD= BE, AD= C曰 CD+ DE= BE+ DE= 3+ 5= 8.【当堂检测】1 .如图所示，AB/ CD, OB=OD,则由“ASAI以直接判定 AOC2 .如图所示，在那BC中，AD± BC,CE!AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H,已知EH= EB3.如图所示，已知点E, C在线段

27、BF上，BE= CF, AB/ DE, Z ACB= / F.求证： AAB8 DEF.A DB E C F=3, AE= 4,则CH的长是4 .如图所示，已知/ B= / E, / BAD= / EAC, AC= AD,求证：AB= AE.5 . （2018旗门校级一模）如图， A、B、C、D四点在同一条直线上， AB=CD , EC=DF , EC / DF .求证： ACEBDF .【家庭作业】1.已知：如图,AB=CD BE=DF AF=EC 求证：BF=DE2.已知：如图 AB=AC AD=AE BE和CD相交于 G 求证:AG分 / BAC3 .如图，AB=CD AD=BC。是BD

28、上任意一点，边 。点的直线分别交 AD BC于M N点，求证:/ 1 = /2。4 .如图，已知 AC/FD, AF/CD, FB/EC。求证： AF型 DCE5.如图，已知 AD/BC,/ DAB和/ABC的平分线相交于 E,过E的直线交 AD于D,交BC于C=求证：DE=EC6 .已知：如图，在 ABC中，延长 AC边中线BE到G 使EG=BE延长 AB边中线 CD到F,使DF=CD求证：G, A, F在同一直线上。AD7 .已知：如图，在 ABC中，/B=60° , 4ABC的角平分线 AD CE相交于点 O。求证：AE+CD=AC8.如图，EA平分/ CAB且AB=AC+BD

29、 E为CD中点，求证:BE平分/ ABDC9 . （2018年理工附期中）已知：如图，D是4ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC /ABE=Z ACE 求证：/ BAE=/ CAE证明 在4AEB和4AEC中,EB EC, ABE ACE, AE AE.AE® ACE （第一步）丁./ BAE=Z CAE （第二步）问上面证明过程是否正确？若正确,请写出每一步推理的根据； 若不正确，请指出错在哪一步,并写出正确过程。21参考答案：当堂检测1 . AOB, COD.2 .【解析】/ AHE=Z CHD,利用和等角互余的两个角相等，/ EAH=Z ECB又. / AEH=Z CEB=90EH=EB . AEH CEB (AAS)CE=AE=4 , EH=3,CH=4-3=1答案：13 【解析】利用平行线，可得两同位角相等，再利用等量相加得 BC=EF即可证两三角形全等.证明： AB/ DE,.B= / DEF. BE= CF,BC= EF.在 ABC与 DEF中，Z B=Z DEF, BC= EF, / ACB= / F,.AB8 DEF (ASA).4 【解析】先证全等，再利用三角形的性质得出结论