基本波动方程的求解方法

1、v1.0可编辑可修改关于弦振动的求解方法11李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题x atu(x,t) - (x at) (x at) ( )d 22ax at在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解 条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的 定解问题一般方程为t2x ,t 0U|t 0(x),ft0(x)由达郎贝尔公式，解在点(x,t)的值由初始条件在区间x at,x at内的值决定，称区间x at,x at为点(x,t)的依赖区域，在x t平面上，它可看作是过点(x,t),斜率分别1为的两条直线在x轴上截得的区间。a2、

2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题 222 a22f(x,t),x ,t 0(1)txU|x0(x),It0 (x)(2)令u(x,t) U(x,t) V(x,t),可将此定解分解成下面两个定解问题:v1.0可编辑可修改(I)22u.2u2a2，txx ,t 0u |x 0(x), T1t0(x)(II)22u 2 u- a f(x,t), t xu |x 0 0, -u- |t 0 0x ,t 0其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：11 x atU(x,t) - (x at) (x at) 丁 xat ( )d。22a对于问题(II),有下面重要的定理。定理(齐次化

3、原理)设22下 a2r ttx|x0, Itf(x.)的解(0),则 V(x,t)二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法22u _2 u2- a -2,0 x ltxu(0,t)u(l,t)0u It 0(x),uiIt 0(x)(x,t,)是柯西问题(x,t, )d是问题(II)的解(2)(3)设 u(x,t) X(x)T(t),代入方程(1)得:X (x) T (t)X(x) aT(t) 22v1.0可编辑可修改上式右端不含X,左端不含t,所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为，则有：X(x) X(x) 0(4)T(t) a2 T(t) 0(5)所齐次边界条件可得：X

4、(0) 0,X(1) hX(l) 0(6)从而特征值问题：X (x)X (x) 0)X(0) 0,X (l) hX(l) 0对 的取值分三种情况0,0,0进行讨论。这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。非齐次条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次，如果上述条件之一 破坏，则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函 数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件

5、是非齐次时，必须设法 将边界条件化成齐次的。如： 2Utt a Uxx f (x,t)u(0.t) gi(t),u(l,t) g2(t)u(x,0)(x)Ut(x,0)(x)33v1.0可编辑可修改设u(x,t) V(x,t) W(x,t),通过适当选取W(x,t)使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使W(x,t)满足：Wl(0,t) gl(t), W(l,t) g2(t)即可。小结：分离变量法的解题步骤a, 令 U(x,t) X(x) T(t)b, 将试探解带入泛定方程。c, 将等式两边同时乘以 4,进行分离变量，获得两个常微分方a uxx程。d, 由边界条件，将 X (x)方程解出需要讨

6、论本征值(0,0,0)三种情况，获得本正值和本征函数。e, 写出T(t)解的形式后与X (x) 一起构成U(x,t)通解形式。f, 由初始条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法22a22,0 x l,t 0 (1)txu(0,t) u(l,t) 0 (2)u 1t 0(x), ui 1t 0(x) (3)设U(x,t) V(x,t) W(x,t) (4),其中构造 V(x,t) A (t) B(t)让其满足则：V(x, t) x - (t) sin t (5)tt44v1.0可编辑可修改2222W2 2WA 2/ 、a sin t, 0 x l,t 0 (6)所

7、以对W(x,t)有:t2x2tW(0,t) W(l,t) 0 (7)u |t 0(x),ui |t 0(x) (8)W(x,t) T (t)令k 0 k55kx .(9)式带回到(6)式W(x,t) T；(t) sin (9)k 0t解出:T k1-钊整理出W(x与vj#构成U(x*的解，再带回到(3)是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤1、令U(x,t)T (t) Xk(x),其中展开基Xk(x)为对应齐次函数本征函k 0 k数(由边界条件决定)2、将U(x,t)T (t) Xk(x)带入泛定方程后，将f (x, t)也按Xk(x)展为k 0 k傅里叶级数，比较等式两边，获得T (t)的常微分方程。k3、将U(x,t)T (t