排列组合典型例题

1、典型例题一例 1用0到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A93 个；当个位上在“2、 4、6、 8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A41 A81 A82 （个） 没有重复数字的四位偶数有A93A41 A81 A82504 1792 2296 个典型例题二例 2 三个女生和五个男生排成一排（ 1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（ 2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（ 3）如果两端

2、都不能排女生，可有多少种不同的排法？（ 4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（ 1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A66 种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A33 对种不同的排法，因此共有A66A334320 种不同的排法（ 2）（插空法） 要保证女生全分开， 可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档 这样共有 4 个空档， 加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生， 就能保证任意两个女生都不相邻由于五

3、个男生排成一排有A55 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A63 种方法，因此共有 A55 A6314400 种不同的排法（ 3）解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5 个男生中的 2个，有 A52种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66 种排法，所以共有A2A614400 种不同的排法56（ 4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 A51 A77 种不同的排法；如果首位排女生，有A31 种排法，这时末位就只能排男生， 有 A51 种排法，首末两端任意排定

4、一种情况后，其余 6 位都有 A66 种不同的排法，这样可有 A31 A51 A66 种不同排法因此共有A51A77A31A51 A6636000 种不同的排法解法 2：3 个女生和 5 个男生排成一排有A88种排法，从中扣去两端都是女生排法 A32 A661 / 9jiangshan 整理种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A32A6636000 种不同的排法典型例题三例 3 排一张有5 个歌唱节目和4 个舞蹈节目的演出节目单。（ 1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（ 2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（ 1）先排歌唱节目有A55 种，歌唱节目之间以及

5、两端共有6 个位子，从中选4 个放入舞蹈节目，共有A64 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A55 A64 43200.（ 2）先排舞蹈节目有A44 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5 个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A44 A55 2880 种方法。典型例题四例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法1：6 六门课总的排法是A66 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有A55 种排法，如图中； 数学排在最后一节有A55种排法，如图

6、中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有A44 种排法，因此符合条件的排法应是：A662A55A44504 （种）典型例题五例 5 现有 3 辆公交车、 3位司机和 3 位售票员，每辆车上需配 1位司机和 1位售票员 问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析： 可以把 3 辆车看成排了顺序的三个空：，然后把 3 名司机和 3 名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题解：分两步完成第一步，把3 名司机安排到 3 辆车中，有 A336 种安排方法；第二步把 3名售票员安排到3 辆车中，有A336 种安排方法故搭配方案共有A33A333

7、6 种典型例题六2 / 9jiangshan 整理例 6下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有4 所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择 若表格填满且规定学校没有重复， 同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校专业112212312解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在4 所学校中选出3所并加排列，共有 A43 种不同的排法；第二步，从每所院校的3 个专业中选出2 个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有A2A2A2种综合以上两步，由分步计数333原理得不同的填表方法有： A43 A32 A32 A325184 种典型例题七例

8、57 名同学排队照相(1)若分成两排照，前排3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照， 7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不能相邻， 有多少种不面的排法？解： (1)A73 A44A775040 种(2)第一步安排甲，有A31 种排法；第二步安排乙，有A41 种排法；第三步余下的5 人排在剩下的 5个位置上，有 A55 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有A31 A41A551440 种(3)第

9、一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4 个元素排成一排，即看成5 个元素的全排列问题，有A55 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A33 种排法由分步计数原理得，共有A55A33720 种排法(4)第一步， 4 名男生全排列， 有 A44 种排法； 第二步， 女生插空， 即将 3 名女生插入 4 名男生之间的 5 个空位， 这样可保证女生不相邻， 易知有 A53 种插入方法 由分步计数原理得，符合条件的排法共有：A44 A531440 种3 / 9jiangshan 整理典型例题八例 8 从 2、3、4、5、6 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和解：形如的

10、数共有 A42 个，当这些数相加时， 由“ 2”产生的和是 A422 ；形如的数也有 A42 个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是 A422 10 ；形如的数也有 A42个，当这些数相加时， 由“ 2 ”产生的和应是 A422 100 这样在所有三位数的和中，由“2”产生的和是 A422 111同理由 3、4、5、6产生的和分别是 A423 111 ， A424 111，A42 5 111， A426 111，因此所有三位数的和是A42 111 (2 3456)26640 典型例题九例 9计算下列各题：(1)A152 ；(2)A66 ；(3)Anm11Annmm；Ann11(4)1!2

11、2!3 3!nn !(5)123n13!4 !n !2 !解： (1)A21514210 ； (2)A66 !6543 21 720;156(3)原式(n1) !(nm) !1(n1) !m) !1； n1(m1) !( n 1) !(n( n1m) !(n1) !(4)原式( 2 !1) (3! 2!)(4 !3 ! )( n1) ! n ! (n 1) !1；(5) n111， 123n1n !(n 1) !n !2! 3! 4!n !1111111111! 2! 2! 3! 3! 4!(n 1 ) ! n !1n !本题计算中灵活地用到下列各式：n ! n(n 1) ! ； nn !(

12、n 1) ! n ! ； n 111 ；使问题解得简单、 快捷n !(n 1) !n !4 / 9jiangshan 整理典型例题十例 10 a , b , c , d , e , f 六人排一列纵队，限定a 要排在 b 的前面（ a 与 b 可以相邻，也可以不相邻） ，求共有几种排法对这个题目，A 、 B 、 C 、 D 四位同学各自给出了一种算式： A 的算式是 1 A66 ； B 的算式是 ( A11A21A31A41A51 ) A44； C 的算式是 A64 ；2D 的算式是 C62A44 上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由解： A 中很显然，“ a 在 b 前的六

13、人纵队”的排队数目与“b 在 a 前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和这表明：A 的算式正确B 中把六人排队这件事划分为a 占位， b 占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a 占位的状况决定了b 占位的方法数，第一阶段，当a 占据第一个位置时， b 占位方法数是A51 ；当 a 占据第 2 个位置时， b 占位的方法数是A14 ； ；当 a 占据第 5 个位置时， b 占位的方法数是A11 ，当 a ， b 占位后， 再排其他四人， 他们有 A44 种排法，可见 B 的算式是正确的C 中 A64 可理解为从6 个位置中选4 个位置让 c

14、, d , e , f 占据，这时， 剩下的两个位置依前后顺序应是a , b 的因此 C 的算式也正确D 中把 6 个位置先圈定两个位置的方法数C 62，这两个位置让 a , b 占据，显然， a , b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a 要在 b 的前面），这时，再排其余四人，又有 A44种排法，可见 D 的算式是对的D 的解法说明： 下一节组合学完后，可回过头来学习典型例题十一例 11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法 1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况应当使用加

15、法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下” 、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A42A21A55A42A14A558 640 (种 )解法 2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A41A77 在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法”这个数目是A14 C21 A31 A41 A55 其中第一个因数5 / 9jiangshan 整理A14 表示甲坐在第一排的方法数，C 12 表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A13 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下

16、一个A41 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，A55 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为A14 A77A41 C12 A31 A14A558 640 (种 )说明： 解法 2 可在学完组合后回过头来学习典型例题十二例 12 计划在某画廊展出 10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一行陈列， 要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）A A44 A55B A33 A44 A55C C31 A44 A55D A22 A44 A55解： 将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A22 种排列但 4幅油画

17、、 5 幅国画本身还有排列顺序要求所以共有A22 A44A55 种陈列方式应选 D说明： 关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑” ，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题典型例题十三例 13 由数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）A210B 300C 464D 600解法 1：（直接法）：分别用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 作十万位的排列数，共有 5A55 种

18、，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有15 A55300个2解法 2：（间接法）：取 0 ,1 , , 5 个数字排列有A66 ，而 0 作为十万位的排列有A55 ，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有1 (A66A55 ) 300(个) 2应选 B说明： (1) 直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或6 / 9jiangshan 整理间接法要视问题而定， 有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦， 这时应考虑能否用间接法来解(2) “个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多， 即各占全部六位数的一半

19、， 同类问题还有 6 个人排队照像时， 甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法典型例题十四例 14 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，这五个数字，组成没有重复数字的三位数， 其中偶数共有（）A24 个B30 个C40 个D60 个分析： 本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断解法 1：分类计算将符合条件的偶数分为两类一类是2 作个位数，共有A42 个，另一类是 4 作个位数，也有 A42个因此符合条件的偶数共有 A42A4224 个解法 2：分步计算先排个位数字， 有 A12 种排法， 再排十位和百位数字，有 A42

20、 种排法， 根据分步计数原理，三位偶数应有 A21 A4224 个解法 3：按概率算用 1 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A360 个，其中偶点其中的52 因此三位偶数共有60 224 个55解法 4：利用选择项判断用 1 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A5360 个其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于30 个，四个选择项所提供的答案中，只有A 符合条件应选 A典型例题十五例 15 (1) 计算A112A223A338 A88(2)求 Sn1! 2! 3!n ! ( n10 )的个位数字分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难， 现在我们可

21、以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑在(1)中，项可抽象为nAnn(n 1 1) Ann( n1) AnnnAnnAnn11Ann，(2)中，项为7 / 9jiangshan 整理n ! n(n 1)( n 2)3 2 1 ，当 n5 时，乘积中出现5 和 2，积的个位数为0，在加法运算中可不考虑解： (1)由 nAn(n1) !n !n原式2! 1!3!2 !9!8! 9!1!362879 (2)当 n5 时， n !n(n1)( n2)3 2 1的个位数为 0， Sn1!2 !3!n ! ( n 10)的个位数字与1! 2 ! 3 ! 4 ! 的个位数字相同而 1!2 !3 !

22、4 !33 ， Sn 的个位数字为3说明： 对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如：求证：123n112!3!4 !(n1) !(n，我们首先可抓等式右边的1) !nn1 1n 1111，(n 1) !( n 1) !(n 1) !( n 1) !n !(n 1) !左边111111112!2!3!n !( n 1) !右边( n 1) !典型例题十六例 16 用 0 、1、2 、3 、4 、5 共六个数字， 组成无重复数字的自然数，(1) 可以组成多少个无重复数字的3 位偶数？ (2)可以组成多少个无重复数字且被3 整除的三位数？分析： 3 位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是

23、0 ，由于个位用或者不用数字0 ，对确定首位数字有影响， 所以需要就个位数字用0 或者用 2、4 进行分类 一个自然数能被3 整除的条件是所有数字之和是3 的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0 进行分类解： (1)就个位用0 还是用 2 、4 分成两类，个位用0 ，其它两位从1、2 、3、4 中任取两数排列，共有 A4212 (个)，个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有2 4 4 32( 个 )，所有 3 位偶数的总数为：12 32 44(个 )(2) 从 0 、1、2 、3、4 、5 中取出和为3 的倍数的三个数，分别有下列取法：( 0 12) 、(0 1 5) 、(024)、(04 5)、(1 23) 、(1 3 5)、(23 4)、(3 45)，前四组中有 0 ，后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4 组，共有 42 A2216 (个 ) ，如果用后8 / 9jiangshan 整理四组，共有 4A3324 ( 个 )，所有被 3 整除的三位数的总数为162440 (个 ) 典型例题十