关于情景导入的案例与认识

1、关于情景导入的案例与认识现实生活里既有数学的原型、 又有数学的应用， 在数学教学中联系学生的生 活经验创设现实情境， 一方面体现了生活的教育意义， 另方面又赋予教育以生活 意义，使生活世界、数学世界、教学世界得以融通，确实能从诸多方面提供教学 发展的机会。比如，情景导人让学生有机会本质感悟数学： 看到数学起源于现实， 看到数学应用于生活， 感知数学是对现实世界进行空间形式和数量关系方面的抽 象化、形式化刻画。进而，能从观念层面认识到，数学里有聪明的符号但别以为 数学只是聪明人的符号游戏， 数学里有智力的想象但别以为数学只是想象者的智 力玩具，数学是认识世界、改造世界的有力工具。又如，创设情境的

2、学习方式基于学生的“数学现实”，发展学生的“数学现实”， 符合学生的认知规律 （ 从直观到严谨、从具体到抽象、从特殊到一般等 ） ，既便于建立新 旧知识之间非人为的实质性联系，又有利于感受数学知识的形成过程、 感受数学发现的 拟真过程，经历：“数学化”，学会“数学地思维”。此外，创设数学情境可以弥补直接传授结论的局限， 为数学的学术形态转变为教育 形态提供自然的通道， 为数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境， 使学 生的学习过程有机会成为在教师引导下的“再创造”过程。值得重视的是， 理论上的好处与实践中的落实有一段很长的距离， 现实原型与数学 模式之间也有许多关系需要明确。我们想通

3、过案例来作具体的说明。1 关于情景的案例1 1 钟面上的时针与分针是否组成角请同学们找出以上图片所含的角。 钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉等都是角。 这些角有什么共同的特征 ?你能否根据这些特征给角下一个定义 ? 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。由线段OA OB组成的图形是角吗？ 不是角。回答正确。因为 OA OB是线段而不是射线，所以由线段 OA OB组成的图形案例 1 下面是一位教师在上人教版七年级上册 “角的度量” 第一课时的教学片断。 教师首先出示了时钟、棱锥、树叶等几幅图片。教师学生教师学生教师学生 教师 不是角。学生：老师，如果根据角的定义，钟面上的时

4、针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶 上交错的叶脉那也不是角了 ？教师无言以对。 （ 参见文1）在另一个场合， 我们还见到有的学生以为， 他所拿的小三角板 60°比老师所拿的大 三角板 60°小一些。12 汽车在高速路上行驶是平移吗案例 2 下面是“生活中的平移”公开课的教学片断。 （2007 年10月 20日）(1) 教师用投影片出示生活中平移的例子：游乐场的滑梯，天空中的飞机，大海里 的轮船，行走的玩具狗等。启发学生从三个方面：几何图形，运动方向，移动距离，去 思考以上几种运动现象有什么共同特点。(2) 学生发表看法，教师归纳它们的共同特点，引导学生说出平移的定义。接下来，

5、 教师用更加规范的语言描述平移：定义：在平面内，将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形运动称 作平移。(3) 接下来教师请同学们再来看两个生活中平移的例子：传送带上的电视机，手扶 电梯上的 人，由这两个例子的共同特点得出平移的特征：平移不改变图形的形状和大 小。(4) 教师请学生举出生活中平移的现象。同学们顺利举出很多例子。突然，出现一 个争论：一个男学生说，汽车在高速路上行驶是平移。一个女学生不同意，汽车在高速路上行驶不是平移。教师问：为什么不是平移？女学生答，因为汽车跑起来方向不固定，还会拐弯。教师说，对，平移的物体要沿着一定的方向移动一定的距离，现在汽车的方向不固 定，所以不

6、是平移。(5) 课后议论：飞机在空中飞行、轮船在水面行使，也会拐弯，还有颠簸，为什么 飞机、轮船是平移，汽车在高速路上行驶不是平移？1. 3什么是直线案例3在“线段、射线、直线”的公开课上(听课教师数百人)，执教老师希望学 生了解“线段、射线、直线的定义”，并结合实际“理解直线公理”(经过两点有且只有一条直线)。(2006年10月23日)(1) 部分教学片断片断1让学生直观感受直线。回忆小学时的相关概念，出示了一组图片，如图 的做广播操队列：(还有玉米地，高速路，铁轨)等，让学生感受生活中的直线。图1片断2让学生进行“队列活动”(站起来)，体验：两点确定一条直线。活动1：教师让一个学生(甲)先

7、站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与甲同学 共线的就站起来。一开始，你看看我、我看看你，没有人站起来，不一会四面八方有人 站起来，最后全班学生都站起来。教师总结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学 都可以与甲同学共线。 （ 经过一点有无数条直线 ） 。活动 2：教师让两个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这两个同学 共线的就站起来。学生很快作出反应，站起来了一斜排同学。教师总结：两点确定一条 直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线。 （ 经过两点有且只有一条直线 ）活动 3：教师让三个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这三个同学 共线的就站起来。当三个学生共线时，

8、站起来了一斜排同学；当三个学生不共线时，有 个别学生站起来 （与其中两个同学共线 ） ，后来又坐下了，最终没有一个人站起来。教师 总结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线。整堂课，学生活动或回答问题不下四、五十人次，有的学生站起来等活动不下六、 七次，课堂气氛很热烈。（2）对“直线”的反馈调查课后了解，学生很欢迎这堂课，都很高兴。片断 1 （ 调查学生 ） 询问学生“今天这节课你学到了什么 ?”学生回答：学到了线 段、射线、直线。询问学生所理解的直线是什么?学生不能回答。经追问“说说直线是什么样的图形 ?”学生还是答不上来。片断 2 （ 调查听课教师 ） 把询问学生的情况向听课教师汇报，特

9、别提出，学生学习 了一节课直线但说不出直线是什么，各位老师，你们也听课了，可能还上过这个课题， 你们说说直线是什么 ?全场肃静，没有一个教师回答。片断 3 （ 调查执教老师 ） 转而询问执教老师：你认为直线是什么 ?教师没有正面回 答，更多的是介绍教学设计的意图。（3）反思情况表明，有三点特别值得反思。（1）知识的封闭性。首先一个表现是，不知道直线没有定义 !其次一个表现是，不明确直线的一些属性，教学中不能自觉渗透这些属性。如，无 穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直，等等。但是，“连续”、“无穷”、“很直”等又是需要定义的，因而，这些词语都只是 粗糙的解释。从公元前三世纪欧几

10、里得几何原本以来，数学家曾作过直线定义的许 多努力，但都没有成功，因为点、直线，平面是原始概念，不能严格定义。描述它们的 基本办法是用公理来刻画，本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线，正 是直线的本质特征。试想，如果“直线”不是很直很直的，那经过两点就可以连出很多 很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那经过两点的线段就可以延 伸出长短不一的很多很多直线。教学上也有一些处理技术，比如，本节课中先描述“线 段”，然后，用线段来描述直线，把直线理解为线段两端无限延伸所形成的图形。（2）情景的局限性。现实原型与数学模式之间既有联系更有区别，比如图1中的做广播操队列与直线之间

11、可以找到很多不同，列表表示如下：表1内容项目做广播体操的队列直线图形具体与抽象有宽度、有咼度没有宽度、没有面积粗糙与严格学生之间凹凸不平、高低不齐直线是“很直”的一维与三维三维立体的一维的有限与无限有限个人组成无限个点组成连续与间断间断的连续的特殊和一般一个现实原形许多现实原形的形式化抽象实在与形式生活中存在生活中不存在学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受过直线的“直”，但在这些 区别面前，还是需要教师去做“数学化”的提炼工作，把不是数学的“广播操队列”提 炼成数学上的“直线图形”。没有这个提炼过程，学生获得的可能不是数学、或者是硬 塞给他们的数学。(3) 活动的单一性通过站起来，

12、体验“两点确定一条直线”的活动，确实设计得很精彩，但给人的感 觉是：更关注“唯一不唯一”的量性收获，缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透， 本质上是数学化过程不足。所以学生学了 “直线公理”不会用“直线”去解释“公理”、 或不会用“公理”去解释“直线”。这个活动还使我们想起“土豆能组成集合吗”的美 国案例。感悟：数学教师要有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力。1.4 土豆能组成集合吗案例4 20世纪60年代，美国的新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地 引入“集合”概念，以下是在这一背景下发生的一个案例。一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么？女儿高立地回答道

13、：“我们今天学了 集合”。数学家想道：“对于这样一个高度抽象的概念 来说，女儿的年龄实在太小了。”因此，他关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！ 一点也不难。”这样抽象的概念难道会这样容易吗？听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放心不下，因此，他又追问道：“你们的教师是怎样教的？”女儿说：“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让 所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人 孩子的集合，等等。最后，教师问大家：是否都懂了？她得到了肯定的答复。”这样的教学法似乎也没有什么问题，因此，父亲就以如下的问题作为最后的检验：

14、“那么,我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合呢？”迟疑了一会，女儿最终回答道：“不行！除非它们都能站起来。”(参见文2)1 5四边形外角和定理的微型调查案例5几年前（1999年6月28日），我们在教学法课的期末考试中，有意测 试大学生的数学直觉猜想能力，同时也检验该教学设计的有效性。情况表明，我们对学 生真实的思维活动了解是很肤浅的。（1） 调查的设计 测试对象：师范院校的本科大学生77人。 测试题目：有一个四边形 ABCD中学指凸四边形），某人从AB内一点出发，沿周 界走一圈回到原处，中间作了 4次拐弯，最后与出发的方向相同，请从这一想象中提炼 出一数学定理，并给出证明。 测试意图：

15、这道题目的设计背景是四边形外角和定理，或者说，以此作为发现四边形外角和定理的“认知基础”主要提供了3条信息。信息1:如图2,某人沿四边形 ABCD勺周界走了一圈，回到原处。这条消息叙述了一个事实，从而反映出四边形的结构特征。但这一反映是很粗浅的 （图形封闭，周长有界），下面继续对这一事实进行过程与结构的两种描述，其实质 是对四边形结构性质进行更深入的刻画。信息2:将走一圈的过程分解为在 4个顶点处作了 4次拐弯。4个外角之和/ 1提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上分解为+ / 2+/ 3+/ 4。信息3:将走一圈的结果表示为最后的方向与出发的方向相同。提供这一信息的意图是把“走

16、一圈”的结果从数量关系上表示为转了360°。既然，信息2与信息3表示的是同一事实，其两种数量刻画就可以用符号联结起来, 得出/ 1 + / 2 + / 3+/ 4= 360°。（2） 测试结果对于不知道外角和定理的初中学生来说，这可能是一个“再发现”的过程，但对于 大学生来说，定理已学过，主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认，然后从记忆 储存中检索出相应的命题来，从辨认到检索有一个直觉猜想的过程，由于大学生有较多 的已知信息作参照，能力水平也较高，我们预计，绝大多数的同学都能按照我们的意图 作出回答。但结果却很意外，只有 19 .48%的人回答为外角和定理。回答分为四类

17、，列 表如下。表2类别外角和定理内角和定理其他回答未回答人数15人27人25人10人百分比19.48%35.06%32.47%12.99%25个“其他回答”中涉及 n边形、向量、复数等广泛的方面，（参见文3）2关于情景的认识上述各案例的一个共同特点是，既不乏创意，又引发思考，谈8点认识。2.1一方面现实情景不是数学，另一方面现实情景是数学概念的原型，是学生认识抽象数学模式的“认知基础”原则上讲，案例1中钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、树叶上交错的叶脉 等都只是“角”的具体原型，它们都不是数学概念“角”，也不是数学，连图形都不是。 数学家所描述的世界并不是客观实在的世界，没有面积的点、没有

18、宽度的线、两端无穷 延伸的直线等，生活世界中从来就没有，谁也没见过、什么时候都拿不出来。所以，当 教师“请同学们找出以上图片所含的角”时，其对“情景”与“数学”的关系至少是简 单化了，其对线段与射线的关系也简单化了。但是，具体现实情景具有抽象数学模式的必要因素和必要形式，是数学概念的原型、故乡和源泉，在数学教学中，这些具体现实情景是学生认识抽象数学模式的“认知基础”，它能生动显示相关概念的基本性质、具体呈现相关法则的基本结构。我们在数学教学中 要积极创设抽象概念的现实情景，努力提供产生形式化概念的具体原型，尽可能贴近、 再贴近学生的“数学现实”。2. 2现实情景应具有数学对象的必要因素和必要形

19、式戴维斯指出，一个好的“认知基础”，应当具有这样的性质：它能自动地指明概念 的基本性质或相关的运算法则。在“乘法交换率”的教学中，有教师这样创设情境：用一个柄特别长的勺子喝水， 勺子太长自己喝不到，怎么办 ？学生经过讨论找到“交换喝水”的办法：你拿勺子喂我 喝，我拿勺子喂你喝，喝水问题圆满解决。这个“活动”固然有趣，办法也很好，但与“乘法”没有关系，亦离开了“数量不变”的交换率本身。交换率的本质是变化中的不 变性，学生在这里学到的不是数学或不是“乘法交换率”。（参见文4）数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定 能够获得成功（数学上的成功还需要艰苦的工作）。有效

20、的情景应该起始于精细的数学认 知分析，使情景具有数学对象的必要因素和必要形式 （这是一个创作与创造的过程），只 注意情景的形式，缺失了数学及其本质 （去数学化），会好心办坏事。案例1中用“钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉”等创 设“角”的情境，具有角的必要因素和必要形式；案例 2中用“游乐场的滑梯，天空中 的飞机，大海里的轮船”等创设“平移”的情境，具有平移的必要因素和必要形式；案 例3中用“做广播操队列、玉米地，高速路，铁轨”等创设“直线”的情境，具有直线 的必要因素和必要形式。但创设生活化情景的基本目的是设计数学发现的拟真过程，更 重要的工作还在后面的“数学化”提炼。

21、2. 3从具体情景到抽象数学模式之间有一个“数学化”提炼的艰苦过程从钟面上的时针与分针等具体现实情景（原型）到抽象数学概念“角”（模式）之间，从天空中的飞机等具体现实情景 （原型）到抽象数学概念“平移（模式）之间，从做广播操队列等具体现实情景 (原型) 到抽象数学概念“直线” ( 模式)之间，都有一个“数学化” 的提炼过程， 这个过程可以根据教学要求来决定它的长度与深度，但不能简单化或形式 主义过一下。在案例 1“角”的教学中，“几幅图片”一出示，马上就是“角”，接着 就是“角的定义”，数学化过程几乎没有，实质上是借学生的“嘴”代替老师的“灌” ( 机械接受学习 ) 。案例 3 中从广播操队列

22、到直线图形之间也缺少必要的渗透与揭示，所 以学生学了直线不知道直线。案例 2 能启发学生从二个方面 ( 几何图形，运动方向，移 动距离 ) 去思考以上几种运动现象有什么共同特点，是“数学化”的一个努力。半具(1)(2)(3)(4)数学化过程需要不同程度地经历：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、 形式化等步骤。在教学条件下，通常的做法是从大量具体实例出发，从学生实际经验的 肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，通常是沿着： “具体 体、半抽象抽象”的路线前进。较为关键的是如下 5 个步骤： 辨别一类事物的不同例子； 找出各例子的共同属性； 从共同属性中抽象出本质属性； 把本质

23、属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念 区别开来；(4) 把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延； 这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值数学化。弗赖登塔尔认为， 与其说是学习数学，不如说是学习“数学化”。24 别把“共同的特征”误认为“本质属性”“共同的特征”只是 “本质属性”的必要条件。 “数学化”的过程尤其要注意的是， 别把“共同的特征”误认为“本质属性”。如果提炼的数学化过程“夹生”，非本质属 性泛化，那么，“认知基础”会异化为“认知障碍”。案例 4 学“集合”的情景中，“人”、“站起来”、“幼儿园里”、“男女性别”、 “皮肤颜色”等都是

24、组成集合的非本质属性，一次又一次的重复，会强化两个非本质的 共同属性：(1) “站起来”的动作；(2) 组成集合的元素具有“相同属性”：或性别相同、或皮肤颜色相同。 当父亲问“能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合” 时，女儿回答： “不行 ! 除非它们都能站起来”，实质上已把“站起来”当作集合的一个要素了，土豆“不站起 来”就不能组成集合吗 ?这是非本质属性泛化。如果女教师当初让坐着的学生也组成集 合，让坐着的学生与站着的学生同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化，如果让 人与桌子也组成集合，应有助于淡化“组成集合的元素有相同属性”的误解。数学是去掉具体事物的物理性质、化学性质后的抽象结

25、构或模式。 中国数学教育的一个特色与优势正是，通过“变式教学”来消除“共同而非本质属 性”、突出本质属性，使得以讲授法为主体的大班教学依然能进行“有意义”的数学学 习。 (有意义接受学习 )2 5 注意情景的局限性最好的情景都会有局限性，它不像数学概念那样简洁、纯净和准确。在案例1中，钟面上的时针与分针到底代表线段还是代表射线并不明确，一开始作为角的一个原形 时，教师心里认定两针代表射线（所以“请同学们找出以上图片所含的角”），到了讨论“两条线段是否组成角”时，教师又让两针代表线段，造成自己“无言以对”。之所以 会有前后两个认定，源于情景的模糊性和局限性。同样，在案例2 “平移”的教学中，“汽

26、车在高速路上行驶所引发的争议，也 与情景的局限性有关。比如汽车在二环线上行使，微观看是直线运动，宏观看是圆周运 动，更宏观一点还是在地球表面上的旋转，情景的这种模糊性，是数学概念所没有的（数学概念的纯净性也同时失去了具体情景的丰富性它不可能给我们提供太多的理 而必须经由学校教育才能获得在案例3的教学中，现实情景的有限性难以表达抽象直线的无限性，现实情景的离 散性难以表达抽象直线的连续性（参见表1）。一条高速路，当着眼于距离时能提炼出线 段，当着眼于笔直延伸时能提炼出直线，当着眼于面积时能提炼出矩形，当着眼于用料 时能提炼出长方体。生活世界有自身不可克服的局限性， 性承诺，学校教育恰恰应该着眼于

27、社会生活中无法获得、 的经验。这时我们常常采用经过加工的拟情景的局限性还给我们寻找恰当的情景带来困难，真情景一一源于3见实而又不拘泥于真实，关键只在于这种情景应具有相关数学知识的 必要因素与必要形式，案例 5中某人沿四边形周界走一圈，正是半具体、半抽象的“拟 真情景”。又如，有的教师或资料提问：“白纸对折64次，有多高？”这只能理解为“拟 真情景”，白纸对折1、2、3、4、5、6次不难，是真实情景，但继续下去，不到10次纸就会折断，对折10次都不可能，对折64次只能是一种想象一一数学思维实验。不了 解这些情况，万一学生提出“对折 64次根本不可能”时，教师难免又会“无言以对”。2. 6用数学去

28、解决实际问题时，可以直接给情景一个数学模型一方面，在数学化提炼时我们要注意情景还不是数学，要注意情景的代表性，要体 现情景的数学化过程。另一方面，在用数学去解决实际问题时，我们又会直接给情景一 个数学模型，如“从3时整开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两 根针所组成的角相等的情况有 次。”（见文5）这时，时钟的针直接就组成角，这与从时钟情景提炼数学模式是两会事。2. 7 情景不要人为复杂化了案例5中的情景是“四边形外角和定理”的一个很好解释，但测试表明，人沿四边 形周界走一圈的情景，存在两个难点：（1）弄不清拐弯处的转角是内角还是外角，很多老师都认为转的是内角；（2）弄不清4个

29、拐弯处的转角如何相加，甚至怀疑，是不是转 角互相抵消才使人回到原处。这些难点使得认识“人沿四边形周界走一圈”比认识“四 边形外角和定理”更加困难，因而，用于定理发现时，只有19.48%的大学生回答为四边 形外角和定理（参见表2）。这个测试提醒我们，对于情景创设不要想当然，第一，应该有精细的数学认知分析， 到底从“四边形内角和定理”到“四边形外角和定理”学生存在哪些困难？根据这些困难去创设情景才能有的放矢；第二，应该有可靠的实践检验，到底这个设计是不是比别的设计效果好，这个情景用于定理发现好还是用于定理理解好等等，应该用事实说话； 第三、测试检验时还要注意，学生有没有从课程安排中获得“下节课就要讲四边形外角 和定理”的暗示，学生有没有课前预习或临时翻书，也不要把一部分学生明白当作所有 学生都明白。总之，情景是为内容服务的，创设情景的一个目的是设计数学发现的过程，如果情 景本身也很抽象、 很深奥，那就不但不能帮助学生建立感性经验与抽象概念之间的联系， 反而徒然增加“认知障碍”，“时间不够”、“学生启而不发”等现象往往与情景的人 为复杂化有关。