倍数和因数吴汝萍

1、彰显智趣，用数学本身的魅力吸引学生以教学倍数和因数为例吴汝萍教学现场】 、有效引入，界定范围师：今天我们要在这里上一节数学课， 我站在大家面前， 我们之间便建立了 一种什么关系？生：师生关系。师：在家里，爸爸和妈妈之间是什么关系？生：夫妻关系。师：爸爸和妈妈之间，谁是谁的谁？生：爸爸是妈妈的丈夫，妈妈是爸爸的妻子。师：是的， 人与人之间存在着这样或那样的的关系， 数与数之间也存在着这 样或那样的关系。这一节课，我们来认识两数之间的一种关系，也就是生：倍数和因数师：我们已经认识了很多的数，像二分之一、三分之一这些数是什么数？生：分数。师：像 0.1、0.2、0.5 这些数是什么数？生：小数。师：

2、分数、小数都是人类创造出来的数，像 1、2、3、4、5 等等都是自然界 中原来就存在的数，叫什么数？生：自然数。师：今天我们要研究的倍数和因数就是两个非 0 自然数之间的一种关系。说明】引入简洁有趣。先让学生借助关键句式“谁是谁的谁”来说清楚人与人之间的某些关系，为后面理解、描述数与数之间的关系埋下伏笔。接着让学生回忆学过的数，界定倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。如此引入，学生的注意力一下子就指向两个非零自然数之间的关系，课伊始， 趣已生。、认识倍数和因数出示：3和 12。师：想一想，这两个自然数之间存在着怎样的倍数关系？生：12是 3 的倍数。生：3的4倍是 12。师：能用一道乘法

3、算式来表示 3 和 12 之间的倍数关系吗？生：3X 4=12。师： 3的4倍是 12， 4也是非零自然数，也就是 3和12之间存在着整倍数关系。请大家凭感觉猜想一下，谁是谁的倍数？谁是谁的因数？生： 12是 3的倍数， 3是1 2的因数。师：感觉真好，与数学家想到一块去了。3 和 1 2存在着整倍数关系，数学家就这样规定了它们之间的关系： 1 2是3的倍数， 3是1 2的因数。师：现在， 请大家在头脑中任意想出两个非零自然数， 它们之间正好也存在 着整倍数关系，然后相互说说这两个自然数之间“谁是谁的谁”？出示： 0.1 、1 、6、9、18师：这里有 5 个数，哪些是自然数？哪两个自然数之间

4、存在整倍数关系？找 出其中的 2 个说一说，“谁是谁的谁”？交流后讨论：能否说 6是因数， 18是倍数？能否说 1是0.1 的倍数？ 0.1是 1 的因数？师： 4 和 12之间存在着整倍数关系吗？ 4和 12之间，谁是谁的谁？生：12是 4的倍数，4是 12的因数。师：根据3X4=12可以断定，12是3的一一倍数，12也是4的一一倍数；3 是 12 的因数， 4也是 12的因数。让学生根据3X 4=12这道算式，把这3、4、12这几个数之间的关系说清楚。出示：11X 4=44 15 X 1=158-2=4 5 - 1=5让学生说一说每道算式中，谁是谁的谁？师：如果用a、b、c表示三个非0自然

5、数，而且aX b=c,那么，a、b、c之间谁是谁的谁？能分得清楚吗？谁来说说看？生：c是a的倍数，c也是b的倍数，a是c的因数，b也是c的因数。说明】直接让学生从熟知的两个自然数的整倍数关系入手，让学生凭感觉猜想出 3 和 12之间“谁是谁的谁”， 学生通过有意义的建构，初步感知了1 、6、9、倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。然后，让学生任意想两个存在 着整倍数关系的非零自然数，说出“谁是谁的谁”，再让学生说说“18、 0.1 ”这 5 个数中 “谁是谁的谁”，学生进一步明白倍数和因数是两个非 零自然数之间的一种关系。最后让学生说乘、除法算式中数与数的关系，为后 面借助乘法算式找一个

6、数的倍数和因数打下了坚实的基础。每个环节，学生学 得明白，学得轻松。三、学习找一个数的倍数师：12是 3的倍数，想一想， 3 的倍数是不是就 12这一个数？吗？生：不是，有很多。师:你想到了哪个数也是 3 的倍数？能按从小到大的顺序把 3 的倍数写出来学生在练习本上写 3 的倍数。师：你能把 3 的倍数一个一个全部都写出来吗？生：不能。师：为什么呢？生：非零自然数的个数有无数个， 每个非零自然数和 3乘都是 3的倍数，所以 3 的倍数也有无数个，写不完。师：能不能借助一个标点符号来帮忙，将 3 的倍数都表示出来呢？生：省略号！师：好方法，请写出前面的几个后，在后面点上省略号。师： 3的倍数有哪

7、些？谁能按一定顺序说一说？生：3的倍数有3、6、9、12、15、18师；有不一样的写法吗？生：3的倍数有6、9、12、15、18、21师：他们写的有什么不一样？生：一个是从 6开始写的，一个是从 3开始写的。师：哪种写法是把 3 的倍数都表示出来了？生：从 3 开始写的。师：好,千金难买回头看,我们回头思考一下,刚刚大家是怎么找到 3的所有倍数的？生：想3的乘法。【出示：3X( ) = ( )!师：只要前面的这个括号里填的都是非零自然数,这样算出的积就都是 3的倍数。前面这个括号里最小填几？生：最小填1, 3X 1=3。师：后面依次是生: 3X 2=6, 3X 3=9师： 3 的倍数有无数个，

8、写出前面的几个后，后面添上生：省略号。让学生找出 2 的倍数和 5 的倍数。师：观察这几个数的倍数,有没有发现一个数的倍数有什么特点？学生讨论得出： 一个数最小的倍数是它的本身, 没有最大的倍数。 一个数倍 数的个数是无限的。说明】先让学生找 3的倍数,在写的过程中,学生发现 3的倍数有很多个,根本写不完,自然想到了请省略号帮忙,突出了数学简洁性的魅力。在找 出 3 的倍数后,教师注意引导学生比较、回头看,有效培养了学生思维的缜密 性和有序性。在学生写出 2的倍数和 5的倍数后,通过比较 3、 2、5这几个数的倍数,引导学生发现并概括一个数的倍数的特点,有效培养了学生的观察能 力和概括能力。四

9、、学习找一个数的因数师：根据3X 4=12,我们知道3和4都是12的因数。想一想，还有谁也是 12 的因数？生： 2 和 6。师：怎么一下子就想到了 2 个数？生：因为 2X6=12。生：想积是 12的乘法算式。 【出示： （）X（ ）=12 】师：两个自然数的积是 12的乘法算式，有哪些？让学生在本子上写后按一定的顺序汇报。师：找到 3 X 4= 1 2后，为什么不继续找了？生：后面的与前面的重复了，不用找了。师： 1 2的因数有哪几个？说说看。生： 1、12、2、6、3、4。师：这样写出 12是所有因数后，后面用什么标点符号？为什么？生：后面没有了，要用句号。师：这样一对一对找出写出 12

10、的因数感觉怎么样？生：很方便。生: 有点乱。师：是的，虽然方便，但看上去，忽大忽小，有点乱，不太美观。数学总是 是追求完美的，所以一般情况下，是按从小到大的顺序写出一个数的所有因数。你能按从小到大的顺序说出 12的所有因数吗？从小到大，正好是怎样的顺序，用手势比划一下。学生比划，屏幕出示箭头指向图：生：12 的因数有：1、2、3、4、6、12。师：按照这样的方法，你能找出 36的所有因数吗?学生找后，全班交流。师：36的因数有几组？是几个?生：有5组，是10个。生：是9个。师：每组2个数，5组应该10个呀，怎么是9个?生：6和6重复了，只能算一个。师：有道理。能按从小到大的顺序说出 36的所有

11、因数吗?生：36 的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。学生练习找15、16各数的因数。师：观察这几个数的因数，有没有发现一个数的因数有什么特别之处?学生讨论得出：一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的因 数的个数是有限的。师：既然一个数的因数的个数是有限的，想一想，在 100以内的自然数中,哪个数的因数个数最少呢?生：1！ 1的因数只有1。师：看到这个问题，你们还能联想到什么问题?生：在100以内的自然数中，哪个数的因数个数最多呢?师：很好，看到一个问题，能联想到另一个问题，这也是一种能力。大家猜 想一下，在 100 以内的自然数中，哪个数的因数个数最多呢？学生一致

12、认为是 100，教师让学生找出 100 的因数，发现 100 的因数和 36的因数一样，也只有 9 个，并不是最多的。师：100 以内的自然数中，到底哪个数的因数最多呢？这个数留给大家回家 后去找，有信心找到吗？ （生表示肯定） 找到后，到班上交流， 先看找的对不对， 再看因数最多的那个自然数在生活中的什么地方发挥了独特的作用。说明】找一个数的因数是学习的难点，先让学生紧扣乘法算式，一组一组找出 12的所有因数，进而引导学生找到按从小到大的顺序写出12 的所有因 数的方法，然后练习找 36 的因数，这样由易到难且方法巧妙，学生找得轻松， 找得明白，找的欢快。再通过比较几个数的因数，学生发现了一

13、个数的因数的 特点。最后让学生找 100 以内的自然数中哪个数因数个数最少，哪个数的因数 个数最多，有效激发了学生的探究欲望。五、课外拓展，认识完美数1、2、3师：数学中有一种数叫完美数，完美数就和因数有关。先看 6 的因数，6 的 因数有： 1、2、 3、6 。数学家规定，把小于这个数的因数叫真因数， 都比 6 小，它们都是 6 的真因数。猜猜看，等于这个数本身的因数，叫什么 因数？生：假因数。师：恭喜，又和数学家想到一块去了！数学家规定，如果把一个数的所有真 因数加起来，结果不多不少，正好等于假因素，那这个数就是完美数。把 6 的三 个真因数加起来，看看得数是多少？生：1+2+3=&

14、;师：说明6就是一个一一完4是不是完美数呢?0学生找出4的因数：1、2、4,并判断：1+2工4, 4不是完美数。师：6是2500多年前，古希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的第一个完美数。在西方传说上帝创造世界用了 6天，所以把完美数也叫做“上帝之数”。我们中国人常说一一六六大顺，说明我们中国人也特别喜欢这个完美之数。班上学号是6的同学是谁?学号是6的同学起立，大家把掌声送给了 6号。师：你的运气真好，祝贺你的学号是一个完美数，希望你能成为一个完美的 学生，将来成为一个完美之人。（学号是 6的同学非常开心。）师：大家想不想知道自己的学号是不是一个完美数呢？（生点头表示想）那 就赶紧验证一下吧。学生验

15、证后交流，大部分学生说自己的学号不是一个完美数，只有学号是28的学生，激动地说自己的学号是完美数。其他学生怀疑，于是一起验证，发现28的确是个完美数。师：第一个完美数是6,第二个完美数是28。看第三个完美数是一一496。如果把完美数的所有因数，都变成几分之一这样的分数，然后把这些分数加起来, 猜猜看，结果是多少?学生猜后，屏幕上出示结果，学生惊诧不已。师：你觉得完美数怎么样？生：太神奇了。师：是的，完美数非常神奇，所以，从古到今很多数学家都在寻在完美数、 研究完美数， 已经发现了完美数很多神奇的地方。 当然，完美数一定还有更多神 奇的地方，等着更多的数学家去研究、去发现。师：我们有没有成为数学

16、家的天分呢？现在我们先来预测一下， 看自己有没 有当数学家的天分。 请根据前三个完美数， 猜测一下第四个完美数是几位数，位是几？如果能猜对，你就有当数学家的天分。学生一致猜出：第四个完美数是四位数，个位是8。屏幕出示第 4 个完美数是 8128。学生一看结果和自己猜的一摸一样，激动得手舞足蹈。师：看来大家真有当数学家的天分！ 在 1 到 10000 这一万个自然数中， 完美 数也就只有这 4 个。你们认为完美数很多，还是很稀少？生：很稀少。师：对，非常稀少。相对于浩如烟海的自然数来说， 完美数真的是沧海一粟。到目前为止，数学家们只找到了 46个完美数。说不定能够发现第 47个、第 48个或者更

17、多完美数的数学家就是我们班上的某个同学， 那对数学研究的贡献可就 大了，一定会名留青史。很多学生表示，课后就去研究完美数。师：数学家都喜欢从小问题开始研究。课中，我留给了大家一个小问题，还 记得是什么问题吗？生： 100以内的自然数中，哪个数的因数个数最多？师：我相信，大家课后一定能把这个小问题先研究出来。说明】最后向学生介绍的神奇而稀少的完美数，学生如同享受了一顿智趣数学大餐。学生认识、验证完美数，既是巩固练习的过程，也是探究未知的 过程。学生在猜测的过程中见证了完美数的神奇之处，彰显了智趣。尤其是学生猜出了第四个完美数是四位数、个位是 8，教师说 : “看来大家真有当数学家的天分！”学生可

18、谓情趣高涨，智趣飞扬，信心倍增，探究愿望也更强烈。下课后，不少学生围着教师交流，迟迟不愿离去。可谓：课虽尽，趣犹浓。教学阐述】、数学合情合理数学知识的产生与形成过程本身就是一个自然的、合情合理的发展过程， 数学教学中， 尤其是引入新的知识或思想方法时， 如果能让学生感觉数学是合情合 理的，学生对数学就会有亲切感，感觉自己学习新的数学知识是有“根基”的， 有能力把数学学好，对数学会产生良好的情感与态度。倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系，学生对 “倍数”这个概念是 有点感觉的，因为学生在二年级就认识了两个数量间之间的倍数关系， 会解决“求 一个数的几倍是多少” 或“求一个数是另一个数的几倍

19、” 这样的实际问题。 所以， 教学时，直接出示“ 3”和“ 12”这两个自然数，让学生说说它们之间的倍数关系，学生明确这两个非零自然数正好存在是整倍数关系后，让学生凭感觉猜想： 谁是谁的倍数？谁是谁的因数？大部分的学生都认为 12是 3的倍数，3是 12的因数。这样引入， 倍数和因数的概念不再是老师硬塞进学生头脑中的， 而是自己 从学生的头脑中跳出来的， 学生对倍数和因数这两个数学概念的心理接纳程度就高，就能有效理解倍数和因数之间的依存关系， 而且，在后面探究找一个数的倍 数和因数时，也能保持一定的主动性。二、数学有型有序学习数学，数学是模式的科学。”数学的模式可谓数学外在的“型”。如果能让学

20、生理解并建构起相应的数学模型，数学就不会“神龙见首不见尾”， 而是有模有样， 理解掌握起来一点不困难。 如，怎么找到一个数的倍数？学生找 出3的倍数后，意识到3与任何非零自然数的积，都是3的倍数，即3X() =)，从而理解并能建构出找一个数的倍数的乘法算式模型。再如，怎么找一个数的因数？学生找 12的因数，意识到两个自然数的积是 12，这两个自然数就是 12 的因数，即：( )X( )=12，从而理解并能建构出找一个自然数因数的乘法算式模型。数学是锻炼思维的体操。”数学的思维可谓数学内在的序。 学习数学的魅力，在于有效提升数学思维能力，使思维变得严谨、变得有序。如，找一个数的倍数或因数时， 学生开始的思维是无序的， 教学过程， 就是让学生经历从无序到 有序的过程， 从而提升学生有序思考的