“基本不等式”中的母题及解题技巧

1、高二“基本不等式”中的母题及其解 题技巧，各种题型都包括知帜 ITif 理1-基本不等式逅基本不等式的使用条件：一正；口5 60即=所求最值的各项必须都是正值;二定；血或a + b为定值，即暑含变量的各顶的和或积必须是常数.三相等=当且仅当ab时取等号；即！等号能否取得.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了 某个条件，就会出现错误.2. 由公式护十护鼻2必和価W字可以引申岀的常用结论（1）夕+#2（小b同号）;-la, &异号)$宀 価 丁 或站（今Qo）吕空(a 0 - 6 0)礼 利用基本不等式求董大* g小值冋题如果広0* I 0 J且罚=尸（定值）.那么当x=

2、时兀+ v有最小值2x/p.（简记积定和最小T如果x0, y0,且t+f=S（定值*那么当H=y时，辛有最大值 P （简记.呻定和最大）类型一.直接应用类此类间题较为基砒，利用基本不等式求最值时应注意：非零的&數 （或式）均为正，和或积为定值；等号能否成立，即一正.二定.三相 等这三个条件缺一不可解答技巧一：直接应用【母题一】SxAfb yf）,且x+3- 1S Md的最大值是E解緒】5：Tx0, 0,別疋+72点鮪以勺q符今-gl娄且抚葺工-V-9秋刮近xCLsi *E答案1 S1【变式】1.已知/（工）=工十一2仗0九则7（工）有（B.最小值为0A.最大值为0C.最犬值为-4D.最小值为-

3、4【解析】ThVOj二怒）=一（对+(F一22 2=斗，当且仅当-工=，即；c=-l时瑕警号.X【答案】C2 . ED 0x2,贝ffl埶尸卄百的最小值为1 x2, .-（a-2） + +22 + 2-4,岁且仅当工?时垠寻骨.【答泰】4解答技巧四：屢系数c【母駆四】若函数的最犬值为-E解祈】-寸=扣工）（3jc）W_ =学 当且仪当工=扫致冬【答案】y【变式】1 . S数F =应十2（工1）的最小值是（”.V- 1A. 2/3 + 2B. 2逅-2【解析】一10*-2十十2-X-1JC-1F 2十1+2（工一V+3 _ X- 1 +2（工一1）+3 _=-X工1+丄+工一 122尤一 1/丄

4、J+2=2萌+2.当卫収当兀一1=二一，即乂=1+羽 U1JJC 1时，取等号-【答案】A2.当小时，不等式,+古Ad恒咸立，则实数.的最大值为CS?柄】丁工,.T10.又工=工一112十 1=兀X1X1当JL仅当工=2时善号從立*则0W気 所以口的最X值为3 +【答案】33. （2014 M坊模）已知4&0血=1,则的最小值为0一&abab【解柘gi|i=Sb尸+ 2話=9-0：十2=_扔召士2当卫一paQflo日一p且权当口一力=迈时，取等罟.【答案】2花4. 已知函数兀工）=黑若兀0左的解集为Uhc-3.或x-2,求的值首（2）对任意艾0, 7（工）恒成立，求r的取值范围【解】（iy（;

5、v）ArUfcv-2；t + 6XQ.i己!工匕 3,或工一2是其承莫，4? fe-2江+6上=0的两抿是一3, 2*白银与系数的关系可紋一2）+（3耳 即fc=-|（2）因为工0,冗町= 丄界亠尸=取，当且仅当玄=时取兀2+ 6 工+ 2l6 0X等号,囱已知X兀）对任童:C0恆成立，故習，的取值范围录类型三.条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点（1）知和求积的最値=求解此类问题的关键，明确和为定值，积有最 大值.但应注意以F两点=具备条彳一正数i验证等号成立.aM求和的最値i明确积为定值，和有最小值直接应用基本 不等式求解-但要注意制用基本不等式求最值的条件.（3）构遣不等式求最值

6、：在求解含有两个变量的代数式的最值间题时, 通常釆用变量替抑或“常数的曹按，构适不尊式求解.技巧页：换衣（）（或整体代换）【母题五】已列UCba +则-+曲最小值为a 0A 解析】T卫A0 i0 d + i = 1.+4J=2 + -+r2 + 2/=4.as apa sv 口 p沪+占鍛卜伉肖彳.爭且读告应=&=冲警号威至. H 02f答秦4【变式】k本例的条件不变,则（1 +燹十訓最小值为.【解析】（1+訂1+泊（1+弓黑1 +鶴=（2+?（2十另=5十 鲁十另当且仅爭0=b=g时，恥箸号*L本例的条件和结论互换葩已知C 6 卅f则E的 最小值为【解析】時+*7谡右+茅1“十2（右+沏卄沪

7、”吕 +命*+2、y扫磊=1当卫仅告flT弓寸取等号”4若本例条件娈为；已知宀，QS卫乜7则|+的最小值为C- 5D. 6【解祈】自+1 畤十|k=伕+討十彳卜扌堆 十护+爭且仅当旷沪井取等号【答案】I斗，本例的条件变为.已知口* fr0, Q0,且+卅=1,则孑+ 出的最小值为【解析】v.0, 50. c0,且口卄十扌十+十右=兰号土 十吃尹十也 = 3利十匚十吕十bca a b b c e十2+?十2=9窖且仅当=方=匚=1时，取尊号.【答案】95. 若本例变为=已知各顶为I数的等比数列6满足商=佻+加。若 存在两JS卫”，使得辰，则肘的最小值为142卅2=3斗朋+旳=5则不十厂n) =

8、- 5 +【解析】设公比为g(gAO),由口尸氐十2二心于=Gg十2s=gg 2 = 0(?A0)ng=2. /5二 = 2迈41戶应12皿11 62小=8用=2曲11-2片11 = 中丄4帕一I丿十2苗=#当且仅当=2朋=罟時等号成，邑【答案】I6(2012-浙江若正数.G r满足;v + 3F = 5xy则3耳+4y的最小值是A 2Q* -【解析】TxSj0由工+ 3y=5x31- /.3x+4j=|3x呼詈F+炉号淨4护=5（当且仅当x = 2y时取等号）.【答案】CA. 2对任意正实数兀，y恒成立，则正实数B. 4C, 6D. 8【解析】十fj=l十口十十1+ a+2yfa,当1+n十

9、2辺9时不等式燈成立款苗十】3* a4,【答案】B技巧六=构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆臥例 如，+胪2曲逆用就是血 一 ；b（e &0）逆用就是胡 0）等.还要注意“添、拆项技巧和公式等号成立的条件 等.思考方式还能以保留“和（口+力广还杲和阳 来禎定公式的运用方【毋題六】若正京数盖，満足：A+）+g=町，则砖的最小值是【S3桶】玉玄0* ynO, 2x亠$+（5=期.樓七卩寸亦蚩且仅蛍：丈=v盲 卷*&务、銅 （巫厅一工五屈一6沁 2云一3气/7（妬+念）0. y五X 代巫孑念，阳A1 g.裁出颈卜但为1S.E答茉】僧【变式】1 -已知斗0, y

10、0, x + 2y+2xy = S贝eJ r + 2y的最小值是B4斗斗当旦仅当A- 3【解析】俄题意.碍2v = - Cr十2r）十8 Wxfr即 ”2；时等号衣立.A （x+2y）+4（x+即）一32工十 2丁十2x）=8,b二- 50,艇碍工十214或工十_8（含去）*二工十2”的畳小值是4-【答案】B2. 若正数口 y満足X- + 3X1 - 1 = 0贝0工打的最小值是（A迈E型33C逅D逵S2U.3t解析】对于0+ 3x）1 =0可稈，=|扌一x）X+j =手+命 =芋且仅当心=半时等号成立）.I答案】B3. 若实数匚y满足Q十严十今=1,则工+，的最犬值是解析】+xy = 1 e

11、 （工 +jO* 砂=1 e （工 +j）*1 = q吒 C耳与2,t答棗】羊类型四.墓本不等或的应用1.某公司租地建仓库，每月土地占ffl费加与仓库到车站的距离成反比娄而每月库存货物的运费小勻仓库到车站的距离成正比.如果在距车站10 公里处建仓库，这两顶费用FI和F2分别为2万元和8万元，那么要使这r两顶議用之和最小，仓库应建在离车站公里处.【解析3设H为仓库与丰站距离，由已知尹尸学，冲=0.&匚费用之和Jvy=yi +比=0启工+卫2、/0上厂竺=8，芳卫仅当O 8.y=,郢工=亍时VXX【答案】52 .(创祈题1规定记号0表示一种运算，即农Sb = /SS+口十吉&为正实数.若 心=3、

12、则无的值为，此时團数夭工)=学的Jx最小值为.【解折】1左=/十1十Jt-=3,即七十心一2=0二心=1或耀= 2（舍），/tfc=l.KjaA+h + 1 = +1+2= 当且仅当乐= 7裏VX1时等号菽立.【答案】33设O3( = (b -2)*-in Str-b, 0)0, &0, O为r 1坐标原点人若虫，乩C三点共线，则=+抽最小值是()t DC* S【解析】丁初=昂5 =（日一1,1）,况一剪2h若川, 頁U三点共线，则iAhi/At,二仗一 1）1-1二茲+ ai又心0a|+|=（|）畑十卄乎+晋5+2普=9 ,当且仅当辿=卫口 0即1 =方=#时等号成立%十力=1,【答案】D4. 设正实数工 打M满足W-3XV十4护-巨=0,则当卫取得最大值时,X*它3. 1A- 0D3t解析】由已知得z=x3n +42（*）,则型= _型=7 r 匕 ”一3硏+4屮+空_3Oj y0,兀+ r + 3=xy,且不等式（兀+乍一（兀+町+】0 恒成立，则实数口的取值范围是【解析】矣便（工朴懐+刃+1 0恒成立，则有（丫+丁）2 +