《1.3交集、并集》教学案

1、交集、并集教学案学习目标1.知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.过程与方法学生通过观察和类比，借助 Venn图理解集合的基本运算.3.情感、态度与价值观(1)进一步树立数形结合的思想.进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.教学重点、难点重点：交集与并集的概念.难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系.教学过程1.关于交集与并集概念的教学建议教师一方面可通过 Venn图画两集合所表示的两条封闭曲线“相离”、“相交”、“内含”、“相

2、重合”等情形，全面揭示两集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教学中，对“且”和“或”这两个联结词必须使学生明确其涵义，学会正确使用,使学生对交集、并集的定义有一个准确的认识.2.关于集合运算时的常用技巧的教学建议教师通过教学引导学生进行集合运算时一般先化简再运算.当给出的集合形式较为复杂时，注意先化简，化简时注意保证化简前后集合的等价性.另外须注意对于含有参数的方程问题，一般需对参数进行讨论.要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还要提防“空集”这一隐形陷阱.1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系(重点).课标解读2 .掌握求两个简单集合的交集与并集的方法(

3、重点).3.会借助Venn图理解集合的交并运算，培养数形结合的思想(难点).知识点1交集与交集的性质【提示】C中的元素属于集合A或属于集合B.【问题导思】已知集合 A = - 1, 1, 2, 3, B = 0，- 1 , 1 , C = - 1 , 1.1.集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么?【提示】有 - 1 , 1.2集合C中的元素与集合A、B有何关系?【提示】集合C中的元素属于A且属于B.1.交集(1) 文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为 A与B的交集，记作An B(读作“ A交B”).(2)符号语言:An B= x|x A,且 x B,

4、Ve nn图AB)2.交集的性质(1)An B = Bn A；(2)An B?_A ； (3)An BjB； (4)An A= A; (5)A n ? = ?知识点2并集与并集的性质【问题导思】已知集合 A = - 1, 2, 6 , B= - 2，- 1, 4, 6, C= - 1 , - 2, 2, 4, 6.1. 集合A与B中的公共元素是什么?【提示】-1, 6.2.集合C中的元素与集合A、B有什么关系?1.并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为 A与B的并集，记作AU B(读作“A并B”).(2)符号语言:AU B= x|x A或x B.Ve

5、nn图2.并集的性质(1)AU B = BU A；(2)AJAU B ； (3)B?_A U B； (4)AU A= A; (5)A U ? = A.设a, b R，且ab,规定:a,a,(a,a,知识点3区间b = x|awxw b, (a, b) = xpvxvb,b) = x|awxb, (a, b = x|aa, ( s, b)= x|x1 , B = x|- 1x1 n x| 1x2 = x|1x2.(2) 法一 A n B = 1, 1, 2, 4 n 1, 0, 2 = 1 , 2.法二如图所示:A n B= 1, 2.【答案】(1)x|1x2(2) 1, 2规律方法求两个集合的

6、交集就是找出这两个集合的公共元素:(1)对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解;(2)对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图法求解.知识点5集合的并集运算例2 设A= x|2x2 px+ q= 0, B = x|6x2+ (p + 2)x + 5+ q = 0,若An B = ?,求AU B.【思路探究】利用交集的定义，可以得到两个含有P, q的方程，并解出它们，可以进步求出集合A,B,在求并集时，必须注意并集中元素应该满足互异性.【自主解答】111.A n B = 2,.2 3, 2 出.将2分别代入方程 2x2 px+ q = 0及6x2+ (p + 2)x

7、+ 5+ q= 0中,门11 2 2P+ q = 0,联立得方程组312 + 2(P + 2 )+ 5+ q= 0,P=乙 解得q= 4.1-A = x|2x + 7x 4 = 0 = 4, 2,B= x|6x2 5x+ 1 = 0 = i, 3,1 1A d 4, 2, 3 规律方法1.解答本题关键是确定出集合 A, B中的元素.2. 求集合的并集时，若集合是用列举法给出的，可直接利用并集的定义求解，需特别 注意相同元素只能按一个书写；若集合是用描述法表示的无限集，求解时可借助数轴完成,需特别注意界点的虚实.知识点6交集、并集的性质及应用例3 集合 A= x|x2 3x+ 2 = 0 , B

8、= x|2x2 4x+ a = 0，若 AU B = A，求实数 a的取值范围.【思路探究】AUB = AB? A fB= ?或BM ?f结论A= xx2 3x+ 2 = 0 = 1 , 2,【自主解答】A.2(1) 当B = ?时，A= ( 4) 4X 2a = 16 8a2 ；当B中只有一个元素时,即B= 1或2时,= 16 8a = 0, /a = 2,2此时，B= x|2x 4x+ 2 = 0 = 1，符合题意;(3)当 B = 1 , 2时,21, 2是方程2x 4X+ a= 0的两根,4应有1+ 2 = V，显然不成立,此种情况不存在.综上，实数a的取值范围为a|a2.规律方法在集

9、合与集合的关系中， 若集合B为双元素集合，且A? B,则可对集合A按元素的个数分类，即A为空集，A为单元素集合，A为双元素集合；若集合B为三元素集合，则可依此类推.这 样才能标准统一，不重不漏.变式训练设A= xlx2 + 4x= 0, B = xlx2 + 2(a + 1)x + a2 1 = 0.(1)若A n B= B，求a的取值范围;若AU B= B，求a的值.【解】 A = 0 , 4.(1) -.An B= B,.B? A. 若0出，则a2 1 = 0，解得a= 1.当 a= 1 时，B = x|x2 + 4x= 0 = A；当 a= 1 时，B= 0 A.若4田，则a2 8a +

10、 7= 0，解得a= 7或a= 1.当 a= 7时，B = x|x2 + 16x + 48 = 0 = 12, 4 g A.2 2 若 B= ?，则 A= 4(a + 1) 4(a 1)0，解得 a 1.综上所述，a w 1或a = 1.ALB =B.A = 0 , 4，而B中最多有两个元素,:A = B，即 卩 a = 1.知识点7已知集合的交集、并集求参数范围例4 已知集合A= x|2x4，B= x|ax0.此时，又分两种情况： B在A的左边，如图中B所示; B在A的右边，如图中B 所示.3a 2集合B在图中B或B 位置均能使A n B= ?成立,2即04,解得 04.另一类是B = ?，

11、即aw 0时，显然An B= ?成立.2综上所述，a的取值范围是a|aw 3或a 4.规律方法1.若A n B= ?，则A、B可能的情况为：(1)A、B非空但无公共元素；(2)A、B均为空集;(3) A与B中只有一个是空集.2.依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是 些字母范围问题的常用方法.互动探究将本题条件“ An B = ?”改为“ A n B= x|3x4 ”，如何求a的值?【解】 因为A= x|2x4 , An B = x|3x4，如图所示.集合B若要符合题意，显然有a = 3,此时，B = x|3x9，所以a= 3为所求.错误理解交、并集的概念致误典

12、例 设 A = 2 , 1, X2 X+ 1, B = 2y , 4 , x+ 4, C= 1, 7,且 A n B= C , 求X, y的值.【错解】令7= x2 X+1,解得x= 2,或x= 3,7令2y=乙解得y= 2,1令2y= 1，解得 y= 2，而由 x+ 4= 7得x= 3,由 X+ 4 = 1 得 x= 5.71综上可知 x= 2,或 x= 3,或 x= 5, y= 2,或 y = 2.【错因分析】没有正确理解An B= C即集合A B中有且仅有1, 7这两个公共元素, 在求出X, y的值后应进行检验.【防范措施】正确理解集合中交、并集的概念，若给出集合与集合的交集或并集，求

13、解过程中应注意检验.【正解】-.A = 2 , 1 , x2 X+ 1, B= 2y, 4, x+ 4, C= 1 , 7,又A n B = C,.76A, 7田,-1B.2当73时，有 x X+ 1= 7,解得x= 2,或x= 3.F面检验x= 2与x= 3的合理性:若x=- 2,则在 B中，x+ 4= 2 + 4= 2,则 2 出.2(A,.2 (A n B= C = 1 , 7，这是矛盾的,X 丰2,当x= 3时，在B中，X+ 4 = 7,符合题意,12y= 1，解得 y= 2.1综上可得x= 3, y= 2.、“或”,本节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且” 理解它们并不困难.(1)A与B的交集是由A与B所有的公共元素组成的集合.当两个集合A与B无公共元素时,An B = ?.(2) A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，当两个集合有公共元素 时，公共元素在A U B中只能出现一次.(3) 利用数形结合，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来，从而求出集合的 交集、并集.这是既简单直观且最基本、最常见的方法，要注意灵活运用1.集合x|2xw 5用区间表示为【解析】x|2x 5 = (2, 5.【答案】(2, 52.已知集合 A =x|(x 1)(x + 2)= 0, B = x|(x + 2)(x 3) = 0，则集