考研数学一历真题

1、考研数学一真题(1998-2012)1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)眄.ixrx-2_2=.x1z(2)设z=f(xy)十y中(x十y),fW具有二阶连续导数，则x：x：y22xy._2.2、.设l为椭圆一+工=1,其周长记为a,则(2xy+3x+4y)ds=43口.*一设a为n阶矩阵，A=0,A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值九,2_则(A)+E必有特征值.12(5)设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X,Y)x在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X

2、的边缘概率密度在x=2处的值为二、选择题体题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)dx_22设f(x)连续，则dtf(x-t)dt=dx022、(A)xf(x)(B)-xf(x)(C)2xf(x2)(D)-2xf(x2)一，2_、3(2)函数f(x)=(x-x-2)x-x不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量&y=y1A+“，且当0时户是Ax的1x高阶无穷小，y(0)=兀，则y(1)等于(A) 2 二(B)二(C) e"(4)设矩阵是满秩的，则直线

3、(D)二e"3biGa2b2c203b3c3_xa3yb3zc3匕古娃xaiyblzclai-a2bi-b2cl-c2a2-a3b2_b3c2-c3(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设A,B是两个随机事件，且0cP(A)<1,P(B)a0,P(B|A)=P(B|A),则必有(A)P(A|B)=P(A|B)(B)P(A|B)=P(A|B)(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB);P(A)P(B)三、(本题满分5分)x-1yz1.求直线l:=-=在平面兀：x-y+2z1=0上的投影直线l0的方程，并求l011-1绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、

4、(本题满分6分)确定常数%使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y)i-4(S十中j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为P,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v).六、(本题满分7分)2z = -Ja2 _x2 _ y2的上侧,a为

5、大taxdydz(za)dxdy.计算一2一212，其中工为下半平面(x2yz2)12于零的常数.七、(本题满分求limx_.二n sin nn 16分）.2 二sin -八、(本题满分1 n -25分）111 +sin 二qQqQ彳设正向数列an单调减少，且£一(-1)nan发散，试问级数£(1)n是否收敛？并说明n4n=1an'1理由.九、(本题满分6分)设y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数试证存在x0w(0,1)，使得在区间0,%上以f(%)为高的矩形面积，等于在区间%,1上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导

6、，且f'(x)一红凶，证明(1)中的小是唯一的.x十、(本题满分6分)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换y=P”化为椭圆柱面方程“2+4之2=4，求a,b的值和正交矩阵P.VI?5J十一、(本题满分4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量且Ak/a#0.证明：向量组&Aa,|,Ak_1a是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知方程组(I)aiiXifa12X2+HI+a1,2nX2n=0a2iX22X2+HI+a2,2nX2n=0anlXi+an2X2+IH+an,2nx2n=0的一个基础解析为（bii，

7、b12，|ibi,2n）T，（b21，b22，IH，b2,2n）T，|l，（b11，b12，|，bn,2n）T.试写出线性方程组bliyifb|2y2+111+bl,2ny2n=0b2iyib22y2+川+b2,2ny2n=。(n)+bniyipn2y2十川+4款丫2n=。的通解，并说明理由.十三、（本题满分6分）1,，一，、设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为一的正态分布，求随机变量2X-Y的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N（3.4,62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大附:标准正态分

8、布表中（x）dtz1.281.6451.962.33G(x)0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附:t分布表Pt（n）（n）=p0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)/ 1如酷xtan x)=dx2(2)dx0sin(x

9、-t)dt=2(3) y'_4y=e的通解为y=设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是(5)设两两相互独立的事件 A,B 和 C 满足条1件：ABC=E,P(A)=P(B)=P(C):二2,9且已知P(AUbUC)=n，则P(A)=二、选择题体题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则(A)当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B)当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函(C)当f(x)是周期函数时,F (x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时

10、，F(x)必是单调增函数1 - cosx(2)设 f(x)=«7xx2g(x)x 0淇中g(x)是有界函数，则f (x)在x=0处x <0(A)极限不存在(C)连续，但不可导(B)极限存在，但不连续(D)可导x设 f(x)X-2xa1,S(x)= an cosn- x,二 x ：二二，一：x：12 nT215其中 an =2( f (x)cosnnxdx (n =0,1,2,|),则 S(一2)等于1 (A)21(B) -2(c)4设A是m父n矩阵，B是n父m矩阵，则(D)(A)当m a n时，必有行列式| AB匡0(B)当m a n时，必有行列式|AB1=0(C)当n >

11、;m时，必有行列式| AB |#0(D)当n a m时，必有行列式|AB|二0(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则,、1,、1(A)PXY<0=-(B)PXY<1=-1(C) P X -Y < 0=-1(D) PX -Y < 1=-三、(本题满分6分)设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz.dx四、(本题满分5分)求I=1(exsinyb(x+y)dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正的常数，L为从点A(2a

12、,0)沿曲线y=J2ax-x2到点O(0,0)的弧.五、(本题满分6分)设函数y(x)(x之0匚阶可导且y'(x)>0,y(月过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为§,区间0,x上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2s1S2恒为1,求曲线y=y(x)的方程.六、（本题满分7分）22论证：当xa0时，（x1）lnx至（x1）.七、（本题满分6分）为清除井底的淤泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）.已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N

13、,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/S的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：1NMlm=1Jm,N,s,J分别表示米，牛，秒，焦.抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.）22设S为椭球面 + + z2 =1的上半部分22，点P（x, y, z）w S1为S在点P处的切平八、（本题满分7分）面，P（x,y,z）为点O（0,0,0）到平面江的距离，求ffzdS.S7（x,y,z）九、（本题满分7分）设an=J04tannxdx:/1-（1）求E（an+an七）的值.n4n（2）试证:对任意的常数an收敛.十、（本题满分8分）a

14、-1c.设矩阵A=5b3，其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A有一个特征值£0,1-c0s属于左的一个特征向量为a=(1,1,1)T,求a,b,c和筛的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mmn实矩阵,BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处XYY1Y2Y3P(X=x)=Pi.X118X218p(y=x)=p.161十三、(本题满分6分)6x(1-x)0<x：

15、二二设x的概率密度为f(x)=e3(),Xi,X2,|,Xn是取自总体x的简单、0其它随机样本(1)求e的矩估计量?.(2)求夕的方差D(%2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)J。J2xx2dx=.(2)曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,2,2)的法线方程为.(3)微分方程xy"+3y'=0的通解为12(4)已知方程组23-1a(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的I率相等，则P(A)=二、选择题体题共5小题,每小题3分，满分15分.

16、每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a<x<bB,有(A)f(x)g(b)f(b)g(x)(B)f(x)g(a)f(a)g(x)(C)f(x)g(x)f(b)g(b)(D)f(x)g(x)f(a)g(a)(2)设S:x2+y2+z2=a2(z之0),S1为S在第一卦限中的部分，则有(A)iixdS=4iixdS(B)iiydS=4iixdSS0S0(C)iizdS=4iixdS(D)11xyzdS=4iixyzdSSSiSSi

17、QO(3)设级数工un收敛，则必收敛的级数为n1oOoOnUn_%,2(A)(-1)(B)Unnhnn1oOoO(C).一(u2n4_U2n)(D).-(UnUn1)n+n1设n维列向量组oq,|,Om(m<n)线性无关，则n维列向量组3,111,线性无关的充分必要条件为(A)向量组0(,|,am可由向量组3,III，甬线性表示(B)向量组3,111,Bm可由向量组01,1)1,0m线性表示(C)向量组0dli,0m与向量组PJII,3等价(D)矩旧车A=(ai,|,am)与矩阵B=(瓦M,Bm)等价(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量£=X+Y与&quo

18、t;=X-Y不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)一E(X)2=E(Y2)E(Y)2(C)E(X2)=E(Y2)2222(D)E(X2)E(X)2=E(Y2)E(Y)2三、(本题满分6分)2 ex4sin x).1 ex四、(本题满分5分)2设z=f(xy,X)g(勺，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求yycx:y五、(本题满分6分)计算曲线积分I=7|吗Tx淇中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(R>1),L4xy取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有Qjxf(x)dydzxyf(x)dzd

19、xe2xzdxdy=0,其中函数f(x)在(0,y)内具有连续的一阶导数，且limf(x)=1，求f(x).x0七、(本题满分6分)1xn求哥级数Z1一n二的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.n43(_2)n八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到F?距离的平方成正比(比例常数ka0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在0,冗上连续，且/f(x)dx=0(f(x)cosxdx=0.试证：在(0,江)内至少存在两个不同的点彳,，使f(三)=f(J)=0.0 0 010 001 0 ,且ABA,=BA+3E淇中E为4

20、阶单-3 0 8十、(本题满分6分)一1*_0设矩阵A的伴随矩阵A1|1一0位矩阵，求矩阵B.十一、(本题满分8分)1某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其6他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2,成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向5/ xn 1=A1yn 由 J/ 、xn1yn J求xn*与xn的关系式并写成矩阵形式1yn+J1ynJQ)f-1)(2)验证勺=,42=1I是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值<1>11)11(3)当2时，求U

21、J1UfJ十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).十三、(本题满分6分)2e-2(x-)x.r设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;日)=«，其中日>0为未知0x_1参数.又设Xi,X2,|I,Xn是X的一组样本观测值，求参数6的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)x.(1)设y=e(asin

22、x+bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.221-2攵，.，、(2)r=qx+y+z，则div(gradr)(i,2)=.01-y(3)交换二次积分的积分次序：Jdyf(x,y)dx=.(4)设A2+A-4E=O，则(A-2E)=.(5) D(X)=2，则根据车贝晓夫不等式有估计PX-E(X)>2<.二、选择题体题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示，则y=f'(x)的图形为(2)设f(x,

23、y)在点(0,0)的附近有定义，且fx(0,0)=3,fy(0,0)=1则(A)dz|(0,0)=3dxdy(B)曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0)处的法向量为3,1,1z=f(xy_八一口，(C)曲线4住(0,0,f(0,0)处的切向量为1,0,3.y=0(D)曲线(z=f(x%(0,0,f(0,0)处的切向量为3,0,1Iy=0设f(0)=0则f(x)在x=0处可导u(A)四存在(B)f(1-eh)入广Pm存在f (h -sin h)h2存在1设A1J111.11 1,B11 1111； f (2h) - f (h)十十(D) lim - 存在h)0h400010000,则 A

24、与 B0000、0000j(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷 n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y相关系数为(A) -11(C)2(B)0(D)1三、(本题满分6分) arctanex ,求Ldx.e四、(本题满分6分)设 函 数 z = f(x,y) 在 点 (1 可 微 ， 且f(1,1) =1, fx'(1,1) =2, fy'(1,1) =3，中(x) = f(x, f (x,x)，求 d *3(x) xT .dx五、(本题满分8分)设 f(x)=谒f(x)展开成x的哥级数，并求£

25、-()-2的和.njl-4n六、(本题满分7分)计算I=也(丫2z2)dx+(2z2x2)dy+(3x2-y2)dz淇中L是平面x+y+z=2与柱面x+y=1的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f(x)¥0.证明：(1)对于VxW(_1,0)U(0,1)，存在惟一的日(x)W(0,1)，使f(x)=f(0)+xf'(H(x)x)成立.(6) limu(x)=0.5.八、(本题满分8分)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程2(x2y2)z=mu卜(设长度单位为厘米，时间单位为小时),

26、已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？九、(本题满分6分)设出,a2,lll,四为线性方程组AX=0的一个基础解系，§=t1al+t2a2,22=t1a2+t2°3,HI,&=t1as+t2cq,其中t1,t2为实常数，试问t1,t2满足什么条件时加区,111,国也为AX=0的一个基础解系？十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x.(1)记P=(x,Ax,A2x),求B使A=PBP".(2)计算行列式十一、(本题满分7分)设某班车起点

27、站上客人数X服从参数为九(九>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数，求:(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率.(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设*N(一又2)抽取简单随机样本Xi,X2,|,X2n(n>2),2nn1._一2样本均值X二XXi,Y-(Xi-XnJ-2X)，求E(Y).2ni4i42002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上二dxexln2x-(2)已知ey+6xy+x2

28、-1=0，则y"(0)=.21,一(7) yy+y=0满足初始条件y(0)=1,y(0)=2的特解是222.(4)已知头一次型f(x1,x2,x3)=a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正父变换可化为标准型f=6yl2，则a=.2. 2(5)设随机变量XN(N,。)，且二次方程y+4y+X=0无实根的概率为0.5，则N=.二、选择题体题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质：f(x,y)在点(x0,y0)处连续，f(x,y)在点(x0,y0)处的

29、一阶偏导数连续，f(x,y)在点(,y°)处可微，f(x,y)在点(x°,y°)处的一阶偏导数存在.则有：(A)=(B)=(C)=(D)=_nn111、，n i(B)绝对收敛(D)收敛性不能判定(2)设Un#0,且lim一=1，则级数£(-1)(一十)为n'UnUn(A)发散(C)条件收敛(B)当m/ '(x)存在时，必有(3)设函数f(x)在R有界且可导，则(A)当jjm0f(x)=0时，必有雪0f(x)=01 imf(x)=0(C)当JjmJ(x)=0时，必有jjm*f(x)=0(D)当jlim+fx)存在时，必有limf(x)=0.

30、(4)设有三张不同平面，其方程为aiX+by+Gz=di(i=1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fx(x)和 fY(y),分布函数分别为Fx(x)和fy(y)，则(A) fx (x) + fY (y)必为密度函数(B) fX (x) fY(y)必为密度函数(D) FX (x) FY (y)必为某一随机变，且 f (0)f '(0) #0,当 hT 0 时，若(C)FX(x)+FY(y)必为某一随机变量的分布函数量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数f(x)在x=0

31、的某邻域具有一阶连续导数af(h)+bf(2h)f(0)=o(h),试求a,b的值.四、(本题满分7分)arctanx.2已知两曲线y=f(x)与y=foedt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程，并2、求极限limnf(-).n>二n五、(本题满分7分)22计算二重积分e,ydxdy淇中D=(x,y)10MxM1,0<y<1.D六、(本题满分8分)设函数f(x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a,b),终点为(c,d).记I=11y2f(xy)dx2x_y2f(xy)_1dy,yy(1)证明曲线积分i与路径l无关.(2

32、)当ab=cd时，求I的值.七、(本题满分7分)二x3n(1)验证函数y(x)=£(-8<x<+8)满足微分方程y"+y'+y=ex.n卫(3n)!二二3n(2)求哥级数y(x)=£的和函数.n(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为2222D=(x,y)|x+yxy£75,小山的图度函数为h(x,y)=75x-y+xy.(1)设M(xo,y0)为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为g(xO,y°)，写出g(xO,y°

33、;)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵A=(oq,a2,a3,a4),oq,02,%/4均为四维列向量淇中a2,a3,a4线性无关，的=20203.若0=01+02+03+a4,求线性方程组Ax=0的通解.十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵，(1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分

34、)设维随机变量X的概率密度为一cos-其它f(x)=220、对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于-的次数，求Y2的数学期望.3十二、(本题满分7分)设总体X的概率分布为X0123P0229(1-6)021-201其中日(0<8<5)是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求9的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1lim(cosx)1n"2)22.(2)曲面z=x+y与平面2x+4y-z=0平仃的切平面的万程是od2设x=Zancos

35、nx(-nExEn),则a2=n为从R2的基0)=(5)设维随机变量(X ,Y )的概率密度为2)的过渡矩阵为6x0 _ x _ y _1其它PX Y _1=(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布N(也1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则N的置信度为0.95的置信区间是(注:标准正态分布函数值文1.96) = 0.9754 (1.645) = 0.95.)二、选择题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)，只有一个符(1)设函数f(x)在(血,口)内连续淇导函数的图形如图所示

36、，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设an, bn, Cn均为非负数列，且(% = 0 ,(=14场孰=(A) an < bn对任意n成立(B) bn < cn对任意n成立(C)极限niman cn不存在(D)极限lim bncn不存在n-?二(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limf(x,y)芸y=1,则Ty0(x2'y)(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点(C)点(0,0)是f(

37、x,y)的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点(4)设向量组I:0),a2,|,or可由向量组II：0,份,|,&线性表示，则)当r<S时,向量组II必线性相关(B)当r>S时,向量组II必线性相关(C)当r<s时,向量组I必线性相关(D)当r>S时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组Ax=0Bx=0，其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题：若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)之秩(B)若秩(A)之秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解若Ax=0Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)若秩(A)=秩(B),则Ax=0与

38、Bx=0同解(B)(D)以上命题中正确的是(A)(C)j、口、，1,(6)设随机变量Xt(n)(n>1),Y=1,则X(A)Y 2(n)(B)Y2(n-1)(C)Y F(n,1)(D)Y-F(1,n)三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y = ln x的切线，该切线与曲线y = ln x及x轴围成平面图形D .(1)求D的面积(2)求D绕直线A.x =e旋转一周所得旋转体的体积四、(本题满分12分)将函数 f (x) = arctan1 -2x1 2x二(-1)n ,一展开成x的哥级数，并求级数工()的和.n=0 2n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D=(x,y)0MxMn,0M

39、yMn,L为D的正向边界.试证:Ssinysinxxe dy - y e dx =_sin ysin x ,Lxe dy - ye dx.sinysinx22 2)xedy-yedx_2二.六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0:二r；1).问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

40、(注:m表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(-i,+=c)内具有二阶导数，且y'#0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.d2xdx3(1)试将x=x(y)所满足的被分万程一2+(y+sinx)()=0变换为y=y(x)满足dydy的微分方程.3(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)=2的解.八、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零，. f(x2 y- z2)dv11 f (x2 - y2)d。F (t).f (xy )d；:D(t).J(x2)dx2222_222其中C(t)=(x,y,z)x+y+zMt,D(t)=(x,y)x

41、+y<t.(1)讨论F(t)在区间(0,+*)内的单调性.,八2(2)证明当tA0时，F(t)AG(t).九、(本题满分10分)322设矩阵A =232, P223010101,B=P,AP,求B+2E的特征值与特征向量001一.r*其中A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为11:ax2by3c=0,12:bx2cy3a=0,13:cx2ay3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.十一、(本题?茜分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品

42、放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题?茜分8分)设总体X的概率密度为f(x)=2e"0Lx-0其中e>0是未知参数.从总体x中抽取简单随机样本x1,x2，xn,记?=min(X1,X2,Xn).求总体X的分布函数F(x).(2)求统计量伊的分布函数F0(x).如果用的乍为9的估计量，讨论它是否具有无偏性2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为(2)已知f'(ex)=xe：且f

43、(1)=0，则f(x)=(4)欧拉方程x2 dydx2(5)设矩阵A = 1-0(3)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分xdy-2ydx的值为.+4xdy+2y=0(xa0)的通解为dx1 0_._2 0，矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩01阵，E是单位矩阵，则B=(6)设随机变量X服从参数为九的指数分布，则PX><_dX=二、选择题体题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)2一xo-x一.x把xt0时的无穷小量a=ccostdt,B=ftanUtdt,了=sintd

44、t，使排在后000面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A):,(B):,(C)；,(D)二(8)设函数“*)连续,且£'(0)>0,则存在$>0,使得(A) f (x)在(0,6)内单调增加(C)对任意的*三(0,6)有£(*)>“0)(B) f(x)在(6,0)内单调减少(D)对任意的x (-5,0)有f(x)f(0)QO(9)设£an为正项级数，下列结论中正确的是n1oO(A)若limnan=0,则级数£an收敛nF：n(B)若存在非零常数九，使得limnan=九，则级数工an发散nF：noO2(C)若级数zan收

45、敛，则limnan=0ni厂n1(D)若级数z an发散，则存在非零常数n 1九，使得nimnant t(10)设 f(x)为连续函数，F(t)= |dyj f(x)dx,则 F'(2)等于(A) 2 f (2)(B) f(2)(C) - f (D) 0(11)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把的第2列加到第3列得C ,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为-0(A) 1-0(B) 1：0-0(C)上0101-0(D) |1101(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关,B的列向量组线性

46、相关(C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的口(0<1),数u值满足PX >ua =",若 PX <x=0，则x等于(B) u1.：2(C) u=(D)U1_.(14)设随机变量Xi,X2，Xn(n>1)独立同分布，且其方差为仃2A0.令1 n,Y=、Xi,则ni4_ 2(A) Cov(Xi,Y) 一 n(B) Cov(X1,Y) - ；.-2n - 2 2(C)D(X1 Y)= c2 nn 1 2(D) D(X1 -Y)= 二2 n三、解答题(本

47、题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)2 224设e:二a:b:e，证明lnb-lna2(b-a).e(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地白瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注:kg表示千克，km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分I=j72x3dydz+2y3dz

48、dx+3(z2_1)dxdy,其中Z是曲面Z.22,一、.z=1x-y(z±0)的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程xn+nx-1=0，其中n为正整数.证明此方程存在，ft一正实根xn，并证明当Q01>1时，级数£x收敛.n=1(19)(本题满分12分)设z=z(x,y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=00i定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组(1a)XiX2IIIXn=0,(n-2)2x1(2a)x2|2xn=0,IIIIIIIIIIIHIIIIInx1nx2|l|(na)Xn=0,试问a取何值

49、时该方程组有非零解，并求出其通解(21)(本题满分9分)12-3设矩阵a=_14-3的特征方程有一个二重根，求a的值,并讨论A是否可相似对Ja5J角化.(22)(本题满分9分)11_1设A,B为随机事件，且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=,令4321, A发生，y = 30, A不发生；1, B发生，、0,B不发生求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布(2)X和Y的相关系数Pxy.(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为F(x,x1,x-1,其中未知参数P>1,X1,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本求:(1)P的矩估计量.(2)P的最大似然估计量2005年全国硕士研

50、究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)2X(i)曲线y=的斜渐近线方程为2x1，/、1(2)微分方程*丫'+2丫=*m*满足丫(1)=的解为9222,xyz1(3)设函数u(x,y,z)=1+匚+，单位向量n=71,1,1,则61218.3.n(1,2,3)(4)设Q是由锥面z=,X2+y2与半球面z=Jr2_x2_y2围成的空间区域，工是G的整个边界的外侧则jjxdydz+ydzdx+zdxdy=.工(5)设oq,如%均为3维列向量，记矩阵A=(%，0(2,OC3),B(0(1+(%2+OC3，%*21%2+4OC3,%

51、*3(%2+9%)，如果A=1,那么B=.(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,，X中任取一个数，记为Y,则PY=2=.二、选择题体题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设函数”乂)=吧1+ixn,则f(x)在(3,收)内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(X)的一个原函数，"M仁N"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A)F(x)是偶函数£f(x)是奇函数(B)F(x)

52、是奇函数uf(x)是偶函数(C) F(x)是周期函数之f(x)是周期函数(D) F(x)是单调函数 u f(x)是单调函数(9)设函数u(x,y)x-y= (x + y) +邛(x y) + V(t)dt ,其中函数 中具有二阶导数 冲具有一阶导数，则必有.2. 2二 u二 u(A) )-jx2Z- 2. u (B) ；x2；2u-y2(C) 一 =:x yjy.2. 2二 u: u(D) 一 =；x.y；x(10)设有三元方程xy2仙丫+6*=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z = z(x,y)(B)可确定两个具

53、有连续偏导数的隐函数x = x(y,z)和 z = z(x, y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y = y(x,z)和 z = z(x, y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x = x(y,z)和 y = y(x,z)(11)设九，%是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为的，a2,则(A) ' 1 L，- 0%,A(伪+总线性无关的充分必要条件是(D) 2 =0(B) 2=0(C) 1=0(12)设A为n(n之2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B.A , B分别为A, B的伴随矩阵，则、 一 一 一 *(A)交换A的第1列与第2列得B、. * . . *(B)交换A的第1行与第2行得