反比例函数K的几何意义专题

1、反比例函数 K的几何意义专题一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如 比较函数值大小，求对称点坐标等）k ,重点掌握反比例函数 y = （k。0）中的比例系数k的几何意义。x二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现,反比例函常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。本次

2、专题目的在于并熟让学生掌握反比例函数 k几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题,悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路。三、授课内容：1 .反比例函数的概念ky （k = 0）如图所示，过双曲线x上任一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线PM PN,垂足为 M N所得矩形 PMON勺面积S=PMPN=|y| ,|x|.k y = , xy = k, S 斗 k |。 x|k| 。这图中三角这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数是系数k几何意义，明确了 k的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考,形OEF的面积和系数k的关系。2 .反比

3、例函数的图象在用描点法画反比例函数y=K的图象时，应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1x开始对称取点.例题1 （2003 三明）函数y= - -（x>0）的图象大致是xy-xOy()例题2 （2003 -宜昌）函数y=kx+1与函数ky= 在同一坐标系中的大致图象是yOyOy(3 .反比例函数y= x中k的意义注意：反比例函数y=- (k W0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=K(kw0)上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为| k .4 例题1：如图，p、C是函数y = -(x>0)图像上的任意两点，过点 P作x轴的垂线 xPA,垂足为A,过点C作x轴的垂线CD,

4、垂足为D,连接OC交PA于点E,设POA的面积为S1,贝U S1=, 梯形CEA曲面积为S2,贝U S1与S2的大小关系是 S1 S2,POE的面积S3和梯形CEAD勺面积为S2的大小关系是 S2 S3.例题1图例题2图例题3图k例题2:如图所不，直线l与双曲线y = k(k >0)交A、B两点，P是AB上的点，试比x较NAOC勺面积S1, NBOD勺面积S2, NPOE的面积S3的大小： 。k ,例题3 :如图所不，点A(x1,y1) 、B(x2,y2)都在双曲线y=(x>0)上，且 xx2-x1=4,y1-y2=2; 分别过点 A、B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C D、E、F

5、, AC与BF相交于G点，四边形 FOCG勺面积为2,五边形 AEODB勺面积为14,那么双曲线的解析式 为。4 .常考题型精选1 .如果x >x,且kp <0,那么，在自变量x的取值范围内，正比例函数y = kx和反比例一5 k .2 .直线y = X十_ m与双曲线y =相交于第一象限的点 A,与x轴交于点C, AB，x轴于点 6xB，若 S浅OB =3,则 S&OC =.3 .如图，在X轴的正半轴上依次截取OA = AA2 = a2A3 = A3A4 = A4A5 ,过点A、A2、A3、A、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2(x=0)的图象相交于点xP、P2、P3

6、、P4、B，得直角三角形 OP%、AP2A2、A2P3A3、A3P4A4、A41P5A5,并设其面积分别为§、&、&、S4、则&的值为.k ,4 .如图，已知点 A B在双曲线y=_(x>0)上，AC±x轴于点C, BD)± y轴与点D, AC与 xBD交于点巳P是AC的中点，若力ABP的面积为3,则k= .k八5 .如图已知双曲线 y = (k <0)经过直角三角形 OAB斜边OA的中点D,且与直角边 AB相交 x于点C,若点A的坐标为(-6, 4),则NAOCW面积为。-126 .如图，A B为双曲线y= 上的点，AD

7、77; x轴于D,BC y轴于点C,则四边形 ABCD勺x面积为。第5题k ,7 .如图，已知双曲线 y =(x >0)经过矩形OABC& AB的中点F,交BC于点E, (1)若四 x边形OEBF勺面积为4,贝U k=; (2)若梯形OEBA勺面积为9,贝U k=。k .8.如图，已知双曲线y= (k>0)经过直角二角形 OAB斗边OB的中点D,与直角边AB相交 x与点Co若力OBCW面积为3,则k=。5.课后练习：k -11 .反比例函数y=与一次函数y =k(x+1)只可能是(A)2题图(D)2 .正比例函数y = kx和y = ax(a > 0 )的图象与反比例

8、函数k .y= (k>0)的图象分别相交 x于A点和C点.若RtAAOB和RUCOD的面积分别为S1和S2，则§与S2的关系是23 .在反比仞函数y=(x>0)的图象上，有点P1, P2,xF3, R,它们的横坐标依次为1,2, 3,4 .分别过这些点作 x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 8b S2, S3,则 S+S2+S3=一2 c4.反比例函数y = (3m-1k 的图象所在的象限内，丫随乂增大而增大，则反比例函数的解析式是()(A) y = 4(B)y = 4(C) y = 4 或 y= - 4(D)不能确定xxxx5 .如图9,已知正方

9、形OABC的面积为9,点O为坐标原点，点 A在x轴上，点C在y轴k .上，点B在函数y=_(kA0,x0胆图象上，点P(m,n )为其双曲线上的任一点，过点 P x分另IJ作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F ,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(1)求B点坐标和k的值；.9_(2)当S =一时，求P点坐标；2(3)写出S关于m的函数关系式.O, A E 工k6 .如图8,直线y =kx十b与反比例函数 y = ( x <0)的图象相交于点 A、点B,与x X轴交于点C,其中点A的坐标为(一2, 4),点B的横坐标为一4.(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求 AO

10、C勺面积.7 . (09北京)如图，A B两点在函数y=m(x>0即勺图象上.(1)求m的值及直线AB的解 x析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数。k8 .已知：如图，正比例函数 y =ax的图象与反比例函数 y=的图象交于点 A(3,2 x(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当X取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3) M (m, n)是反比例函数图象上的一动点， 其中0 <m <3,过点M作直线MN / x轴, 交y轴于点B ;过点A作

11、直线AC / y轴交x轴于点C ,交直线 MB于点D .当四边形 OADM的面积为6时，请判断线段 BM与DM的大小关系，并说明理由.反比例函数中k的几何意义及应用研究函数问题要透视函数的本质特征。ky = /口)反比例函数 x 中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数发图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PMPN垂足为M N (如图1所示)，则矩形PMONJ面积 S=PM PN=|y| . |x|=|xy|=|k|一 X所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与 x轴、y轴所围成的矩形面积it-1s通吃=*心吊。=二为常数微|。从而有2O在解有关反比例函数的问题时，若能

12、灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。应用一：比较面积大小1一，一y=a , 一 、，、一”工，例1、如图2,在函数 x (x>0)的图象上有二点 A、B Co过这二点分别向 x轴、y轴作垂线。过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 $£向品,解：根据反比例函数中k的几何意义可知二tSB = 1,SC = 1 o所以句:=0c。故选Do应用二：求面积例2、若函数y = kx(k>0)与函数, X的图象相交于A C两点，AB垂直x轴于B,则 ABC的面积为()。A 1B、2C、kD、k2分析：如图3,若先求出 A C两点的坐标，再求 ABC的面积，则解题过程复杂烦琐。若能利用反比例函数中 k的几何意义来解，则快刀斩乱麻。图3解：由反比例函数图象关于原点成中心对称知。为AC中点。根据反比例函数中 k的几何意义，有：22。1匕ABO与 BOB等底等高的三角形,S/lASC = 2 K - = 12。