江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)

1、江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）、填空题（每小题 5分，共50分）后将 y sinx sinx1 .函数3（其中x万）的反函数为2.当x 0时，3x 4sinx sin xcosx x与xn为同阶无穷小，则 n3.在x 1时有极大值6,在x 3时有极小值2的最低哥次多项式的表达式是nm、n/、 d (1 x )p(1)p(x) n-4设dx , m，n是正整数，则2 x cos(x2)sin xdx5. 2x 2d2x6.若函数x x(t)1etdt°所确定的隐函数，则不y7.已知微分方程（特解yx 2z8.直线 y 1绕z轴旋转，得到的旋转面的方程为V9

2、.已知a为单位向量,a 3b垂直于7a4b垂直于7a 2b ,则向量a、b的夹角为lim 1n10.122n222n2n2n二、（7 分）设数列an满足an2, an 1小，n 1,求 niman。0，其中 b a 。b(x c) cos(x c)( 7 分)求 c 的值，使a2222( 12 分) 求由曲面x y cz,x y22a , xy b 和 z 0 所围区域的体积（其中a,b,c为正实数）。五、（12分）一点先向正东移动 am,然后左拐弯移动aqm （其中0 q 1）,如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q 倍， 这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米

3、？20 f(x)dx六、（12分）已知f（x）在0,2上二次连续可微，f（1） 0,证明M其中max江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）、填空题（每小题 5分,50分)1 11nm = I .14n14n 2n(t1)cosz2.设z是由方程组tsinz确定的隐函数，则3xn2) cos-2f(x) (x3.设4.设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为yixxe cos2x,则通解为Ax By5.平面 3Cz0(C0）与柱面2 y_ b2(A,B0）相交成的椭圆面积为r r6.已知a, b是非零常向量r r2 (a,b)r ra xblim，则x 0207.1 (c

4、ot x)28.椭球面x2 y2 4z2 1与平面x y z J7 0之间的最短距离为二、（8分）试比较 与e的大小。2三、（10分）已知a，b满足a围区域的面积的最大值与最小值O四、（10分）设区域D :.1lim f(x, y)dxdyt 0 2 D五、（10分）求不定积分x dxf(0,0)b),求曲线y xax与直线y队所六、（10分）通过线性变换t2,(t0),f（x，y）在D上连续。求证:1 xcosx ,-dxx(1 xesinx)x ay,2_ux by将方程x2化简成0求a,b的值。七、（12分）已知f（x）在0,1上具有二阶连续导数，且f（0）f（1） 0, f（x） 00

5、证明：(x)dx 4 max f (x)o江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题（有改动）lim 1 x 0 x sin x、填空题（每小题 5分，共40分）limsin( x) tan3xx 6.6，贝U a2.若 f(x) x(2x 1)(3x 2)(100x 99)，贝qf(0)113.已知当x大于2且趋向于2时,1 ba（x 一）-3arccosx与 2 为等价无穷小，则a , b .23人 xe dx4.1x 2y 3z 25.直线6.设 与 均为单位向量，其夹角为 面积为.则以+ 与 +为邻边的平行四边形的2x y z 3在平面z 1上的投影为直线L,则点(1

6、,2,1)到直线L的距离为dd2一7 .设当 x 0时一f(sinx) f2(sinx), f(0) 0,则f (0) .dxdx/、33lim )8 .设函数yy是由x y 3axy 0(a O)确定，则x x 二、(10分)x x ,x 0y f (x)设0 ,x 0 ；讨论f(x)的连续性，求单调区间、极值与渐近线。三、(10分)设f(x)=x 2(x 1)2(x 3)2.(1)体科三级考生彳试问曲线yf(x)有几个拐点，证明你的结论(2)(专科考生做)试问f (x) 0在区间(0,3 )上有几个实根，证明你的结论四、(10分)若f (u)是连续函数，证明0 xf(sinx)dx=xsi

7、nx , 一f (sin x) dx,并求 2厂 dx.2 00 3sin2 x 4cos2x五、(10分)设f (x)在区间0,1上可积，当 0 x<y 1 时,|f(x)-f(y)| |arctanx-arctany|,又f(1)=0,-11求证：|°f(x)dx| 31n2.六、（10分）x 3y 1 0y z 2 0相交的直线方x y 0Li：求过点（11,9，0），而与两直线x y z 4 0程。七、（10分）aAAf（x y）dxdy A f（t）（A t）dt,D:x -, y -设f连续函数，求证 d22江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试

8、题（有改动）一、填空题（每小题 5分，共40分）.T2： x2 .函数 f(x)=3x3 .设 f(x)=S,"0，则4 .（本三考生做）设变量x,y,t满足的不可导点的个数为31 f(x 2)dxy=f(x,t)及 F(x,y,t)=0,函数f, F的一阶偏导数连续，则dy dx.1 lim 一 x0.（专科考生做）设刈的导数连续，且f （0） =0,则 x10 f (xt)dt2x z（本三考生做）已知直线l过点M（1, -1, 0）且与两条直线L ： x y 3zl2 :x 2 t,y 1 4t,z 3 垂直，则l的参数方程为6.ln x dx7.f(x)设2n 12,x ax

9、 bx ,lim 2n (nn x 1N) lim f (x)与 lim，极限x 1x 1f（x）都存在.，则8.设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f （a） 2,g（a） 3（a 0）(a) g ( a)lim sin（二、（9分）求n n2 n)limx 01.x( 9 分) 为正常数，使得不等式x e 对任意正数x 成立，求的最大值.''四、设函数f (x)在a,b上二阶可导，对于a,b内每一点x, f(x)f (x) 0,且在a,b的子区间上f(x)不恒等于零.试证f(x)在厉中至多有一个零点2五、(9分)设连续函数f(x)满足f(x)=x x130f(x)dx

10、x2、0 f(x)dx,求f(x).六、(9分)设f(x) x x (x表示不超过x的最大整数)，1 x lim - f(x)dx 求极限x x 0。七、（9 分）有形状为直角角形的薄铜片，其密度f（x,y） k（1 x 2y）,x 0,y 0,1 x 2y 0k为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点 A, B, C, D为正方形四个顶点。江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题（有

11、改动）、填空题（每小题3分，共15分）d q 1 i丁 f (x ) -，则 f (x)1.已知dxx2.1lim(tan x)lnx3.一 dx14.设z z（x, y）由方程F x y, y z,z x0所确定，F为可微函数，则5.aaf(x) f(ax)sin xdx二、选择题（每小题3分，共15分）f(x)1.函数2xex(x11）的可去间断点为A、x 0,1B、C、D、无可去间断点2.改变积分次序10dyy1 f(x,y)dxA、1dx1C、1dx0f(x,y)dy1 x-.1rf(x，y)dyB、D、3.设f(x)可导，F(x) f(x)(1A、f (0)C、f(0)f (0)4.

12、若xf(x0，%), -y0dx11dx1A、C、5.A、C、,r-x0 f(x,y)dy1 xf(x，y)dysinx),欲使 F(x)在 x（x 40）都存在，则连续且可微可微但不一定连续f (x, y) e2x(x2y 2y）在点B、D、f(0)f(0)f(x,y)在 x0,y。是(1 2,1dx01 x0 f(x,y)dy0处可导，则必有f (0) 0B、D、处取（连续但不一定可微不一定可微也不一定连续e极大值 2不取得极值limx 0三、（8分）设ln(1 x) (axx212e dt0B、D、bx2)dxx(ln x)2e极小值2极小值e,求常数a,by四、(6分)设z (1 xy

13、) ,求dz(1,1)。五、(6分)设f(x)，g(x)在a,b上连续，在(a，b)内可导，且对于(a，b)内的一切x均有f(x)g(x) f(x)g(x) 0,证明：若 f(x)在 (a,b)内有两个零点，则介于这两个零点之间，g(x)至少有一个零点。六、(6分)计算二重积分 D12 1|y x | dxdy,其中积分区域D: x 1,0 y 2.2/2、七、（8分）过抛物线y x上一点（a，a ）作切线，问 a为何值时所作切线与抛物线 yx2 4x 1所围成的图面积最小？22八 F（x）八、（6分）当X 0时，（X2 t2）f（t）dt - 20九、（8分）计算(11x2)(1 Xdx2)

14、的导数与x为等价无穷小，求f （0）。y 2x y x 3十、（8分）求两直线z x 1和z x之间的最短的距离。卜一、(6分)5x x ,-dx求x 1。十二、(8分)设f (刈在(，)上连续，且满足f(t) 22 x(x2 y2)f(.x2 y2)dxdy t4t2,求 f(x)。江苏省第六届(2002年)高等数学竞赛 本科三级，民办本科竞赛试题一、填空题(每小题 5分，共40分)x 沃e e一，1 .设 lim；- c(c 0),贝1J k ,cx 0 xk 2 .设f(x)在1,+)上可导，下列结论中成立的是 .a.若jmf (x)0,则f(x)在i,+)上有界B.若limf (x)0

15、,则f(x)在1,+)上无界x +C.若 lim f (x)=1，则 f(x)在1,+)上无界x +3 .设由 e y x(y x) 1 x确定 y=y(x)，则y (0) .4 . (arcsinx arccosx)dx .5. dx .4 .x(1 x)26.zf(Y) g(ex,sin y), f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，则xx y13 x7 .交换积分次序0dx x2 f(x, y)dy .8 .函数f(x,y)=2x-y+1满足方程x2y25的条件极大值为,条件极小值为二、(8 分)ba设f(x)在0,+ )上连续且单调减少，0 a b,证明：aaf(x)dx b0 f(x

16、)dx.三、(9分)设 f(x)=kx+sinx.若k 1,求证：f(x)在(-,+ )上恰有一个零点；若0<k<1,且f(x)在(-,+ )上恰有一个零点，求常数k的取值范围.四、（8分）求”1 sin x , dx.cosx五、（9分）f(x,y),1yarctan-22 ,(x,y) (0,0)x y，"，6 （0，0），试讨论 f（x,y）在点（0,0）处的连续性、可偏导性与可微性。六、(8分)d2z设z f(x,y),x(y), f的二阶偏导数连续，可导， (y求全导数 一2.dx七、(9分) 设f(u)在u=0可导，f(0)=0,D:x2 y2 2tx, y

17、0,求 Jm 4 f (JX2y2)ydxdyt ° t Do八、（9分）|sin(x y)|dxdy,D:x 0, y 0,x yD江苏省第七届（2004年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题填空题（每小题5分，共40分）4.limn1 n24_1_n2 161.n2 4n22.limx1 xarctanxx23.若xk0时，x Sinxcosxcos2x与cx为等价无穷小，贝U c4.ln 1 x ,则 n 4 时，f5.设函数,x arctan 一y,则也1, 16.7.sin xcosx2dx cosx xsin xaf x f x sin xdxa8.设 D:0 x其他

18、y dxdy二、（10分）设f x在a,b连续，在a,b可导;a,x dx-b22证：在a,b内至少存在一点u ,使得1。22三、（io分）设D:y x 4，y x，x y 2，x y 4.在d的边界y x上任意取点p,22设P到原点的距离为t,作PQ垂直于y x交D的边界y x4于Q。求：1）将P，Q的距离PQ用t表示；2）将D绕v x旋转一周所得立体的体积。四、（10分）设f x在 ，上有定义，f x在x 0处连续，且对一切实数xi，x2有f x1 x2f x1f x2 ,求证：f x在 ，上处处连续。kx 1 1 0 八五、（10分）设k为常数，方程 x 在0,上恰有一根，求k的取值范围

19、。六、（10 分）设 f x，y 可微，f 1，21，fx 1,22, fy 1,23'x f f x,2x ,2 f x,2x .求 12 1e 2d20 d七、（10分）求° 土江苏省第八届（2006年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题二、 填空题（每小题5分，共40分）1222n2lim nr nvi.x it2o lxm 0 - 1dtlim x2 3x 2 ax b3.若x0,则a 2 sin x"f x 1 x x e 贝（jf05 .设函数由x zey z确定，则dze，0 .6 .函数f x，y exax b y2中常数a，b满足条件 时，f

20、1,0为 其极大值。2ex e 1dx 1 f x, y dy7.交换二次积分的次序 1 x.1 .dxdy2 2228.设 D: 2x x y 0 y x 2 则" X y.导数连续，但二阶导数不存在？fx（ 8 分）设2axbsinxln 1 x ,c, xx00问：a，b，c为何值时，函数在x0处一阶（ 9 分）过点1,5 作曲线: yx3 的切线 L 。旋转一周所得立体的体积。求：1） L 的方程；2） 与 L 所围平面图形D 的面积；3） D 的 x0部分绕x 轴四、（8分）设f x在区间0,上有连续的导数,证明:0,五、（8分）1 arctan x02 2求 1 xdx六

21、、（9分）2设圆柱面xy2 1,z 0被柱面z2x 2x 2 ,及平面z 0截下的部分为。为计算 的面积,用铁片制作了的模型,A 1,0,5 , B 1,0,1 ,C1,0,0为上的使得D位于x轴三点，现将 沿线段BC剪开并展开为平面图形 D。建立平面直角坐标系,的正上方，且点A1,0,5的坐标为0，5。求：1） D的边界方程;2）求D的面积。七、（9分）用拉格朗日乘数法求函数f x，yx2 J2xy 2y2在区域x2 2y2 4上的最大值与最小值。八y x;x -;y八、（9分）设D为20所围的平面图形，求 Dcos x y dxdyo1、2、3、江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三

22、级竞赛试题填空题（每小题5分，共40分）limxlimn4、常数aax2xbx xarctanx100的阶数最高.5、5.22 sin x03 cos6、2x2 x2 dx7、8、设D:由y二、（8分）设数列xdxnZn则yx, x 02,1xn为:x1f x时，axx1 bx在x0时，关于x的无穷小arctanydxdy1所围,则D1,xn 1"6xn；求证：数列xn收敛，并求极限。（ 8 分）设 f x 在区间 a,b 上连续，bf x dx 0a证明：存在a,b ,使得f x dxa四、（8分）将xoy平面上的曲线x b222y a , 0 a b 绕直线 x 3b旋转一周所得立体的体积。2-22 x y0,00,0讨论f x,y在0,0处的连f x v x y2 x, yf x，yx y五、（8分）设0x，y续性，可偏导性，可微性。.2.2六、（10分）已知曲面4x 4yz 1与平面z x y 0的交线在xoy面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积x 2y 2z 1七、（8分）在平面：x 2y z 20内作直线，使过另一直线L ： 3x y 4z 3与平面 的交点，且 垂直于L.求直线 的参数方程.22 大 c&y2 1 dxdy八、（10 分）设 D