求函数定义域及值域方法及典型题归纳

1、完美WORD格式一 求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1 .函数的定义：设集合 A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)与之对 应。则称f:为A到B的一个函数。2 .由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系( f ),集 合A的取值范围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围y|y=f(x),x£ A。3 .定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的 是：(1)自变量放在一起构成的集合，成为定义域。(2)数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一 个个的数

2、时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”4 .值域：是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果，是个被动变量， 所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1)明白值域是在定义域 A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),x C A。(2)明白定义中集合 B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为 0;表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0

3、 (非负数)。表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为 0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有 x,必须满足指数底数大于0且不等于1. (0底数1;底数1)表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于 0,且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.(f (x) =logx(x2 -1)注：(1)出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化

4、。(形2如：f (x) = ) x2.抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：(1)给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；(2)在同一个题中x不是同一个x;(3)只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例1:已知f(x+1)的定义域为-1,1,求f (2x-1 )的定义域。解：f(x+1)的定义域为-1,1;(及其中x的取值范围是-1,1)- 0<x+1<2 ;(x+1的取值范围就是括号的取值

5、范围)f(x)的定义域为0,2 ; (f不变，括号的取值范围不变) .f(2x-1)中0<2x-1 <21 3-x -2 2八、.13f(2x-1)的定义域为 x| <x < - 5223.复合函数定义域复合函数形如：y = f (g(x),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例 2.若函数 f(x)的定义域为(2,3), g(x) = f(x+1)+f(x 2), 求g(x)的定义域。分析：由题目可以看出 g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来 的新函数。此时做加运算，所以只要求出

6、 f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根 据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为(-2,3 ),则f(x+1) 的定义域为(-3,2 ), f(x-2)的定义域为(0,4);工3 :二x 2 二 W,解得 0Vx<20 ： x 二 4所以，g(x)的定义域为(0,2).(二)求定义域的典型题1.已知函数解析式(1)求下列函数的定义域10f(刈4不;f(x)Ex，x 2211-2“刈玉-1)；(5)f(x)= iog“(x+(2)求下列函数的定义域lg(x-2),1 -2x(1)f(x)=；(2) f(x) =r

7、；x-1x-12x -11 f(x)= ；(4)f(x)= 21 - l0g 1 x-6 -x - x:2(3)与函数定义域有关的问题题若函数f(x) =2 一2x (2 m 1)x m的定义域为R,求实数m的取值范围。函数y =qkx2 2kx + k +6的定义域为R,求k的取值范围。函数f (x) = Jmx2 6mx + m +8的定义域为 R求m的取值范围。2 .求抽象数定义域1若函数f(x)的定义域为(-2,6 ),求f(,x1)的定义域。若数f(x)的定义域为0,2,求函数g(x)=上(2的定义域。x -11若数f(x-1用定义域为-1,2,求函数g(x)= f(x + 2)+-

8、=的 ,3x 7定义域。 1右函数 f (x)的止义域为0,1, g(x) = f (x+a) + f(xa),( a « ),2求函数g(x)的定义域。若 f (x) =loga(x +1),g(x) =loga(1 -x) , (a >0,且a*1),令F (x) =f(x)-g(x), 求 F (x)的定义域。二、求函数值域(一)求函数值域方法和情形总结1 .直接观察法(利用函数图象)一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。2 .配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内(以 a<0为例)，

9、此时对称轴的地方为最大值，定 义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：(1)含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论 a; (2) a不为0时，讨论开口方向；(3)注意区间， 即讨论对称轴。例1：求f(x)=x24x+6在1,5上的值域.解：配方:f (x) =(x -2)2 2f(x)的对称轴为x=2在1,5中间ymin =f(2) =2(端点5离x=2距离较远，此时为最大值)ymax = f (5) =11所以，f(x)的值域为2,11.3 .分式型(1)分离常量法： 应用于分式型的函数，并且是自变量 x的次数为1,或 是

10、可以看作整体为 1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去， 观 察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为y = a + d。bx c例2:求f (x) = .1的值域.4x 2510(4x 2) -1 - -匚 75x-14、4457解：f (x) = 44 =4x 2 4x 24 2(4x 2)由于分母不可能为 0,则意思就是函数值不可能取到5 ,45即：函数f(x)的值域为y | y。5.4跟踪练习：已知f (x) =ax2 +4(a+1)x 3(x w(0,2 )在x=2处有最大值,求a的取值范围1,2,(2)利用x2至0来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现x2形式

11、，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法(有界变量法)。一 一，3x2 -1 -例3：求函数f (x) = 3x-1的值域.x2 2解：由于x2 +2不等于0,可将原式化为2_ 2yx 2y =3x T22即(y -3)x =-1-2y (由于 x >0)只需y #3,则有x2 二 -1 -2y -01- r(y-3) (-1-2y)_0y 3所以，函数值域y-,3 .一 2(3)方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量 x又出现x2混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。. .

12、一一 2x 例4:求函数y =的值域x2 1解：由于函数的定义域为 R,即X2 1-0原式可化为yx2 - 2x y = 0（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个 x会使得上述方程有 实数根，即方程有根那么判别式大于或等于 0,注：这里只考虑有无根，并 不考虑根为多少）所以，=4-4y2_0所以，函数值域为 y1-1,1 1跟踪练习：求下列函数值域若y =log1 _y2x(2)y =- 2(3)1 x11 x2x 2-2 Z Zx 3x 6-2丁丁的定义域为R,值域为0,2 ,求常数m,n的值（m=n=54.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注： 换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5:求函数f（x）=2x 次二1的值域解：令t = jx二1,t至0,则*=/+1 ,带入原函数解析式中得_2_2_1 2 15y =2(t2 1