北京市海淀区高三一模文科数学试卷含答案

1、海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷(文科)本试卷共4 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合 A= x z| 2 x 3 , B= x| 2 x 1 ,则 AI B=()A2, 1,0 ? ? B 2, 1,0,1 ? ? C x| 2 x 1 ? Dx| 2 x 1r rrr2、已知向量 a (1,t),b (t,9),右 aPb,则 t =()A 1? ? B 2? ? C 3

2、?D 43.某程序的框图如图所示，若输入的z=i (其中i为虚数单位)，则输出S 值为()A. - 1 B.1 C.I D.ix y 24.若x, y满足x y 4 y 0010,则z - x y的取大值为（25.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）2.32.636、已知点P（x0,y。）在抛物线W4x上，且点P到W勺准线的距离与点P到x轴的距离相等，则xo的值为（A. 1 B . 1 C . 3 D . 2 227 .已知函数f(x)sin(X a)，X 0,则“ 一”是“函数f(x)是偶函数的cos(x b),x 04()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不

3、充分也不必要条件8 .某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是()机募1 -4三因五甲151714171$ 12223212Q29再9口3P 14 |12_10工79119111315141511A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D.获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 .函数y J2x 2的定义域为10 .已知数列an的前n项和为Sn,且Sn n2 4n ,则a?阚=.2211.已知l为双曲线C:

4、。4 1的一条渐近线，其倾斜角为 一，且C的 a b4右焦点为(2,0),点C的右顶点为 ,则C的方程为.-1112 .在1,23.109 32这二个数中，最小的数是 213 .已知函数f(x) sin(2x ),若f() f( 5-) 2,则函数f (x)的单调 1212增区间为14 .给定正整数k2,若从正方体ABCD-ABQD的8个顶点中任取k个顶点， 组成一个集合M= X1,X2,gg,Xk ,均满足 Xi, Xj M , Xs,Xt M ,使得直 线XiXj XsXt,则k的所有可能取值是 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程.15 .(本小题满分1

5、3分)在 ABC 中，/ C= 2-, a 6. 3(I)若 c=14,求 sinA 的值；(II)若 ABC勺面积为3百，求c的值.16 .(本小题满分13分)已知数列an是等比数列，其前n项和为满足S2 a1 0, 83 12。(I)求数列an的通项公式；(II )是否存在正整数n,使得Sn 2016?若存在，求出符合条件的n的最 小值；若不存在，说明理由。17 .(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABC冲,PZ平面ABCD四边形ABCD；正方形，点M ,N分别为线段PB, PC上的点，MNL PB.(I )求证：平面PBCL平面PAB ;(II)求证：当点 M不与点P , B重合时，M

6、 N /平面ABCD(田)当AB= 3, PA= 4时，求点AgiJ直线MNE离的最小值。BC18 .（本小题满分13分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采 取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名 同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎 叶图如图所示。（I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;（II ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 试比较s2与城的大小（只需直接写出结果）（III ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素

7、养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）女5 667 0 6 98 7 819 .（本小题满分14分）已知椭圆C: 匕1（a b 0）的离心率为 立，椭圆C与y轴交于A , B a b2两点，且| AB| =2.(I )求椭圆C的方程;(n )设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA, PBt直线x= 4分别交于M , N两点.是否存在点P使得以MN为直径的圆经过点(2,0) ?若存在，求 出点P的横坐标；若不存在，说明理由。20 .(本小题满分13分)已知函数f (x)=Lxe(I)求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n )求函数f (x)的零点和极值；

8、(田)若对任意xi,x2 a,),都有f(xj f(x2) 4成立，求实数a的最小 e值。海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(文科)阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题(本大题共 8小题,每小题5分，共40分)题号12345678答案ACDCABAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分,第二空2分，共30分）9.1,)10 .22211.(72,0),22yL112. 1 255 7rtt13 . k,一 k 句,k Z121214. 5, 6, 7 8说明：1.

9、第9题，学生写成x 1的不扣分2 .第13题写成开区间（2k砥工k,k Z的不扣分， 1212没有写k Z的，扣1分3 .第14题有错写的，则不给分只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之 下给1分写出5, 6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.解：(I )方法一：在ABC中，因为号展sinA sinC614即 sin A 32所以sin A3.314方法二：过点B作线段AC延长线的垂线，垂足为,.一2 5r一.斤因为BCA一,所以BCD33在 Rt BDC 中，BD BC 373 2在 Rt ABD 中，s

10、in aBD 3.3AB14(n)方法因为SABC-a b sinC.2 所以362 6手b,解得b 2.又因为 c2 a2 b2 2a b cosC.1所以 c2 4 36 2 2 6 (), 2所以c 辰 2M.方法二：过点A作线段BC延长线的垂线，垂足为 D._一 -2 5T斤因为ACB ,所以ACD -1 _ _ 又因为Sabc BC AD,2即 3 .3 6 AD2，所以 AD ,3 , CD 1.在Rt ABD 中，ab2 bd2 AD2.所以 AB .52 2 . 1316.解:(I )设数列an的公比为q ,因为 S2 al 0 ,所以 2al a1q 0.因为a1 0,所以q

11、 2,又因为a3 a1q2 12,所以ai 3,所以 an 3 ( 2)n1 (或写成 an3 ( 2)n)2说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给 2分（由因为S3 1 ( 2)n1( 2)1 ( 2)n.令 Sn 2016,即 1 ( 2)n2016 ,整理得（2）n2015 .n 为偶数时，原不等式无解；当 n 为奇数时，原不等式等价于2n 2015，解得 n 11，所以满足Sn 2016的正整数n的最小值为11.17解：（I）证明：在正方形 ABCD中，AB BC .因为 PA 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，所以

12、 PA BC .又 AB I PA A， AB,PA 平面 PAB，所以BC 平面PAB .因为BC 平面PBC , 所以平面PBC 平面 PAB .（II）证明：PB .由（I ）知， BC 平面PAB, PB 平面PAB,所以BC在PBC 中，BC PB ， MN PB ， 所以MN /BC ，又 BC 平面ABCD ， MN 平面 ABCD ，所以 MN ABCD（田）解：因为MN/BC,所以MN 平面PAB, 而AM 平面PAB ,所以MN AM ,所以AM的长就是点A到MN的距离, 而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是 A到线段PB的距离,在Rt PAB中，AB 3,P

13、A 4,所以A到直线MN的最小值为12. 518 .解:（I）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为.56 79 76 7088 87x2 766（n）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差（田）设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A,男生按成绩由低到高依次编号为ai,a2,a3,a4,女生按成绩由低到局依次编号为b1, b2 ,b3,b4 ,b5, b6 ,则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法（a1,bi）, （a1，b2）, （aih）,（现儿），心），（为h），由），也），八）， 也）， 川，反），心)，dh), 也)，也)，片),后)，心)，电), 初)

14、, 也)，息),其中两名同学均为优良的取法有12种取法”2,引,(a?。), (a2,b5), 92也),(a3,b3), (a3,b4), (a3,bs) , (a3,b6), (a4,b2), (a4,b3), (a4,b4), (a4,b), (a4,bs)所以P(A)生1, 24 2即两名同学成绩均为优良的概率为1.219 .解：(I )由已知|AB 2 ,得知2b 2 , b 1,又因为离心率为史，所以 .2a 2因为a2 b2 c2,所以a 2,2所以椭圆C的标准方程为 -y2 1.4(n)解法一：假设存在.设 P(xo,yo) M (4, m) N(4,n)由已知可得 A(0,1

15、) B(0, 1),所以AP的直线方程为y包x 1, X。BP的直线方程为y X-x 1, Xo令X 4,分别可得m 4y1 , n空31 , x。X。所以MN m n2 8 x。线段MN的中点(4,四)， x。若以MN为直径的圆经过点(2,0),则(4 2)2 (4-y0 0)2 (1 )2, x。x。因为点P在椭圆上，所以x2 y。2 1,代入化简得1旦。, 4x。)所以xo 8 , 而x。2,2 ,矛盾， 所以这样的点P不存在.解法二: 假设存在，记D(2,。).设 P(xo,yo) M(4, m) N(4,n)由已知可得 A(0,1) B(0, 1),所以AP的直线方程为y yx 1,

16、XoBP的直线方程为y X-x 1,Xo令x 4,分别可得m4X04(y 1)X01,所以M(4,4(y 1)X01), N(4,4( y0 1)X01)因为 MN 为直径uuur uuuuDM DMuuiur DMuuirDN(2 4(y0 1)(2,X01) (2,4( y 1)X01) 0uuur uuir所以 DM DN 416y02 (4X0)22X00因为点P在椭圆上，所以2X042 y。uuuir uuir代入得到DM DN4x2 8X0 X022X08x0X02X0所以X0 8 ,这与x02,2矛盾所以不存在法三：假设存在，记D(2,0) ,H(4,0)设 Pd) M (4,

17、m) N(4,n)由已知可得 A(0,1) B(0, 1),所以AP的直线方程为y =x 1,X0BP的直线方程为y Sx 1, Xo令 X 4,分别可得 m 4(y0 1) 1 , n 4(y0 1) 1 , XoXo所以 M(4, 4(y0 1) 1), N(4,4(y0 1) 1) XoXo因为DH MN , 所以DH2 HN HM所以 4 |3 1| |3 1| XoXo222所以4=|16y2 Xo - I因为点P在椭圆上，所以 a yo2 1,Xo4代入得到4 |8-X|, Xo解得Xo 8或Xo 89当Xo 8时，这与Xo 2,2矛盾当x08时,点”在、轴同侧,矛盾所以不存在20

18、.解:(I )因为 f(x)0.所以 f(0)2.因为f(0) 1,所以曲线f(x)在(0,f(0)处的切线方程为2x y 1(II )令 f (x) = 0 ,解得 x 1 , e所以f(x)的零点为x 1 .由 f (x) J2 0 解得 x 2 , e则f(x)及f(x)的情况如下：x(,2)2(2,)f(x)0f(x)极小值12 eZ所以函数化)在* 2时，取得极小值-12 e(in)法当 x 1 时，f(x) Lx 0. e当 x 1 时，f(x) Lx 0.e所以工 e若a 1,由(n)可知f(x)的最小值为f(2), f(x)的最大值为f(a),“对任意 xi,x2 a,)，有 f(xi) f(x2)恒成立”等价于 f(2) f (a) e解得a 1.所以a的最小值为1.法二：当 x 1 时，f(x) 一 0. e当 x 1 时，f (x) x 0. e且由(n)可知，f(x)的最小值为f(2)4，e若a 1 ,令 2,x2 a,1),贝Ux1,x2 a,)而 f(x1) f(x2) f(x1) 0 f() f(2) 之，不符合要求, e所以a 1.当 a 1 时，xrx2 1, ) , f(xj 0,f(x2) 0所以 f(Xi) f(X2)f(Xi) 0 f (2)4,即 a 1 满足要