基于矩形网格追踪法的曲面主曲率等值线生成算法_图文

1、收稿日期:2008209227; 修回日期:2008211207基金项目:国家“863/CI M S ”主题资助项目(2007AA04Z139 ; 国家“十五”科技支撑计划项目(2007BAF27B02 ; 西北工业大学青年科技创新基金资助项目(W01622作者简介:张利(19842 , 男, 山东曹县人, 硕士, 主要研究方向为计算机辅助技术(alex198476g mail . com ; 王俊彪(19622 , 男, 教授, 博士, 主要研究方向为飞机数字化制造与集成制造技术、先进塑性成形技术、航空制造工艺与装备、管理科学与工程等航空制造与先进制造技术; 张贤杰(19762 , 男, 讲

2、师, 博士, 主要研究方向为计算机辅助塑性成形技术、航空制造工艺与装备.基于矩形网格追踪法的曲面主曲率等值线生成算法3张利, 王俊彪, 张贤杰(西北工业大学机电学院, 西安710072摘要:针对自由曲面在展开平面上的主曲率等值线生成问题, 提出一种基于矩形网格追踪算法的等值线生成算法。利用面积坐标方法将曲面上的点及其极值曲率映射到优化展开平面上, 在展开平面上采用遍历法得出等值点序列; 利用矩形网格追踪法将等值点序列划分为连续无交叉的开等值线或连续封闭的闭等值线。最后以直纹面、锥形面和自由曲面为算例分别对算法进行计算验证, 并与线性插值三角网格法进行对比。计算结果表明, 基于矩形网格追踪的等值

3、线生成算法具有计算速度快、精度高的特点。关键词:自由曲面; 主曲率; 等值线; 网格追踪中图分类号:TP391文献标志码:A 文章编号:100123695(2009 0823179203doi:10. 3969/j . issn . 100123695. 2009. 08. 113Generating algorith m of p L i, WANG Jun 2biao, Z HANG Xian 2jie(of M echatronics, N orthw estern Polytechnical U niversity, X i an 710072, China Abstract:This

4、 paper p r oposed a generati on algorith m f or p rinci p le curvature is olines of free surface based on rectangle meshtracking method . First, mapped points on the surface and the corres ponding curvatures t o op ti m al devel opment p lane . Then gained the point sequences of equivalent curvature

5、s by traversing method on the devel opment p lane . Partiti oned the point se 2quences t o continuing no 2cr oss open or cl osed is olines . Finally, tested and verified the algorith m with exa mp les of ruled sur 2face, cone 2shaped face and free surface, and compared with triangulati on linear int

6、er polati on method . The results show that the generati on algorith m is more efficient and accurate .Key words:free surface; p rinci p le curvature; cont our lines; mesh tracking在现代航空、汽车、船舶等工业生产中常有外形曲面为自由曲面的薄壁零件, 这些零件一般由平面板件经塑性加工成形而来。成形时需根据零件形状确定变形轨迹, 但由于成形件曲率比较复杂, 在平面板件上确定变形轨迹通常是相当困难的。主曲率是曲面的一个重要

7、几何性质, 可清晰地描述曲面的弯曲程度及弯曲走向。主曲率等值线能够比较直观地显示曲面在空间中的弯曲状态分布, 映射到平面板件上的主曲率等值线能够为薄壁零件变形分析和确定成形轨迹提供参考。等值线的生成有多种算法, 总体上可分为连续法和网格法两大类15。连续法是直接求出等值线的方程, 或计算得到等值线上关键点的坐标, 然后通过曲线拟合生成等值线, 其特点是生成等值线的精度高, 但算法复杂、通用性较差; 网格法是通过离散数据点将数据进行网格化, 并采用追踪算法进行等值线生成, 其特点是算法程序编制简单、追踪速度快, 但在由离散点到网格化的过程中会造成等值线精度的降低。本文结合两种方法的特点, 首先计

8、算得出按规则排列的曲面点及曲面在该点处的主曲率值; 然后利用映射算法得到包含主曲率信息的平面四边形网格, 并采用矩形网格追踪算法进行等值线生成, 最终得到自由曲面在展开平面上的主曲率等值线。等值点计算设空间参数化曲面r (u, v 具有2阶以上的连续偏导函数。p i , j (i =0, 1, , m -2; j =0, 1, , n -2 是曲面上的点阵, 其中p i , j 、p i +1, j 、p i , j +1、p i +1, j +1构成四边形, 如图1所示。设曲面在这些点处的极大(或极小 曲率值分别为C i , j 、C i +1, j 、C i , j +1、C i +1,

9、j +1。由于工程中通常需要在零件未成形时的平面状态分析对应成形件的弯曲状态, 本文首先采用面积坐标法6将空间曲面的点p i , j (i =0, 1, , m -1; j =0, 1, , n -1 映射到由优化展开算法得到的展开平面上7, 并将曲面上点的主曲率值C i , j 作为一种属性值赋予对应的平面映射点, 根据该值计算空间曲面r (u, v 在映射平面上对应的主曲率等值线。设通过上述曲面点映射过程, 得到有序平面点阵p i , j (i =第26卷第8期2009年8月计算机应用研究App licati on Research of Computers Vol . 26No . 8A

10、ug . 20090, 1, , m -1; j =0, 1, , n -1 , p i , j 及与其相邻的三个节点p i +1, j 、p i , j +1、p i +1, j +1组成四边形网格, 如图2所示。各节点p i , j被赋予其在空间对应点处的主曲率属性值C i , j 。设需生成极大(或极小 曲率值为C 的主曲率等值线。首先需要判断出等值点的位置。其算法为遍历网格中所有的 边, (设点p i , j 与p i , j +1组成的边为横向边l i , j +1, p i , j 与p i +1, j 组成的边为纵向边l i , j +1 , 若边上存在等值点则将等值点定位出来。

11、下面以横向边l i , j +1为例说明等值点计算的算法如下:a 边l i , j +1上两端点处曲率值为C i , j 、C i , j +1, (C -i j (C -C i , j +1 。b 若(C -C i , j -i , j , c 若(C -C i , j C -i , j +1 0, 则对曲率值等于C 的端点曲率值进行微调并回步骤a 。d 若(C -C i , j (C -C i , j +1 <0, 则边上存在等值点并采用下面方程进行等值点坐标计算: Cpx i , j =x i , j +(c i , j -c /(c i , j -c i , j +1 (x i

12、, j +1-x i , j Cpy i , j =y i , j +(c i , j -c /(c i , j -c i ,j +1(y i ,j +1-y i , j e 判定下一边。f 所有边判定完毕, 计算结束。这样就得到了所有横向等值点Cp i , j 。其中i 、j 为等值点所在边的序号。同理进行纵向边的等值点计算, 得到所有纵向等值点Cp i , j 。算法流程如图3所示 。等值线追踪所谓等值线追踪即为对于等值点计算得出的等值点序列Cp i , j 和Cp i , j , 按照一定的搜索规则将其中的等值点按照所属等值线依次提取出来, 最终得到与每条等值线对应的等值点列表。搜索的基

13、本步骤都是首先选择遍历起始点; 然后依次寻找该点所属边所属网格其他三个边中的等值点; 再从新的等值点出发寻找下一等值点直到网格边界或搜索起始点。根据等值线遍历的终点与起始点重合与否, 可将等值线分为闭等值线(终点与起始点重合 和开等值线(终点与起始点不重合 。1开等值线追踪开等值线等值点追踪的思想为, 首先找到等值线起始点, 起始点必在曲面网格的边界边上, 称为边界等值点, 如图4所示。假设起始点为Cp i , 0, 从Cp i , 0出发开始等值点遍历。遍历的规则为从起始点Cp i , 0所属网格出发, 找到该网格中其他三个边l i , 0、l i +1, 0、l i , 1中存在等值点的边

14、(假设为l i , 1 中的等值点Cp i , 1; 然后再从Cp i , 1出发进行下一等值点搜索, 依次直至搜索到的等值点为边界等值点。这样就完成了一条等值线的搜索, 如图4所示。然后再从下一边界等值点出发搜索, 直至等值点序列中没有边界等值点。开等值线追踪算法流程如图5所示。开等值线等值点追踪结束后, 等值点序列Cp i , j 和Cp i , j 中未追踪到的点均为闭等值线上的点, 下面对剩余等值点进行闭等值线追踪。1闭等值线追踪下面对等值点序列Cp i , j 和Cp i , j中剩余等值点进行开等值线追踪。追踪方法为从任意等值点Cp 出发, 按照开等值线搜索的方法进行搜索, 直至搜

15、索到起始等值点, 如图6所示。然后从等值点列表中剩余的等值点中选择任意点作为起始点开始下一闭等值线的追踪, 直至列表中所有等值点均被追踪完毕。闭等值线追踪算法流程如图7所示。经过开等值线和闭等值线的遍历, 得到一条或多条等值线序列, 将每条等值点序列中的点用三次B 样条曲线拟合即可得到光顺的等值线。通过改变C的取值可生成不同主曲率值的等值线, 完成整张曲面的主曲率等值线生成。 算例图8所示为直纹面A 1及锥形曲面B 1, 经过极小曲率计算、曲面点映射和等值线生成, 分别得到曲面在展开平面上的极小曲率等值线, 如图8(A 4, B 4 所示。 由计算结果可以看出, 直纹面A 1在展开平面上的极小

16、曲率等值线为相互平行的直线, 如图8(A 4 所示, 与曲面曲率分布图(A 2, A 3 相符。锥形曲面B 1在展开平面上的主曲率等值线为同心圆环, 如图8(B 4 所示, 与曲面曲率分布图(B 2, B 3 相符。图9(C 1 所示是某型飞机翼型曲面, 经过极大曲率值计算、曲面点映射和等值线生成, 得到曲面在展开平面上的极大曲率等值线, 如图9(C 4 所示。由计算结果可以看出, 翼型曲面C 1在展开平面上的极大曲率等值线的分布与原曲面极大曲率的分布是一致的。利用Surfer 软件的各种插值算法8对平面点阵数据进行网格化并生成等值线。其中效果最好的为线性插值三角网法(triangulati

17、on with linear inter polati on , 利用该算法生成的直纹面、锥形曲面和翼型曲面的线分别如图10(A 5、B 5、C 5 所示。从图10中可以看出, 本文所提出的等值线生成算法能够更为精确地反映曲面曲率的分布情况, 生成的等值线更为光顺, 并且在边界处没有出现图10(A 5、B 5 中的等值线集中现象。在计算效率上, Surfer 软件网格化(100×100网格 所用时间约为11s, 本文所用算法对100×100点阵进行20个曲率值的等值线追踪, 所用时间不超过1s, 效率较高。结束语基于矩形网格追踪法的等值线生成算法能够以较高的精度和效率计算生成展开平面上的主曲率等值线, 从而能够在展开平面上对空间曲面形状进行对应的弯曲状态分析。计算实例表明, 该等值线生成算法具有精度高、计算速度快的特点。参考文献:1张小望. 基于点的构网算法及等值线追踪方案设计J .测绘通报, 1998, 44(9 :21224.2刘永军, 范维澄, 姚斌. 绘制等值线的一种离散方法J .计算机应用研究, 2004, 21(8 :1262127.3成建梅, 陈崇希, 孙红林. 三角网格等值线自动生成方法及程序实现J .水利学报, 1998(10 :23226.4林毅, 金烨, 马登哲,