考研数学三-243_真题(含答案与解析)-交互

1、考研数学三 -243( 总分 150,做题时间 90 分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.设 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且则 x=1 是 f(x) 的?a. 不可导点?b. 可导点但不是驻点?c. 驻点且是极大值点?d. 驻点且是极小值点sss_simple_sinabcd分值: 4答案:c 考点导数、驻点、极值的定义与未定式的极限 解析先利用等价无穷小代换及四则运算简化未定式极限，再利用导数、驻点及极值的定义判定得结果22解：因为 f(x)在 x=1 连续，所以，由知，即f(1)=0 则当 x0， lnf(x+1)+1+3sin推得于是所以 x

2、=0 是 f(x)的驻点 又由，以及极限的保号性知x f(x+1)+3sinx，当时，即 f(x)0，也就是 f(x) f(1) 所以 f(1) 是极大值 x=1 是极大值点故应选 c2.设在区间 a ，b 上， f(x)0，f'(x) 0， f"(x)0，令则?* s2 s3?* s1 s3?* s1 s2* s3 s1sss_simple_sinabcd分值: 4答案:b 考点定积分的不等式性质及几何意义，曲线单调性及凹凸性的判定 解析首先判定函数的单调性及凹凸性，然后用定积分的不等式性质或几何意义即得结果解法一：由 f'(x)0，f"(x) 0 知曲线

3、 y=f(x) 在a ， b 上单调减少且是凹的，于是有于是而所以， s2 s1 s3 故应选 b解法二：利用定积分的几何意义因曲线 y=f(x) 在a ， b 单调减少且是凹的，如下图所示，由定积分的几何意义知曲 线 梯 形 abcd 的 面 积 ， s2=f(b)(b-a)=矩形 abce的面积，s3=f(a)+f(b)(b-a)=直边梯形 abcd的面积，又因矩形 abce曲边梯形 abcd直边梯形 abcd，所以 s2s1 s3故应选 b3.设函数 z=z(x ，y) 由方程确定，其中 f 为可微函数，且 f' z0，则 ?*?*?*sss_simple_sinabcd分值:

4、4答案:c 考点隐函数的偏导数 解析利用隐函数求偏导数的方法即可求得解：方程两边关于 x 求偏导数，注意 z 是 x，y 的函数，得解得方程两边关于 y 求偏导数，得解得于是， 故应选 c4.3设 d是由直线 x=-1 ，y=1 与曲线 y=x 所围成的平面区域， d1 是 d在第一象限的部分，则 i=a. bcd 0sss_simple_sinabcd分值: 4答案:b 考点二重积分的对称性质 解析根据二重积分的可加性和对称性结论可得解：积分区域 d如下图所示，被分割成 d1， d2， d3 ，d4 四个小区域，其中 d1， d2 关于 y 轴对称， d3，d4 关于 x 轴对称，从而由于

5、xy 关于 x 或 y 都是奇函数，则x2而 e siny 关于 x 是偶函数，关于 y 是奇函数，则所以故应选 b5.*设 1 ， 2， 3 ， 4 是四维非零列向量， a=( 1， 2， 3， 4) ， a 为 a 的伴t*随矩阵，又知方程组 ax=0 的基础解系为 (1 ，0，2，0)系为?a. 1， 2， 3?b. 1+ 2 ， 2+ 3 ， 3+ 1?c. 2， 3， 4 或 1， 2， 4?d. 1+ 2 ， 2+ 3 ， 3+ 4， 4+ 1sss_simple_sinabcd分值: 4，则方程组 ax=0 基础解答案:c 考点方程组的基础解系理论 解析首先确定 a 秩，进而确定

6、 a* 的秩；利用 a 与 a* 的关系及已知条件即可判别*解：由 ax=0 的基础解系仅含有一个解向量知， r(a)=3 ，从而 r(a是方程组 a x=0 的基础解系中含有 3 个解向量* )=1 ，于*又 a a=a( 1 ， 2， 3 ， 4)=|a|e=0 ，所以向量 1 ， 2， 3 ， 4 是方程组 ax=0 的解t因为(1 ，0，2， 0) 是 ax=0的解，故有 1+23 =0，即 1 ， 3 线性相关从而，向量组 1 ， 2， 3 与向量组 1， 2， 3， 4 均线性相关，故排除 a、b、d 选项事实上，由 1+2 3=0，得 1=0x2- 2 3+0 4，即 1 可由

7、2， 3， 4线性表示，又 r( 1， 2， 3， 4)=3 ，所以 2， 3， 4 线性无关，即 2，* 3， 4 为 a x=0 的一个基础解系 故应选 c6.设 a，b 为 n 阶矩阵，下列命题成立的是?* 与 b 均不可逆的充要条件是ab不可逆?*(a) n 与 r(b) n 均成立的充要条件是r(ab) n?*=0 与 bx=0同解的充要条件是 a与 b等价* 与 b 相似的充要条件是 e-a 与 e-b 相似sss_simple_sinabcd分值: 4答案:d 考点矩阵可逆、同解、相似矩阵的基本结论 解析通过举反例排除 a、b、c解： a与 b类似，故均错误，而 c仅是必要而非充

8、分条件，故应选d 事实上，若 ab，则由相似矩阵的性质知 e-ae-b；反之，若 e-ae-b，则 e-(e-a) e-(e-b) ，即 a b对于选项 a，若 a与 b均不可逆，则 |a|=|b|=0 ，从而|ab|=|a|b|=0 ，即ab不可逆，但若 ab不可逆，推出 a与 b均不可逆，如 a=e，b=，则 ab=b不可逆，但 a 可逆对于选项 b，与选项 a相近，由于 r(ab) minr(a) ， r(b)，故若 r(a)n 与 r(b) n 均成立，则 r(ab) n但反之，若 r(ab) n，推不出 r(a) n 或 r(b) n，如 a=e， b=，则 r(ab)=r(b)=1

9、2，但 r(a)=2 对于选项 c，由同型矩阵 a与 b等价 r(a)=r(b)可知，若 ax=0 与 bx=0 同解，则 a 与 b 等价；但反之不然，如a=，b=，则 a，b 等价，但 ax=0与 bx=0显然不同解故应选 d7.22设随机变量 xn(， 4 ) ，y=n(， 5 ) ，记 p1=px -4 ，p2=py +5，则?a. 对任意实数，有p1=p2?b. 对任意实数，有p1p2?c. 对任意实数，有p1p2?d. 对 的个别值，有 p1=p2sss_simple_sinabcd分值: 4答案:a 考点考查正态分布 解析化标准正态分布进行计算解：由于，所以故 p1=p2，而且与

10、 的取值无关 故应选 a8.设随机变量 x 的概率密度为y表示对 x的 3 次独立重复观测中事件发生的次数，则 py2=a. bcdsss_simple_sinabcd分值: 4答案:c 考点考查伯努利概型与二项分布 解析利用 f(x)求，然后利用二项分布求 py2) 解：故 py2=1 -py=3=1-故应选 c二、填空题1.=sss_fill分值: 4答案: 考点未定式的极限 解析首先将“· 0”型未定式恒等变形指数化即化为以e 为底的指数函数，再对指数上面的未定式“ - ”型求极限即可解： 而所以，故应填2.设，为连续函数，则 a=， b=sss_fill分值: 4答案: 考点

11、分段函数的连续 解析根据分段函数在分段点的连续性即可求得a，b解：因为 f(x)为分段函数，且为连续函数，则f(x)在分段点 x=0，x=1 均连续，即而则f(1)=a+b ，则 a+b=1解得故应填3.函数展开成 x 的幂级数为sss_fill分值: 4答案: 考点函数的幂级数展开 解析将函数表达式分解为常用函数的代数形式，利用常用函数的幂级数展开即可解：其中-1 x1 且-1 1，解得收敛域为 -1 x1 故应填4.设某商品需求量 q是价格 p 的单减函数 q=q(p)，其需求弹性，则总收益 r对价格 p 的弹性函数为sss_fill分值: 4答案: 考点弹性函数 解析先求出收益函数表达式

12、，再根据弹性函数定义求收益的弹性函数解： r=pq=pq(p，) 则 r'(p)=q(p)+pq'(p) ，由题意知，需求弹性，则收益对价格 p 的弹性函数为5.2设 n 阶方阵 a 与 b 相似， a=2e，则|ab+a-b-e|=sss_fill分值: 4答案:1 考点抽象行列式的计算2 解析将所求矩阵进行整理，再利用条件求解 解： ab+a-b-e=(a-e)b+a-e=(a-e)(b+e) 又 a =2e，得(a-e)(a+e)=e 再由 a，b 相似，得 a+e和 b+e相似，从而 |a+e|=|b+e| 于是|ab+a-b-e|=|a- e| ·|b+e|

13、=|a - e| ·|a+e|=|e|=1 故应填 16.2设 x1，x2， x5 是取自正态总体 n(0， ) 的一个简单随机样本，若服从t 分布，则 a=sss_fill分值: 4答案:2 考点考查抽样分布 解析利用 分布与 t 分布的定义得出结论 解：因为相互独立，由 t 分布定义，有三、解答题1.已知，且 f(0)=g(0)=0，试求答案:sss_text_qusti分值: 10解：由知，又 f(0)=0 ，代入 f(x)表达式得 c=0，故由，则又 g(0)=0 得 c1=0，知 g(x)=ln(1+x)于是因为故当 x0时，所以， 考点“ - ”型未定式的极限与不定积分

14、解析首先利用不定积分确定函数 f(x)与 g(x) ，然后求未定式的极限即可若没有注意到 x0时， x，并用等价无穷小 x 代替时，而继续用洛必达法则，则问题将变得非常烦琐，导致不能给出正确结果2.计算不定积分答案:sss_text_qusti分值: 10解法一：设 x=tant ，则又移 项 得 因此， 解法二：移项整理得 考点不定积分的计算 解析利用不定积分的换元积分法和分部积分法计算即可3.设 f(x)在0 ，1 连续，在 (0 ， 1) 可导， f(0)=0 ，0f'(x) 1，x(0 ， 1) 证明：答案:sss_text_qusti分值: 10证：令易知 f(0)=0 ，且

15、 f(x) 在0 ，1 可导，则记，则 g(x) 在(0 ，1) 可导，即 g'(x)=2f(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)1- f'(x)，由于 0f'(x)<1，x(0 ， 1) ，则 f(x)在0 ，1 内递增则当 0x1时， f(x)f(0)=0 ，于是 g'(x)0，x(0 ， 1) ，则 g(x) 在0 ， 1 递增， 即当 0x1时， g(x) g(0)=0 ，所以，当 0x1时， f'(x)=f(x)g(x)0，即 f(x) 在 0x1时递增，故当 0x1时， f(x) f(0)=0 ， 特别地，有 f(1) 0，即

16、所以 考点积分不等式证明 解析构造辅助函数，根据单调性理论证明f(x) 0，x(0 ， 1 即可 有些同学没有想到构造变上限积分作辅助函数，只是一心想着用定积分的计算方法和不等式性质去证明，可能就陷于困局，证不出结论4.设二阶连续可导，又因为，且，当 x0，求 f(x) 答案:sss_text_qusti分值: 10解：由， f 二阶连续可导，知而由对称性知则令于是即， c1，c2 为常数由 f(1)=0 ，f'(1)=2，知故 考点二阶微分方程与偏导数计算及导数定义 解析首先通过计算偏导数确定二阶微分方程，根据极限及导数定义确定初始条件，最后化为二阶微分方程求特解即得结果5.求幂级数

17、的收敛域及和函数答案:sss_text_qusti分值: 10解：，收敛半径当 x=-1 时，原级数为收敛，当x=1 时，原级数为收敛，故幂级数的收敛域为-1 ，1 令，则于是则当 x0时，所以当 x=0 时， s(0)=0 ，当 x=1 时，原级数为 ( 用收敛的定义 ) ， 当 x=-1 时，原级数为故的和函数为 考点幂级数的收敛域与和函数 解析利用公式求收敛半径，确定收敛域，利用幂级数的分析性质求和函数常见错误有以下情形：部分同学分不清“收敛域”和“收敛区间”，没有讨论端点的敛散性使用幂级数的性质 ( 逐项积分、逐项求导 ) 时，计算不仔细，会导致结果有误6.t设 1 ， 2， 3 ，

18、4， 为 4 维列向量， a=( 1， 2， 3， 4) ，若 ax= 的通解为 (-1 ， 1， 0，2)t+k(1 ，-1 ， 2， 0) ，则( ) 能否由 1， 2 ， 3 线性表示 ?为什么? ( ) 求 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组答案:sss_text_qusti分值: 11tttt解：( ) 假设可以，即 =k1 1+k22+k3 3，则(k 1，k2， k3 ，0) 是 ax= 的解从而(k 1，k2，k3， 0)解-(-1 ，1，0，2)=(k 1+1，k2-1 ，k3， -2)就是 ax=0的tt但是显然 (k 1+1，k2-1 ， k3，-2)和(1 ，-1

19、 ，2，0) 线性无关所以 不可以由 1， 2， 3 线性表示( ) 因为 (-1 ，1，0，2) t 是 ax= 的解，则 =- 1+2+2 4t又因为 (1 ，-1 ， 2， 0) 是 ax=0的解，则 1- 2 + 3=0 所以， 和 3 都可由 1， 2， 4 线性表示又由 r( 1 ， 2， 3， 4， )=r( 1， 2， 3， 4)=3 ，所以， 1， 2， 4 是极大无关组 考点方程组的解与向量组的线性关系之间的联系 解析 ( ) 利用反证法；( ) 由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系7.设二次型的正负惯性指数都是 1 ( ) 计算 a 的值；( ) 用正交变换将二

20、次型化为标准形；( ) 当 x 满足 xtx=2 时，求 f 的最大值与最小值答案:sss_text_qusti分值: 11解：( ) 二次型的矩阵为，则二次型的正负惯性指数都是1，可知， r(a)=2 ，所以 a=-2，或 a-1 ，又 a=1 时，显然 r(a)=1 ，故只取 a=-2 ( ) 此时| e- a|=( +3)( -3) ，所以 a 的特征值是 3，-3 ，0t当 1=3 时，解方程组 (3e-a)x=0 ，得基础解系为 1=(1 ， 0， 1) ；t当 2=-3 时，解方程组 (-3e-a)x=0 ，得基础解系为 2=(1 ，-2 ， -1) ；t当 3=0 时，解方程组 (0e-a)x=0 ，得基础解系为 3=(1 ， 1， -1) 将 1， 2， 3 单位化得故有正交阵 考点二次型的标准形 解析先根据惯性指数求得 a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f 的最值8.设箱中有 5 件产品，其中 3 件是优质品从该箱中任取 2 件，以 x 表示所取的2 件产品中的优质品件数， y 表示箱中 3 件剩余产品中的优质品