概率论与数理统计习题解答

1、第二章随机变量及其分布1.解：设公司赔付金额为X,则x的可能值为：投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0,概率为所以X的分布律为:02、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表示 取岀的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律为P（X=3） = P（球为3号,两球为1,2号）=匕:=4也可列为下表X：3,4, 5P：3设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不 放回抽样，以X表示取岀次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任

2、取三只，其中新含次品个数X可能为0, 1, 2个。X：0, It 2 22 12 135 35 354.进行重复独立实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为q =l-p（0p或记r+zk,则PY=k=Cpr(p) R = r+ 1,(3 ) P (X=k) =kk=l,2.x x11P (X取偶数)二P(X=2k) = (0.55)10 45 =H5.房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞岀房间。假左鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。(2)户

3、主声称，他养的一只鸟，是有记忆的.它飞向任一窗子的尝试不多于一次。 以匕表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布 律。(3)求试飞次数X小于匕的概率；求试飞次数匕小于X的概率。解：(1) X的可能取值为1, 2, 3,，mPX=n=P前门一1次飞向了另2扇窗子，第门次飞了出去= ()+，n=l, 2, .(2)丫的可能取值为1, 2, 3PY=1=P第1次飞了出去卜+PY=2=P第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去=1x1=丄323PY=3=P第1, 2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去2! 1=3!=33(3) PX Y = PY = kPX YY =

4、 k jt=i3= PY = kPX YY = k如23=PY = kPX k*-21 1 , 1=X + X333同上，p(x = r)= pr = z；Px = nr = = p(r = z：Px=/： = lxl+lx|+lxA=.QQ全概率公式并注意到7(%rir = i = o丿注意至ijxv独立即PX YY = k= PX k故PY X = PX 3) = C：X(0.1)3X (0.9)2+C；X (0.1)4X (0.9) + C? x(0.1)5= 0.00856(3)至多有3个设备被使用的概率是多少PX3=fc；0.3*0.75“ =0.16332P(B) = PX 3 =

5、 Xpx=K = 1-PX =K女30=1-0.77-Gl 0.3xO.76-G2O.32x0.7s 0.3538、甲.乙二人投篮，投中的概率各为，令各投三次。求(1)二人投中次数相等的概率。记X表甲三次投篮中投中的次数1丫表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。p(x=y)=p(x=o, r=o)+p(x=2, r=2)+p(x=3,Y=3)=p(x=o)p(y=o)+ p(x=i)p(y=i)+ p(x=2)p(y=2)+ p(x=3)P(Y=3)=3X3+C* X 0.6X(0.4)2JxCx0.7x (0.3)2+ Cj x (0.6)2x 0.4 x C；x

6、 (0.7)2x .3 + (0.6)3x (0.7)3=0.321(2)甲比乙投中次数多的概率。p(XY)=P(x=i, r=o)+p(x=2, r=o)+p(x=2zy=i)+P (X=3) P (0)+ P (X=3) P(r=l)+ P (X=3) P (Y=2)=p(x=i)p(r=o)+ p(x=2=o)+ p(x=2, r=i)+P (X=3) P(r=0)+ P (X=3) P(y=l)+ P (X=3) P (Y=2)=C；X 0.6 X (0.4)2J X (O.3)3+ (C；x (0.6)2x 0.4 x (03) +C；x (0.6)2x 0.4 X C；X 0.7

7、x (0.3)2 + (0.6)3x (0.3)3+ (0.6)3x C x 0.7 x (0.3)2 + (0.6)3xC；x(0.7)2x 0.3 = 0.2439.有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收 无次品接受这批产品，次品数大于2拒收：否则作第二次检验，英做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率(2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1次检验未能做决左且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的

8、个数，丫表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故XB (10,),厂B (5,)(近似服从)(1)PX=0=(2)PX2=PX=2+ PX=l= QoO.l20.98+ CO. 10.990.581(3)PK=0=5(4)P0vXW2, 0(0vXW2与2独立)= P03 =PX 4 = 0.56653013.某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（V2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：A = -2iX龙2 = 32几=

9、?214解：X 龙(2。3pX=0=门=0.2231 pxni-0.918A-ik!(1). r = io分钟时 u=小时,6(2)、PX=00.5故I n 0.5 m 0.34657(小时) 所以10.34657*602 20.79(分钟)15、解：io ( 5000 PXS10 = (0.0015/(1-0.0015)5XPX 2 = -PX=0-PX =1=1-0.9953 = 0.004717.解:r!= 0.2388=3_1设X服从(01)分布,其分布率为PX=k = /(l_F)_*=O,求X的 分布函数，并作出其图形。解一：X01lppX(0,1)X的分布函数为:0 ,F(x)

10、= -p ,1 ,18.在区间0,d上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点 落在0,4中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数。解:当XvO时。Xx是不可能事件，F(X) = PXx=02当0 xa时，POX x=kx而0Xa是必然 事件:.POX x=ka = k=丄V:.POX x = kx = -aY贝ijF(x) = PX x = PX 0 + P0X 时，xx是必然事件，有F(x) = PXx = 0, x 0/. F(x) , 0 x ax00 xl如图:19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X的分布函数是

11、求下述概率：(1)P至多3分钟：(2) P至少4分钟；(3) P3分钟至4分钟之间：(4) P至多3分钟或至少4分钟：(5) P恰好分钟解：(1)P至多3分钟=PX3= Fx=1一(2)卩至少4分钟卩仇4) = 1- Fx(4) =(3)P3分钟至4分钟之间=P 3X4= Fx- Fx(3) = eL2-eL6(4)P至多3分钟或至少4分钟卜P至多3分钟+卩至少4分钟=1+6*16(5)卩恰好分钟= P (X=0O,xe求(1) P (X2), P 0X3, P (2X% )：(2)求概率密度办(x)解：(1) P(X2)=Fx2)=ln2,P (0XW3)= & (3) Fx (0)

12、=1,P(2X| = Fx(|)-Fx(2) = ln-|-ln2 = ln| V %其它21.设随机变量X的槪率密度/(X)为x 0 xl(2) f(x) = 2-x lx20其他求X的分布函数F(x),并作出(2)中的f(x)与F(x)的图形。 解：(1)当一iWxWl时：F(x) = f * 0dx+ yl-x2dx = -“ + arcsin x J-Inn 22= xyl-x2n当l0A0其它(I)fM =xv-lr 1Jf +arcsin x + -x7121X解：(2) F(x) = P(X 00,其它其中 =m/2kT , k为Boltzmann常数，T为绝对温度，加是分子的质

13、量。试确 泄常数A。0F(x) = i丄xVl匚710山+；/ =匚Jo 21X 2时，F(x) = f 0dt + J：/ dt + J：(2-t)dt = 2x 寻一1当2 x时，F(x) =0 dt +故分布函数为fo2XT2x-l21当OSxl时，F(x) =Fx)=-Xx00 xlx22x+j3=i解：v (x)dx = 即匚f(x)dx =Ax2e17dx =-兽xe斤当/v0时，济(/) =J：0力=0当冷0时，马=匸/力=片=J；占edt= 1_E0, r 0P50 T100 = Pr100-PT50 = F(100)-F(50)_ -50/241 _ -100/241、11V

14、i 115010()或P507 1500) = 1-P(X 0fW = 厶=1 -00,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以丫 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出丫的分布律。并求P（ri）o解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的槪率为p(x 10)=仇(诚=|X3V=胡：=产因此Y B(5,e2).即P(Y =k) = PV2*(1-e-2)5k, (k = 1,2,3,45= 1-0.86775=1-0.4833 = 0.5167.25、设K在（0, 5）上服从均匀分布.求方程4X2+4XK + K + 2 = 0有实根的槪率1K的分布密度为

15、：f（K）= 500要方程有根，就是要K满足（4KF 4x4x （K+2&0。 解不等式，得K22时，方程有实根。P(K2) = jXf(x)dx= J : 1力 +0Jx=-|26、设XN ()(1)求P(2vXW5), P(4)vXW10), P|X/2, P(X3)若xN(u,Q2),则p(a2)=l-P(|X|2)=l-P(-2 Pi)= i-p(ri)= i-p(r=o)= i-(i-2)5=i-d-7389=1一(1-0.1353363)OvK 5其他P(2vXW5) = e5-3P(-4X10) = 10-3一4一3=巾一（I）（= 1-222 3X=1 ( + ( =1

16、 +=P(X3)-l-P(X3)-l-(b|3_3J-1一-(2)决定C使得P(XC)=P(XWC) P (XC )=1一P (XW C)二P (XW Q得P(XC)=y =又P(XWC)-打丁j-0.5.査表可得CJ _0.c=327.某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以mm-Hg if)服从7V(11OJ22)在该 地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求(1) P(X105), P(100Xx) 解：P(X 105) =(!()5 ：11()= 0(-0.4167) = 1-(0.4167) = 1-0.6616 = 0.3384P(100X x) = l-P(Xx) = l-宀爲)

17、0.95.查表得-AZ-*1(). 1.645. = x 110 +19.74 = 129.74.故最小的X =129.74.28、由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为的正态分布。规泄长度 在范围土内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为XPX不属于一，+=l-p -x+H(10.05+ 0.12)-10.05(W6二1_巾(2)_巾(_2)29、一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为U=160,。(未知)的正 态分布，若要求P(120X200=,允许。最大为多少P(120(10.05 - 0.12)-10.050.060.80200)詡200-160| 120-16

18、0又对标准正态分布有4(x)=l (x)愕)便得:冒)再查表，得1.281 0.930、解:X = ；N(0,l)则P=pv g 118,122 =PV122UN(120,22)=2P-1 X = 2(1-0.8413) = 0.317412丿31、解：0 0F(x)=，0.2 + 0.8.V/30,0 x o、g(x)n 0,0 a 10(x) + (l-a)g(x)no且J妙(X)+(1一 “)g w=L fMdx + (1-)L g(x)dx = a + (1 -G) = 133、设随机变量X的分布律为：X：一2,-1 0,1,3p11 1111P:了，话，30求2的分布律IY=X2：(

19、一2尸(一1)2(0)2(D2p11 1111P：530所以0(x) + (1 - d)g(x)为概率密度函数再把X?的取值相同的合并， 并按从小到大排列， 就得函数丫的分布律为:/. Y：0149p.丄丄+丄丄1156 1553034.设随机变量X在(0, 1)上服从均匀分布(1)求力的分布密度X的分布密度为：/叫 蔦眾Y=g (X)二“是单调增函数 又X=h(Y)=lnY9反函数存在且a二ming (0), g (l)=min(l, e)=lP =maxg (0), g (l)=max(l, e)= e八一古nv、,、f/Kv)l/f(y)l= 1丄lvyve匕的分布密度为：y/(y) =

20、 y?0y为其他(2)求Y= -2lnX的概率密度。Y= g (X)= 2lnX是单调减函数又X=h(Y) = e反函数存在。且a = ming (0), g (l)=m/n(+oo/0 )=06=maxg (0), g (l)=max(+/0 )= +r的分布密度为：心)=丿恥川一42 =le035.设XN (0, 1)(1)求方“的概率密度0 y +xy为其他g(X)二是单调增函数又x=hY) = lnY反函数存在且a = ming ( )zg (+oo)=m/n(0/+)=06 = maxg ( ), g (+)= max(0f+)= +匕的分布密度为：lny)0 y +ocyy为其他(

21、2)求匕=2X2+1的概率密度。在这里.eX+l在(+8,8)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设丫的分布函数是Fy (y),则Fy ( y)=P(Yy)=P (X+l Wy)=P一X的概率密度是/(%) =-X X +002当yL时：FY( y)=0故丫的分布密度巾(y)是：当yWl时：iP(y)= f/(/)* = (Of =0=,12 & (y_D(3)求/x/的概率密度。V丫 的分布函数为6(y)=P(YWy)=P(|X/Wy)当y(y)=fh(h) - I h(y) = /(y7)-y-7,-x0 x0X2是非单调函数当x0时y=x反函数是x = -yy当x0时： 巾(y)= FY(y)1=y0y0巾(y)= (y)l =厂亠法二：YFY(y) = P(Yy) = P( X 5) = P(X S “) - P(X S-“)=PQi = f(x)dx37.设X的槪率密度为 0 v x v兀/(x) = br20 x为其他求丫二sin X的概率密度。 Fy(y)=P(Yy)= P(sinXy)当y0时：Fy ( y)=0当0 0 Ml时：& ( y)二P (sinX司)=P (OXWarc sin y或TIarc sin y至如 卑力JO兀-arcsinv兀 当ivy