中考专题复习二二 动态几何综合题

1、中考专题复习二二 动态几何综合题【简要分析】函数是中学数学中的一个重要的概念，加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点，大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”，以“不变”为“向导”.同时，要善于利用相似三角形性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助方程这个桥梁，从而得到函数关系式.值得注意的是，在几何图形中建立函数关系式，问题具一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件.【典型考题例析】CQBAPD图2-4-43例1 如图2-4-43，

2、在RtABC中，C90°，AC12，BC16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长度的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t(秒).设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；t为何值时，四边形PQBA是梯形？是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0t1；1<t

3、2；2<t3；3<t4)，若不存在，请简要说明理由.APCQMBD图2-4-44分析与解答 由题意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =. PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ. 当时，有PQAB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2. 当t2秒时，四边形PQBA是梯形.设存在时刻t，使得PDAB，延长PD交BC于点M，如图2-4-44，若PDAB，则QMD=B，又QDM=C=90°，RtQMDRtABC，从而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM=. 若PDAB，则，得

4、，解得t=.当t秒时，PDAB. 存在时刻t，使得PDAB. 时间段为：2t3.BAPQOC图2-4-45xy例2 如图2-4-45，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A(18，0)，B(18，6)，C(8，6)，四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.求出直线OC的解析式.设从出发起运动了t秒，如果点O的速度为每秒2个单位，试写出点O的坐标，并写出此时t的取值范围.设从出发起，运动了t秒钟.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯

5、形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由. 分析与解答 设OC的解析式为y=kx，将C(8，6)代入，得k=.y =x.当Q在OC上运动时，设Q(m，m)，依题意有：m2 +(m)2 =(2t)2，m=t. Q(t，t)，(0t5).当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t.BAPQOC图2-4-46xy··MOC=10，CQ=2t-10.Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2.Q(2t-2，6)，(5<t10).易得梯形的周长为44. 如图2-4-46，当Q点在OC上时，P运动的路程为t，

6、则Q运动的路程为(22-t).过Q作QMOA于M，则QM=(22-t)´. BAPQOC图2-4-47xy··SOPQ =t(22-t)´， S梯形OABC=(18+10)´6=84. 假设存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.则有t(22-t)´=84´.整理，得t2 -22t +140=0.=222 -4´140<0，这样的t不存在. 如图2-4-47，当Q点在BC上时，Q走过的路程为22-t，CQ的长为：22-t-10 =12-t.S梯形OCQP =(CQ+OP)·AB=´

7、;(22-t -10+t)´6=36¹84´.这样的t值也不存在.综上所述，不存在这样的t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.例3 如图2-4-48，RtPMN中，P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上.令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2-4-49)，直到C点与N点重合为止.设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y cm2 .求y与x之间的函数关系式.PMNABCD2图2-4-49ABCDP(M)N2图2-4-4

8、8分析与解答 在RtPMN中，PM=PN，P=90°，PMN=PNM=45°.延长AD分别交PM、PN于点G、H.过G作GFMN于F. 过H作HTMN于T.DC=2cm，MF=GF=2cm，TN=HT=2cm.MN=8cm，MT=6cm.因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和RtPMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：PMNABCD2图2-4-50GFxEHT当C点由M点运动到F点的过程中(0x2)，如图2-4-50所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是RtMCE，且MC=EC=x.y=MC·EC=x2 (0x2).当C点由F点运动到T

9、点的过程中(2<x6)，图2-4-512PMNABCD2HTGFx如图2-4-51所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG.MC=x，MF=2，FC=DG=x-2,且DC=2.ABCD2PMNQTFGx2H图2-4-52y=(MC+GD)·DC=2x-2 (2<x6).当C点由T点运动到N点的过程中(6<x8)，如图2-4-52所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG.MC=x，CN=CQ=8-x，且DC=2，y=(MN+GH)·DC-CN·CQ = -(x-8)2+12 (6<x 8).说明 此题是一个图形运动问题，解答的

10、方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形由“动”变“静”，再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，各个击破.【提高训练】BQABPOy··l图2-4-53··1 如图2-4-53，已知直线l的函数表达式为y=-x+8，且l与x轴，y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q、P移动的时间为t秒.求出点A，B的 坐标；当t为何值时，APQ与AOB相似？求出中当APQ与AOB相似时，线段PQ所在直线的函

11、数表达式.1. A、B的坐标分别是(6，0)，(0，8). 由BO=8，AO=6，得AB=10.当移动时间为t时，AP=t，AQ=10-2t. QAP=BAO，当时，APQAOB.，t=(秒). QAP=BAO，当时，AQPAOB.，t=(秒). t=秒或t=秒，经检验，它们都符合题意，此时AQP与AOB相似. 当t= 秒时，PQOB，PQOA，PA=，OP=，P(，0).线段PQ所在直线的函数表达式为x=.当t=时，PA=，BQ=，OP=，P(，0).设Q点的坐标为(x，y)，则有，x=.当x=时，y=-´+8=，Q的坐标为(，).设PQ的表达式为y=kx+b，则 PQ的表达式为y

12、=x-. 2 如图2-4-54，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜边上的中点.如图2-4-55，若整个EFG从图2-4-54的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）当x为何值时，OPAC ?

13、求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）图2-4-55BCFOBAH· ·PGA(E)GCBFO·图2-4-542. RtEFGRtABC ，=.FG3cm.当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC. x ×31.5(s).当x为1.5s时，OPAC.在RtEFG 中，由勾股定

14、理得：EF 5cm.EGAH ，EFGAFH.=. AH( x 5)，FH(x+5). 过点O作ODFP ，垂足为 D .点O为EF中点，ODEG2cm.FP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 (0<x<3)假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324.则S四边形OAHP×SABC，x2x3××6×8.6x285x2500.解得 x1， x2 （舍去）.0x3，当

15、x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324.3 在梯形ABCD中，ABCD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿ADCB的方向运动，速度为2cm/秒；点N沿AB的方向运动，速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止.设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为y cm2.试求出当0 < x < 3时，y与x之间的函数关系式；试求出当4 < x < 7时，y与x之间的函数关系式；DMANBC图2-4-56当3 < x < 4时，以A、M、N为顶点的三角形与

16、以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值. 若不相似，试说明理由.过D作DEAB，垂足为E，过C作CFAB，垂足为F.CD=EF=2.AD=BC，DE=CF，RtADERtBCF.AE=BF=3.在RtADE中，AD=6，AE=3，ADE=30°，A=60°.在AMN中，AN=x，高为2x sin60°=x.y=·x·x.即y=x2. 过点M作MGAB，垂足为G，MGCF，MGBCFB，GM：CF=BMBC.CF=DE=3，GM3=(6+2+6-2x)6，GM=(7-x). y=x·(7-x). 即y=.当3&l

17、t;x<4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形不可能相似.当x=3时，动点M与点D重合，动点N恰好与点E重合，此时MNA=90°.当3<x<4时，MNA必为钝角，则MNA¹MNB，而MNA=NMB+MBN，因此AMN与BMN不可能相似 4 如图2-4-57，在等腰梯形ABCD中，ABDC，A=45°，AB=10cm，CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.等腰直角

18、三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由于 形变化为 形；设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；当x=4(s) 时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.MANPDCB图2-4-58A(N)PMBCD图2-4-57等腰直角三角形；等腰梯形 等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：ANMPDCBGFEANMPDCBHE图3-9图3-8 当0<x6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图3-8）.此时

19、AN=x(cm)，过点E作EHAB于点H，则EH平分AN，EH=AN=x，y=SANE=AN·EH=x·x=. 当6<x10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图3-9）. 此时，AN=x(cm)，PNM=B=45°，ENBC，CEBN，四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6.过点D作DFAB于F，过点C作CGAB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)´3=3x-9.当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，当x=4(s)时，y=x2 =´42 =4.当x=4(s)时， 等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm25 如图2-4-59所示, 在平面直角坐标系xOy中, 正方形OABC的边长为2cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且12a+5c=0.求抛物线的解析式. 如果点P由点 A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/