不定积分的换元积分法2ppt课件

1、42 不定积分换元积分法不定积分换元积分法42 不定积分换元积分法不定积分换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、积分公式小结三、积分公式小结一、第一类换元法引例：求引例：求cos3.xdx分析：若直接应用积分基本公式cossinxdxxC得cos3sin3xdxxC容易验证是错误的。因为(sin3 )3cos3cos3 ,xxx 所以cos3sin3xdxxC 定理定理1 设设f(u)具有原函数，具有原函数，uj(x)可导，则有换元公式可导，则有换元公式 f(x)(x)dx f(x)(x)dx f(x)d(x) f(x)d(x) f(u)d uu (x)

2、 在求积分g(x)dx 时，的形式，那么如果函数g(x)可以化为g(x) fj(x)j(x)g(x)dxf(x)(x)dx f(u)du u (x) 根据定理1，2cos 2x dx cos 2x2dxcos 2x(2x )dx cos u d usin u C sin 2x C cos 2x(2x )dx cos 2xd (2x )21x231d (32x ) 21ln |u|C 21ln |32x |C dx 21x231(32x )dxd (32x ) 21u1du 例2 x231 dx 21x231 例例2 例 1 2cos 2x dx 例例1 2xe(x 2)dx 2xed (x 2

3、)e udue u C 2xeC 2121x(x 2)dx2121xd(x 2) 2121xd(1x 2)2121udu3123uC31232)1 (xC ln |u| C ln |cos x| C x xxcossindxu1du类似地可得cot x dxln|sin x|C 例 4 x21xdx 例例4 例3 2x2xedx 例例3 例 5 tan x dx 例例5 xcos1dcos x 熟练之后，不必再写出变量代换 21a211axdxa1211axdaxa1arctanaxC 解 221xadx a1211axdx211axdax arc sinax C 例 6 221xadx 例例

4、6 例 8 求221xadx (a0) 例例7 a21(ax 1ax 1)dx a21ax 1dx ax 1dx a21ax 1d(xa) ax 1d(xa)a21ln| x a |ln |xa | C a21lnaxaxC xxdln21ln21xxdln21)ln21 (21ln |12ln x|C 2xe3dx32xe3d3x32xe3C 例 9 221ax dx 例例8 例10 )ln21 (xxdx 例例9 例 11 xex3dx 例例10含三角函数的积分： sin 2xsin x dx (1cos 2x)d cos x d cos x cos 2x d cos x cos x co

5、s 3 x C 31 sin 2x cos 4 x d sin x sin 2x (1sin 2x ) 2 d sin x (sin 2x2sin 4x sin 6x ) d sin x31 sin 3 x sin 5 x sin 7 x C 5271 例12 sin 3 x dx 例例11 例13 sin 2x cos 5 x dx 例例1221(dx cos 2x dx)21dx 41cos 2x d(2x)21x 41sin 2x C cos 2x dx21(1cos 2x) dxcos 4x dx (cos 2x) 2 dx21(1cos 2x) 2dx41(12cos 2x cos

6、22x )dx41(232cos 2x 21cos 4x )dx41(23x sin 2x 81sin 4x )C83x 41sin 2x 321sin 4x C 例 14 cos 2x dx 例例13 例 15 cos 4x dx 例例14dxxsin1dxxx2cos2sin212cos2tan22xxxd2tan2tanxxdln |csc x cot x |C xdxcos)2sin()2(xxdln |sec x tan x | C ln | tan2x|Cln |csc(x2 )cot(x2 )| C21 (cos x cos 5x )dx21cos x dx 51cos 5x d

7、(5x)21sin x 101sin 5 x C 例 16 csc x dx 例例15 例 17 sec x dx 例例16 例 20 cos 3 cos 2x dx 例例17 二、第二类换元法 定理2 设x j(t)是单调、可导函数，并且j (t)0又设 f j(t)j(t)具有原函数F(t)，则有换元公式其中t =j-1(x)是xj(t)的反函数=F(t)+C = Fj-1(x) +C,用第二类换元法求不定积分的步骤是：然后求积分令x=j(t)，则有最后将t =j-1(x)代入f j(t)j(t) 的原函数中 第二类换元法用于求特殊类型的不定积分 f(x)dx f (t)(t)dtdxxf

8、)(dxxf)(dtttf)()(， dtttf)()( 22xa taa222sin那么解 a cos t ，于是dx a cos t d t ，所以txa设 xa sin t ，2 t0) 例例18 22ax解法一：22ax taa222tanta2tan1那么a sec t ，dxa sec 2t d t ，于是dttatasecsec2,sec22aaxt因为Caaxax)ln(22.)ln(122Caxx其中C 1Cln a txa所以设 xa tan t ，2 t0) 例例19 22ax解法二： 设xa sh t ，那么 dx a ch t d t ，于是a ch t ，其中C 1

9、Cln a 22axdx22ax 222atshadttatach ch dtax=t C arsh CCaxax1ln2.)ln(122Caxx 例 22 求22axdx (a0) 例例20 解a tan t ，于是其中C 1Cln a ln |sec t tan t |C 所以那么当xa 时，设xa sec t (0t0) 例例21 当xa，于是其中C 1C2ln a 综合起来有22axdx22auduCauu)ln(22Caxx)ln(22Caaxx222ln122)ln(Caxx22axdxCaxx|ln22 三、积分公式小结三、积分公式小结(k是常数)，(m 1)，,) 1 (Ckx

10、kdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(Cxxdx,) 1 (Ckxkdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(Cxxdx,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadxaxx,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadxaxx 补充公式：ln |cos x|C ， ln |sin x| C ， ln |sec x tg x | C ， ln |csc x ctg x | C ，(16)tg x dxctg x dx(17)sec x dx(18)(19)