大学数学经典求极限方法

1、百度文库1例 1:求极限【说明】x【解】lim(xX/1求极限的各种方法1 约去零因子求极限4lim x 1x 11 表明X与1无限接近，但 X 1，所以 X 1 这一零因子可以约去。2地如卫lim (x 1)(x21) 6=4x 1x 12 分子分母同除求极限32例 2:求极限limX3Xx3X31【说明】一型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。X3x2丄【解】lim一3-lim1-x3x31x373【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方;nn 1anX an 1xXimL XbmX bm1Xa。boanbn百度文库24 应用两个重要极限求极限两个重要极限是 lim 沁

2、 1 和lim(1丄广lim (1丄)“x 0 xxxnn一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。x例 5:求极限 lim -xx 1数部分。3 分子(母)有理化求极限例 3:求极限lim ( . x23 x21)x【说明分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。(.X23. x21)( x23. x21 )解limx2lim (,x1) limxx23 x210例 4:求极限lim1 tanx 1 sinxx 0解limx 01 tan x1 sinxtanx sinxtanx 1 sinxlim _ _x 0. 1tan x . 1 sin xtanx s

3、i nxlim3-x 0 x31 tan x sin x lim-32x 0 x3【注本题除了使用分子有理化方法外, 题的关键及时分离极限式中的非零因子是解1lim (1 x)：e，第x 0【说明第二个重要极限主要搞清楚凑的步先凑出1,再凑1，最后凑指解xx 1 limxx 1xlim 12xx 1limx例 6:(1) lim 1 Axx;(2)已知 limxx8 ,x 2ax a百度文库35用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：当x 0时，xs in x ta n x arcsi n x arcta nxl n(1 x) eiv v vi vii viii ix x1,

4、1 cosx 1x2, 1 axb1 abx；2(2) 等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；(3) 此方法在各种求极限的方法中 应作为首选。例 7：求极限 limxln(1_xx 01 cosx【解】lim 沁凶 lim 巻 2.x 01 cosxX012x2例 8 求极限 limsin：xx 0tan3x、22x cos2x 1 sin x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解x0(x t)f (t)dtf (0)0，求极限lim-一x 0 xx0f(x t)dt【解Sin x xlim3x 0tanxlirmsin x x3xCOSX 13x2i_x_3x2百度文库4

5、6 用罗必塔法则求极限2ln cos2x ln(1 sin x)例 9:求极限limx 0 x2【说明】一或0型的极限,可通过罗必塔法则来求sin2x 2【解】limln cos2xln(1sin2x)2si n2xsi n2xlimcos2x 1 sin2xx 02xxXt【解】由于o f (x t)dt0 xf(u)(du)x/o f (u)du，于是X1叫x0(x t)f (t)dtxx0f(x t)dtxim0 xx0f(t)dtx0tf (t)dtxx0f (u)du例 10：设函数 f(x)连续，且百度文库5=0。x0f(t)dt xf(x) xf(x)=limx 00 x0f(t

6、)dtx0f(u)du xf(x)x0f(t)dtf (u)du xf (x)xf(u)du/ f (0)=f(0) f(0) f(x)7 用对数恒等式求limf (x)g(x)极限例 11:极限|im 1 ln(12X)F2ln(1 x)0 x【解】2lim1 ln(1 x)x=limx 0 x 02ln1 ln(1 x)ex=elim2ln1 ln(1 x)x 0 xlimxe【注】对于 1 型未定式lim f(x)g(x)的极限，也可用公式lim f (x)g(x)(1lim( f (x) 1)g (x)=e因为例 12：lim f (x)g(x)elimg(x)ln(f(x)lim g

7、(x)ln(1 f(x) 1)elim( f (x)e1)g(x)【解1】【解2】1求极限lim3 x0X3xln原式lim x 0ln(2lim -x 02 cosx2 cosx3In2 cosxx3limxcosx)2x1 1 lim2x02 cosxIn 32 cosx 2xsinx)sin x,2 cosx xln3原式limex 0ln(llncosx13 x2cosx 1 lim2x03x2百度文库68.利用 Taylor 公式求极限例 13 求极限lim0 xxa a 22x(a 0).【解】axln ae2L ln2a (x2),22x2ln a2(x2)；xax2ln2a(x

8、2).alimx 02 2 / 2、x ln a (x )2lim2ln a.x 0 x例 141 1求极限lim-(-0 x xcotx).【解】lim丄(丄x 0 x xcot x)lim1sinx xcosxx 0 xxsinxxlimx 032ir(x3)兔(x2)x3lim 亶皐X0X39.数列极限转化成函数极限求解.n2 1 例 15：极限lim nsinnn(x3)13【说明】这是 1 形式的的数列极限，由于 数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，2可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。x【解】考虑辅助极限lim xsin丄xxx2lim ex1x

9、sin-x1 1r sin y 1 y2ylim ey 0百度文库7所以，lim nsin1 0e6nn10. n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算(2)利用两边夹法则求极限.1 1例低极限nim巧 E【说明】 用定积分的定义把极限转化为定积分计算，是把f(x)看成0,1定积分。lim - fnn n10f(x)dx1 22n例 17:极限limn_1_、n22【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim1nn的形式, 因而用两边夹法则求解;.n2nn百度文库

10、8解limn1n1_1_In2?因为_n-n2_1n2limnlimn1nn:n2n_1_1_n22百度文库9【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在【详解】(I)因为0X1，则0 X2sin x11.可推得0 xn 1sin xn1,n1,2,|，则数列Xn有界Xn 1于是sin Xn1個当x 0时，sin xx),则有Xn 1Xn,可见数列Xn单XnXn，得I sinl,解得IsinXnXn 11型,，由(I)知该极限为因limXnXnee11sinXnlimXnlimX0X1-sin x 1X1x1-2Xn11Xn1sin x x23调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限设lim Xnl，在Xn 1sin X