3.2全集与补集

1、3. 2全集与补集、题型补集的运算典例已知全集 U = x| 1 wxw 4, A= x| K xw 1 , B= x|0<x< 3，求？uA , (?uB)n A;设U = x| 5W x< 2,或 2<xw 5 , x Z , A = x|x2 2x 15= 0 , B= 3,3,4,求 ? uA , ?uB.解(1) / U = x| 1w xw 4 , A= x| 1w xw 1 , B= x|0<xw 3,结合数轴(如图)，f/竹1 P 1一0 12 3 目1工可知?uA= x|1<xw 4,?uB = x|3<xw 4,或1w xw 0.结

2、合数轴(如图).A-1 013 1 *可知(？uB)n A= x| 1w xw 0.(2) 法一：在集合U中， x Z,贝y x 的值为一5, 4, 3,3,4,5,- U = 5, 4, 3,3,4,5.又 A = x|x2 2x 15 = 0= 3,5 , B= 3,3,4, - ?uA= 5, 4,3,4 , ?uB= 5, 4,5.法二：可用Venn图表示：则？uA= 5, - 4,3,4 , ?uB= 5, 4,5.(1) 在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集 合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解 

3、9;答过程中注意边界问题.(2)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解.'活学活用已知全集 U，集合 A = 1,3,5,7,9 , ?uA = 2,4,6,8, ?uB= 1,4,6,8,9，求集合 B.解：借助 Venn，如右图所示，得 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9, ?uB= 1,4,6,8,9, B = 2,3,5,7.交、并、补的综合运算典例 设U = X N|xv 10, A= 1,5,7,8 , B= 3,4,5,6,9，求 A n B, AU B, (? uA) n

4、 (?uB), (?uA)U (?uB).解 u= X N|xv 10 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , A= 1,5,7,8, B = 3,4,5,6,9, A n B= 1,5,7,8 n 3,4,5,6,9 = 5,AU B = 1,5,7,8 U 3,4,5,6,9 = 1,3,4,5,6,7,8,9.- ?uA= 0,2,3,4,6,9 , ?uB= 0,1,2,7,8,- (?uA)n (?uB)= 0,2,(?uA)U (?uB) = 0,1,2,3,4,6,7,8,9.(1)解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求？ u(AU B)时，先求出AU B,再

5、求补集.*(2)当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.'活学活用已知 u = R, A= x|x> 0, B= x|xw 1 , HA n (?uB) U B n (?uA)=()A. ?B. x|xw 0C. x|x> 1D. x|x>0,或 xw 1解析：选 D / B= x|x< 1,. ?uB= x|x> 1.又 A= x|x> 0, An (?uB)= x|x>0.又 ?uA= x|x< 0. Bn (?uA) = x|xw 1

6、.A n (?uB) U Bn (?uA) = x|x> 0,或 xw 1.利用补集的运算求参数典例(1)设全集 S= 1,2,3,4，且 A= x S|x2 5x+ m = 0，若？ sA= 2,3，则 m=.(2)设全集 U = R , M = x|3a< xv 2a + 5, P= x| 2 w xw 1，若 M ? uP,求实数a的取值范围.解(1)因为 S= 1,2,3,4, ?sA= 2,3，所以 A = 1,4，即 1,4 是方程 x2 5x+ m= 0 的 两根，由根与系数的关系可得m = 1X 4 = 4.故填4.(2) ?uP= x|x< 2 或 x>

7、; 1. M ?uP,.分M = ? , M丰?，两种情况讨论.3av 2a+ 5,I3a> 1,(3a< 2a + 5, MM ?时，如图可得52a+ 5w 2-3(1 2fl+521 2a 2fl+5”- aw 2,或 3w a< 5.712】u 3 ,+s)- M= ?时，应有 3a> 2a + 5? a> 5.综上可知，实数a的取值范围为(一8,(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解._(2)不等式中的符号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集.'活学活用1.

8、 设 U = 0,1,2,3 , A= x U|x2 + mx= 0，若?uA= 1,2，则实数 m=. 解析： ?uA = 1,2, A= 0,3, 0,3 是方程 X2 + mx= 0 的两个根，二 m = 3. 答案：32. 设全集 U= 1,2, x2 2, A = 1 , x，求？uA.解：若x = 2,则x2 2 = 2, U= 1,2,2，与集合中元素的互异性矛盾，故x丰2,从而x=x2 2,解得 x= 1 或 x= 2(舍去).故 U = 1,2, 1, A = 1,-1，贝y ?uA = 2.补集思想的应用ssr典例若集合A =x|ax2+ 3x+ 2 = 0中至多有1个元素

9、，求实数a的取值范围.解假设集合A中含有2个元素，即ax2 + 3x+ 2 = 0有两个不相等的实数根，则aM 0,99解得a<9且aM0，则此时实数a的取值范围是aa<9且aM0.在全集U = R!_= 9 8a> 0,88中，集合 卡a< 9且a M 0”补集是a> |或a= 0所以满足题意的实数a的取值范围是8+,0.补集思想的解题方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3) 取反面问题对应的参数范围的补集.活学活用已知集合A= y|y>a2+

10、1,或y< a, B = y|2< yw 4，若An Bm ?，求实数a的取值范 围.inu 24 o+L F解：因为 A= y|y> a2+1,或 y< a, B= y|2< yw 4，我们不妨先考虑当A n B = ?时a的取值范围，如图所示.,aw 2,/曰 jaw 2,由i 2得厂厂a+ 1 A 4,la或 a w 西,故aw寸3或寸3w aw 2.即A n B= ?时，a的取值范围为 a w 眉或寸3 w aw 2,故A n BM ?时，a的取值范围为a|a> 2,或一a< 3.二、课后练习层级一学业水平达标1 设集合 U= 1,2,3,4,

11、5, A= 1,2 , B = 2,3,4，则？u(AU B)等于()A- 2B. 5C. 1,2,3,4D. 1,3,4,5解析：选 B / A = 1,2 , B= 2,3,4 , a A U B= 1,2,3,4.又 U = 1,2,3,4,5 , a ?u(AU B)= 5.2.已知集合 A= x R| 2< XV 6, B = x R|xv 2，则 AU (?rB)=()A. x|x< 6B. x| 2< x< 2C. x|x > 2D. x|2W x< 6解析：选 C 由 B= x R|x< 2，得?rB= x|x> 2.又 A= x

12、 R| 2< x< 6，所以 A U (?rB) = x|x> 2.)Q? PQ? ?rP P =x|x< 1, a ?rP =x|x1,3若 P = x|x< 1, Q= x|x> 1，则(A. P? QB.C. ?rP? QD.解析：选C又 Q = x|x> 1, a ?rP? Q.4已知全集 U = 1,2,3,4,5,6,7 , A= 3,4,5 , B= 1,3,6，那么集合2,7是()A. AU BB. An BC . ?u(A n B)D. ?u(AU B)解析：选 D / A = 3,4,5, B= 1,3,6 a AU B = 1,3

13、,4,5,6又 U = 1,2,3,4,5,6,7 a ?u(AU B)= 2,7.5.已知 A= x|x + 1>0, B= 2, 1,0,1，贝U (?RA)n B =()A. 2, 1B. 2C. 1,0,1D. 0,1解析：选 A 因为 A= x|x> 1，所以？rA = x|x< 1，所以(?rA) n B = 2, 1.6.设全集为U，用集合A, B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.f/(1)； (2).答案：(1)? u(AU B) (2)( ?uA) n B7.已知全集 U = x|x> 3，集合 A= x| 3< xW 4，则?uA=.解

14、析：借助图形可知？uA= x|x = 3或x>4.答案：x|x = 3 或 x> 4&已知全集 U = 2,3, a2 a 1, A= 2,3，若？uA= 1，则实数 a的值是.解析：/ U = 2,3, a2 a 1, A = 2,3, ?uA = 1,a2 a 1 = 1，即 a2 a 2 = 0,a a= 1 或 a= 2.答案：1或2m|m< 11,或 m> 3.U = x|xw 4,集合 A= x 2< XV 3, B= x 3< x< 2，求 A n B, ? ?u(AU B)./ A = x| 2< x< 3, B =

15、 x| 3W x< 2, U = x|x< 4,9 .已知集合 A= x| 2< x< 3, B= x|m< x< m+ 9，若(?RA)n B= B.求实数 m范围. 解：？rA= x|xW 2,或 x> 3，由(?rA) n B= B,得 B? ?rA , m+ 9 W 2,或 m >3.故m的取值范围是10.已知全集uAU B, A n ?uB,-3 -2 -1 0 12 S 4解：如图所示.- ?uA = x|xW 2,或 3W xW 4, ?uB= x|x< 3，或 2< xW 4, AU B=x| 3W x< 3.

16、A n B= x| 2< xW 2, (?uA)U B= x|xW 2,或3W xW 4, An (?uB)= x|2< x< 3, ?u(A U B) = x|x< 3，或 3W xW 4.层级二应试能力达标1.设全集 U = M U N = 1,2,3,4,5 , M n (?uN)= 2,4，则 N =()A. 1,2,3B. 1,3,5C . 1,4,5D . 2,3,4解析：选B由M n (?UN) = 2,4，可得集合N中不含元素2,4,集合M中含有元素2,4,故N=1,3,5.8®0N n ( ?iM)= ?，贝U M U N 等于()5.设全集

17、U是实数集R, 所表示的集合为.2. 已知全集U = Z,集合A = 0,1 , B= 1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A . 1,2B . 1,0C . 0,1D . 1,2解析：选A 图中阴影部分表示的集合为(？uA)n B,因为A = 0,1 ,B = 1,0,1,2,所以(？uA) n B= 1,2.3. 设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( 若 An B = ?，则(？sA) U (?sB)= s； 若 AU B = S,则(?sA)n (?sB)= ?; 若 AU B = ?，则 A = B.A . 0B . 1C . 2D . 3解析：选A 如图，(?sA

18、) U (?sB)= S,正确. 若 AU B = S,则(?sA) n (?sB)= ?s(AU B) = ?，正确. 若AU B = ?，贝U A= B= ?，正确.4.已知M , N为集合I的非空真子集，且 M , N不相等，若A. MB . NC . ID. ?解析：选A 根据题意画出 Venn图，由图可知 M U N = M.M = x|xv 2,或x > 2, N = x|1w x < 3，如图所示，则阴影部分或 x> 2，N= x|1w xw 3, x> 1.解析：/ M = x|x< 2, M U N = x|x< 2，或阴影部分所表示的集合为?u(M U N)= x| 2W x< 1.答案：x| 2< x< 16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱 ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 人.解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15 x +x+ 10 x + 8= 30?