25空间的平行与垂直关系

1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编20:空间的平行与垂直关系(教师版)填空题1 .已知，m是两条不同的直线，：，是两个不同的平面，有下列四个命题：若丨-,且二】，则I _ ：;若丨_ 一：，且/ -,则I _;若 I I -，且 | -，则 I / ：;- = m，且 I / m，则 I / ：.则所有正确命题的序号是 .【答案】2 .给出下列命题:(1) 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；(2) 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；(3) 若两条平行直线中的一条垂直于直线m那么另一条直线也与直线m垂直；(4) 若两个平面垂直，那么一个平面

2、内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 .【答案】1、 3、 43 .已知mn是两条不同的直线，a， 3是两个不同的平面. 若 m a，ml 3，则 a 丄 3 ;若 m a，a n 3 =n，a 丄 3，则 mL n；若 m a，n 二 3，a / 3，则 m/ n;若 ni/ a，m 3，a n 3 =n，则 m/ n.上述命题中为真命题的是 (填写所有真命题的序号).【答案】4 .设m，n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题:若m = n mum，则n丄a ;若口丄 m，则n丄a：若 n /，m ?，则 n / m ；若 m / ：，n / ：，

3、则 m / n.其中真命题是 (写出所有真命题的序号).【答案】5 .现有如下命题:过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内则所有真命题的序号是6 .在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列四个命题：(1)若 aUb,b|_c,则 al c(2)若 a_b,b_c,则 a_c(3)若 aL|,叩,则 aJb(4)若 a_,b_,则 aJ b【答案】7 .已知a , 3为平面，m n为直线，

4、下列命题:若m/n, n / a ,则m/a ;若mla ,ml3 ,贝Ua / 3 ;若 a A 3 =n, m/ a , m / 3 ,则 m/ n;若 a 丄 3 , ml a , nl 3 ,则 ml n.其中是真命题的有 .(填写所有正确命题的序号)【答案】8 .已知两个平面a , b ,直线l A a ,直线m i b ,有下面四个命题a B二丨丄m; a丄0 =>lm;丨丄mlm=a丄0.其中正确的命题是.【答案】、9 .设mn是两条不同的直线，二，：，是三个不同的平面，给出下列命题: 若 m 二,，|，则 m _; 若 m :，m _ 1 ,则：; 若_ 1 ,_ ,则丄

5、厂; 若： p|= m,：门=n , m/n ,贝U.篇/.上面命题中，真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).【答案】10. 以下5个命题:(1) 设a, b , c是空间的三条直线,若a_c,b_c,则a/b;(2) 设a, b是两条直线，是平面，若a _ :- , b.I壽，则a/b ;(3) 设a是直线，：，1是两个平面，若a _ ，壽】,则a / ：；(4) 设:-,:是两个平面，c是直线，若c _ :- , c匸,则/ :;(5) 设，-,是三个平面，若，1 ,则/<-.其中正确命题的序号是.【答案】若 m/n,m _ -,则 n _ -；.若 m/ot,m/3,则 a /

6、0 ；【答案】12.设a b是两条不同的直线，：、若 a _ b,a .1 二,则 b/，若 a/ ,a _ :,则-1：,其中正确的命题序号是BED【答案】11. 设m, n是两条不同的直线，：，-是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是.若 m n, m/ -,则 n/ ：；.若n - :- ,n :,则二匚.是两个不同的平面，则下列四个命题若a _】,则a/，若 a _ b, a .1 二，b,则l -,【答案】;解答题13.如图，在四棱锥P -ABCD中，PA丄平面ABCD, AC _ BD于O.(I)证明：平面PBD丄平面PAC ;(I)证：因为PA _平面ABCD,BD 平面 AB

7、CD, PA_BD又AC BD , PA, AC是平面PAC内的两条相交直线BD _ 平面 PAC ,而BD 平面PBD ,所以平面PBD丄平面PAC第3页，共29页(n)证：AC _ BE , AC _ BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,.AC _平面BED ,连接 EO, EO 二平面 BED, AC_EO,/ PA 丄平面 ABCD, AC 二平面 ABCD , AC _ PA,又 AC,PA, EO 共面，.EO/PA,'又 PA 二平面 BED , EO 二平面 BED , . PA/ 平面 BEDj314. 在三棱锥S-ABC中,SA _平面ABC,

8、SA=AB=AC BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且 3AE=4DE点M是线段SD上一点，(1)求证：BC_ AM若AM_平面SBC,求证:EM |平面ABS【答案】(1) I A&ACD是BC的中点， ADL BCSA_ 面ABCBC 面 ABCSA_ BCAD 一 SA 二 ABC丄平面SAD AM 面 SAD -BC _ AM(证到SA!平面SAD得 5分)(2) AM_ 面 SAB= AM SDSM =4MDAE =4DEME /SASA 乂平面ME U 平面 ABSEM/ 面 ABS(证到 SM4MD# 10 分，得到 MEI SA得 12 分.)415. 如

9、图，四棱锥P-A BCD中，底面ABCD为菱形,BD丄面 PAC,A C=10,PA=6,cos/ PCA= ,M是PC的中点.5(I )证明PC!平面 BMD;(n )若三棱锥 M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.第#页，共29页【答案】161 別？丄离陀匸 * PACBD.中臥昭板r讥料H丹乂曲*4 C-2PC M C砂£期.ff 36*.PC-S, AFt斗"¥ '丄* *" * " i »+ * *-»*+,44 蛀 WOb*. W 4甩询中点旧址冲（：怜中球. .PClMOr 丈. BDriMOa

10、O,+ * HMD.e n jit：vvei3 ；咅血；月Dxi/Oxyij* "*+”+“*“*“一“.=0*-细斗吩4川PA =31EQte7*宇 * ".LI. mj2【蔓谢 4的 ii 崔 /IO+tWP =奇16. 如图，在四棱锥 P-ABCD中 ,PDL底面ABCDADL AB CD/ ABAB 二. 2AD = 2 , CD = 3 ,直线 PA与底面ABCD所成角为60° ,点M N分别是PAPB的中点(1)求证：M/平面PCD求证：四边形MNC是直角梯形；求证：DN _平面PCB【答案】证明：(1) 因为点 M,N分别是PA,PB的中点，所以MN

11、 / AB 因为 CD / AB,所以 MN / CD.又CD 二平面PCD, MN 二平面PCD,所以MN /平面 PCD(2) 因为 ADL ABCD/ AB 所以 CDL AD又因为PDL底面ABCDCD二平面ABCD所以CDL PD又Ap PD二D ,所以CDL平面PAD因为MD 平面pAd所以CDL MD所以四边形MNC是直角梯形(3)因为PDL底面ABCD所以/ PAD就是直线PA与底面ABCD成的角，从而/ PA= 60 在 Rt PDA 中,AD =厂2 , PD =. 6 , PA =2、2 , MD =匸2 .在直角梯形 MNC中,MN =1 , ND = 3, CD =3

12、, CN =MD 2一(CD 二 MN )2 = ：；6 ,从而 DN 2 CN2 二 CD2,所以 DNL CN在 Rt PDB 中,PD= DB= .6 , N 是 PB的中点,则 DNL PB又因为|PB CN二N ,所以DN _平面PCB17.如图，已知斜三棱柱 ABCABC中，AB=AC D为BC的中点.(1) 若平面 ABCL平面BCCB,求证：ADL DC；(2) 求证:AB平面ADC(第16题)【答案】证明：(1)因为AB=ACD为BC的中点，所以ADL BC因为平面 ABC平面BCCB,平面ABCn平面BCCB=BCAD平面ABC 所以ADL平面BCGB因为DCu平面BCCB

13、,所以ADL DC(2)(证法一)连结AC交AC于点O连结0D则0为AC的中点因为D为BC的中点，所以OD/AB因为0D平面ADCA1B/平面ADC所以AB/平面ADC(证法二)取BC的中点D,连结AD, DD DB则DCBD所以四边形BDCD是平行四边形所以DB CQ第6页，共29页因为CE平面ADC DB平面ADC所以DB平面ADC同理可证 AiDi/平面ADC因为 ADu平面 ABD, DBu平面 ABD, AD n DB=D, 所以平面ABD/平面ADC因为AiB平面 ABD,所以AiB/平面ADCA（第16题图）CiB（第16题图）18.如图的几何体中，AB _平面ACD , DE

14、_平面ACD, ACD为等边三角形，AD = DE2AB , F为CD的中点.（1）求证：AF /平面BCE ；求证:平面BCE _平面CDE .【答案】（1）证明：取CE的中点G ,连结FG、BG .1 GF =DE/ F 为 CD 的中点，. GF / DE 且 2./ AB丄平面ACD, DE丄平面ACD,1AB = DE.AB/ DE . GF / AB 又 2 GF=AB四边形GFAB为平行四边形，则AF / BG .BFEDAF 平面 BCE , BG u 平面 BCE , AF / 平面 BCE证明： ACD为等边三角形，F为CD的中点，. AF 一 CD/ DE _ 平面 AC

15、D, AF 平面 ACD , . DE _ AF .BG / AF . BG 丄 DE, BG 丄 CD 又 CD c DE = D BG _ 平面 CDE ./ BG 平面 BCE , .平面 BCE _ 平面 CDE19.如图，在直三棱柱 ABGABC中，AE=AC点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC上,且AC=4AF(1)求证：平面ADFL平面BCGBi；求证：EF /平面ABEA.【答案】 证明:(1) 因为直三棱柱 ABGABC,所以CC丄平面ABC 而AD平面 ABC所以CC_AD又AB=AC D为BC中点，所以ADBC,因为 BC CC=C, BC 平面 BCGBi, CC

16、 平面 BCGBi, 所以AD平面BCCB,因为AD平面ADF所以平面 ADFL平面BCGB 连结CF延长交AA于点G连结GB因为 AC=4AFAA CC,所以 CF=3FG又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB 所以EF/ GB而EF二平面ABBA GB二平面ABBA所以EF /平面ABBA20.如图，四棱锥P - ABCD的底面是直角梯形，AB /CD , AB _ AD , .IPAB和 PAD是两个边长为 2 的正三角形，DC =4,0为BD的中点，E为PA的中点(1) 求证：0E /平面PDC ;(2) 求证:平面PBD _平面ABCD .【答案】.（ar为x的中pf,

17、 afABLAD, AB = ADt 测DC* 二習边ABFD为正方形+*2分 "为BD的中点，：*0为*F,RD的交点，化0为材的中点T E为丹中点.A QE/IPF t V分VO£(t 平血FDC,尸FU平ilPDCf；OEM 平面 PDC. 7分<n)普0为ED的中点，PD-PB=2tJ- P0 丄 RD* - 8SbVyf AD2+ ABJ =2妃:* POuQpe'.Q =巨 A0 = -BD = 2t2在三角PAO申，PgAgPC =P0丄#0 M)分r"OpBD=a ：P0丄平面初仞 口分PO C 平SlPBOA 平面 PSD 1 平曲

18、 AUCD 14分21.如图，在四棱锥 P ABCD中,平面PAB _平面ABCD , BC/平面PAD . PBC =90,-PBA =90求证：(1) AD/ 平面 PBC ; (2) 平面 PBC _ 平面 PAB.（第 16 题）【答案】【证】 因为BC平面PAD而BC 平面ABCD平面ABCD平面PAD= AD 所以BC/ ADP因为AD二平面PBCBC二平面PBC所以AD /平面PBC(2)自P作 PH丄AB于H因为平面PAB丄平面ABCD ,且平面PAB I 平面 ABCD =AB 所以PH 平面ABCD因为 BC 平面 ABCD所以 BC_PH因为.PBC -90 ,所以 BC

19、_PB而WPBA =90',于是点H与B不重合，即PBI PH = H因为PBPH 平面PAB所以BC_平面PAB因为BC二平面PBC故平面PBC平面AB22.如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中,已知平面 AAjCjC _平面ABCD,且AB=BC=CA=73 ,AD =CD =1 .(1) 求证：BD _ AAi；(2) 若E为棱BC的中点，求证：AE /平面DCC勺Dj .【答案】在四边形 ABCD中,因为BA二BC , DA二DC ,所以BD _ AC ,又平面AACQ _平面ABCD ,且平面AAC1Cr平面ABCD二AC ,BD 平面ABCD ,所以BD _平面

20、AAC ,又因为AA 平面AAGC,所以BD _AA在三角形 ABC中，因为AB = AC ,且E为BC中点，所以AE _ BC ,又因为在四边形 ABCD中，AB =BC二CA- 3, DA = DC =1,所以.ACB =60 , . ACD =30 ,所以 DC _ BC ,所以 AE 二 DC ,因为DC 平面DCC1D1, AE二平面DCC1 D1,所以AE二平面DCC1 D123.如图，AB, cd均为圆O的直径，CE _圆O所在的平面，BF二CE .求证:平面BCEF丄平面ACE ;直线DF 平面ACE .【答案】因为CE _圆0所在的平面，BC二圆0所在的平面 所以CE _ B

21、C ,因为AB为圆0的直径，点C在圆0 上,所以AC _BC , 因为 AC "CE =C , AC,CE 平面 ACE ,所以BC _平面ACE ,因为BC 平面BCEF ,所以平面BCEF 平面ACE由AC _ BC ,又因为CD为圆O的直径， 所以BD _ BC ,因为AC ,BC , BD在同一平面内，所以ACBD,因为BD二平面ACE , AC二平面ACE ,所以BD二平面ACE 因为BF CE ,同理可证BF二平面ACE ,因为 BDP1BF =B, BD,BF 平面 BDF ,所以平面 BDF二:平面ACE ,因为DF 平面BDF ,所以DF 平面ACE24如图，在四棱

22、锥P -ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA二PC , E为PB的中点.(1)求证：PD /面AEC ；(2)求证：平面AEC 平面PDB .4第13页，共29页【答案】 证明：设ACBD =0 ,连接E0,因为0,E分别是BD,PB的中点,所以PD/ E0而PD広面AEC, E0匚面AEC,所以PD/面AEC连接P0,因为PA二PC ,所以AC P0 ,又四边形ABCD是菱形，所以AC BD而 P0 面 PBD , BD 面 PBD , P0RBD =0,所以 AC面 PBD又AC 面AEC ,所以面AEC _面PBD25.在正方体 ABCD-ABCD中,0是AC的中点,E是线段 D0上一

23、点，且DE=入E0(1) 若入=1,求异面直线DE与CD所成的角的余弦值；(2) 若平面 CDEL平面 CD0,求入的值.第17页，共29页【答案】 不妨设正方体的棱长为 1,以DA, DC ,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz.则 A(1,0,0), Og , ,2, 0), C(0, 1, 0)D(0,0,1), E(寸,4 , 11 ), CD1 =(0, -1, 1 ).DE CD13|DE|CD1|6所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为nr C0=0, m- CD1 =0设平面CD0的向量为n=(xi, yi,zi),由|1_丄=0得2 y1'取 X1=

24、1,得 y1=Z1=1,即 m=(1,1,1 ).十乙=0，由 DE=入 EQ贝U EC_L_, _L_，丄 1, dE 邛_乙,L，丄 1(2(1+扎)2(1+几)1+扎丿(2(1+打 2(1 +九)1+化丿又设平面CDE勺法向量为n=(X2, y z2),由n CD=0,n dE=0.4-y2 =°，得x2 y2z2取 X2=2,得 Z2=-入，即 n=(-2,0,入).2 - =0,2(1 )2(1 ，) 1 - 因为平面CDEL平面CDF,所以m- n=0,得入=2.26.如图,在四棱锥 P- ABCD中 ,四边形ABCD正方形,PA!平面ABCDE为PD 的中点求证：(1)

25、 PB/平面 AEC(2) 平面PCD_平面PADD【答案】 证明：连BD,AC交于Q. T ABCD是正方形1 AQ=QC, QCd AC2连EQ,则EQ是三角形PBD的中位线.EQ / PBEQ二平面AEC PB/平面 AEC(2): T PA_平面 ABCD CD_ PA/ ABCD是正方形 AD_ CD CD_平面 PAD平面PAD_平面PCD27 .如图，在三棱柱ABG - ABC中，已知E , F , G分别为棱AB , AC , AG的中点，一 ACB = 90°, A)F _ 平面 ABC , CH _ BG , H 为垂足.求证:(1) AE平面 GBC; (2)

26、BG 平面 ACH .Bi【答案】(I)证Ijlh 取BQ中点-EM =-ACt EM / AC i 11/=# 仁妁/<“ 2 1:、辭H EM、4GE肘电* 斗£蛋 di G&C ” GW c lie GBC. L “ 廿湎 Wy井1档:二鴉特片冲叫耳时T曲中.q f井别丸斗GMCF也- MG h . _.耳斗曲召叱；帆边"FOG为平打閤边阳$/ CC T 井"丄平呱胆心丄乎血肌"Mu平也氐+“1© 分富CB丄丿厂亠*<丄t CG,cfi c Tittl GCB，gflUBY *' -L TEltiflCC &#

27、187;十十口 fir又 “ SG c 半 liiMG 讥 M 丄 AG ,liftf+/lCG. ItACryCHC, AC,CJt c till ACH ,HtBG 丄屮面4CH, "*14 井28. 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2t PC中点.求证:PA/平面 BDE; 求证：平面PBCL平面 PDC.【答案】证明 连接AC交BD于0,连接EO, PO四边形ABCD是菱形， 0是AC中点,又 E 为 PC 中点. PA / E0又 E0 面 BDE , PA 二面 BDE PA / 平面 BDE在 PAC 中，易得 AO =C

28、0 = P0 = /3 . APC 二 90 , PC 二 2 2在厶PDC中可求得DE = . 2 ,同理在 PBC中可求得BE = . 2在厶BDE中可得.BED =90 ,即BE丄DE又 PB 二 BC , E 为 PC 中点， BE 丄 PCBE丄面PDC ,又BE 面PBC 平面PBC _平面PDC29. 如图，四边形 ABCD为矩形，AD丄平面 ABE , AE = EB = BC = 2, F为CE上的点，且BF丄平面 ACE .(1) 求证：AE丄BE;(2) 求三棱锥 D AEC的体积；(3) 设 M在线段 AB上，且满足 AM = 2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN

29、 /平面DAE .【答案】 解 (1)v AD丄平面ABE , AD / BC , BC丄平面 ABE，贝U AE丄BC .又 BF丄平面 ACE , AE丄BF , AE丄平面BCE .又 BE 平面 BCE , AE 丄 BE .Vd/ec 二 Ve/dc =1vejbcd 二丄-2、2 22 =4(2)22 33 .(3) 在三角形 ABE中，过 M点作MG / AE交BE于G点，在三角形 BEC中，过 G点作GN / BC交EC于N点，连MN，则由比例关系易得CN = 3-CEMG / AE , MG 二平面 ADE, AE 平面 ADE ,第17页，共29页 MG /平面 ADE，同

30、理，GN /平面 ADE , 平面 MGN /平面 ADE .又 MN 二平面 MGN , MN / 平面 ADE , N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.30 .如图，在四棱锥PABC中,PA_平面ABCD四边形 A B C D是平行四边形，且AC _CD , PA =AD , M , Q 分别是 PD , BC 的中点.（1）求证：MQ二平面PAB ;（第16题图）（第 16题图）因为M是PD的中点，所以ME二AD , M-AD,2又因为Q是BC中点,所以BQ二丄BC ,2因为四边形 ABCD是平行四边形；所以BC 1AD ,所以BQ丄ME ,所以四边形MQBE是平行四边形,所以MQ二

31、BE .因为BE 平面PAB,MQ 二平面 PAB,所以MQ二平面PAB因为PA _平面ABCD , CD二平面ABCD ,所以 PA _CD ,又因为 AC _CD , PA" AC 二 A,PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC ,所以CD 平面PAC ,又AN 平面PAC ,所以AN _CD又 AN _ PC , PC DCD 二C , PC 二平面 PCD , CD 二平面 PCD ,所以AN _平面PCD ,又PD 平面PCD ,所以AN _ PD ,又PA二AD , M是PD中点，所以AM _ PD ,又AM "AN =A, AM 平面AMN , AN

32、平面AMN ,所以PD _平面AMN , 又MN 平面AMN ,所以MN _ PD如图，在直三棱柱ABC-ABQ中，E分别是棱BC,CC的点(点D不同于点C ),且AD _DE，F为BG的中点.求证:(1)平面ADE _平面BCGB,；(2)直线AF /平面ADE.【答案】 证明: ABCAEG是直三棱柱，CG丄平面ABC .又 AD 平面 ABC , CG _ AD .又 t AD _ DE , CG, DE 平面 BCC1B1, CG Pl DE = E , . AD _ 平面 BCC1B1 .(lb ylfx)又 AD 平面ADE, 平面ADE_平面BCC1B1. AiBi =.Api,

33、 F 为 B1C1 的中点， AF _ B1C1.又 CC1 I 平面 ABG ,且 A|F 二平面 ABG , CC1 I AiF .又.CG, BG u 平面 BCG B1, CC1 门 BQ1 = G , A F I 平面 A BiG .由(1)知,AD _ 平面 BCC1B1, A1F / AD .又: AD 平面 ADE, A1F f 平面 ADE , 直线 A1F / 平面 ADE32.如图，在正三棱柱 ABGABG中，AA=Q2aCDEF分别为线段 ACAA GB的中点(1)证明：EF/平面 ABC(2)证明：CE丄平面BDEEAA1【答案】证明(1)如图，取BC的中点G连结AG

34、FGA1EA(第 16 题)第29页，共29页1因为F为CB的中点，所以FGj -CC一 2在三棱柱 ABGABC中,AAE CC且E为AA的中点,所以FGEA所以四边形AEFG1平行四边形所以EF/ AG因为EF二平面ABCAG平面ABC所以EF/平面ABC 因为在正三棱柱 ABCABC中，AA丄平面 ABCBD平面ABC所以AA丄BD因为D为AC的中点，BA=BC所以BDL AC因为AiAn ACA A Au平面AACCAU平面AACC所以BDL平面 AACC因为C E平面AiACC所以BDL C E根据题意，可得EB=Ci E=¥aB G B= , 3AB所以 EB+Ci E2

35、=Ci B2-从而/ CEB=90° ,即 CEL EB因为 BDH EB=B, BDu平面 BDE EBu平面 BDE所以C E丄平面BDE33.如图，在三棱锥P - ABC中，BC _平面PAB .已知PA = AB，点D , E分别为PB , BC的中点 (i )求证：AD _平面PBC ;AF(2)若F在线段AC 上,满足AD /平面PEF ,求的值.FC【答案】s:r-ir - - -+- -:；xr：34 在直三棱柱ABC-ABC中，AB_BC, D为棱CG上任一点.(1)求证：直线A B /平面ABD ;求证：平面ABD丄平面BCClBl.【答案】证明：由直三棱柱ABC

36、-ABC,得ABJ/AB而EF二面ABD,AB面ABD ,所以直线EF /平面ABD因为三棱柱ABC - ABQ为直三棱柱，所以AB _ BB ,又AB _ BC,而 BB匚面 BCGBi BC u 面 BCG Bi 且 BBi BC = B 所以 AB 丄面 BCG Bi又AB 面ABD ,所以平面ABD丄平面BCCiBi35.如图，在直三棱柱ABCAiBiG中，AC丄BCBcmBbpd为AB的中点(1) 求证:BG _平面ABC ；(2) 求证：BG /平面ACD .【答案】(i)因为在直三棱柱 ABC - AG中，所以CG _平面ABC ,C因为AC 平面ABC ,所以CG _ AC ,

37、又 AC _ BC , CG BC 二 C ,所以 AC _ 平面 B1C1CB ,因为BCi平面BiCiCB ,所以BG _ AC又因为BC BB-所以BB1C1C是正方形，所以BG _ BC ,又 B1C AC 二 C ,所以 BC1 _ 平面 ABC ,在正方形A1C1CA中，设AG AC二G,则G为AG中点，D为AB的中点，结DG ,在 ABC1中，BC1 / DG ,因为DG二平面A1CD, BG二平面ACD,所以BC1 /平面A1CD ,36.如图，在四面体ABCD中，BC _面ACD , DA = DC , E、F分别为AB、AC的中点.(1)求证：直线EF /面BCD ；求证:

38、面DEF丄面ABC .【答案】证明：/ E、F分别为AB、AC的中点，.EF / BC又 BC 面 BCD , EF 二面 BCD ,.直线 EF / 面 BCDDA = DC ,点 F 为 AC 的中点，.DF _ AC又 T BC 丄面 ACD , DF u 面 ACD ,二 DF 丄 BC , ” DF 丄面 ABC又DF 面DEF .面DEF丄面ABC37.如图，已知空间四边形 ABCD中，BC =AC, AD =BD , E是AB的中点C求证:AB _平面CDE;平面CDE _平面ABC .(3)若G为.ADC的重心，试在线段AE上确定一点F,使得GF/平面CDE.【答案】BC =

39、AC血=BD【答案】证明:(1)同理，DE_AB-4E-BE'AEBE又、：CEDE = E几.45 一平面 CDE、分(2) 由(1)有M -平面CDE又 TAB 二平面.4BC,二1FffiCDE 一1F®.掳 C9 分(3) 连接AG并延长交Q于已 连接EH,则 GH 1在AS上取点F使得二_ =二，则GF/EH,易知GF"平面CD三14分FE 138.如图，在正三棱柱 ABGABC中，E是侧面AABB对角线的交点，F是侧面AAC C对角线的交点，D是棱BC 的中点求证：(1) EF / 平面 ABC2)平面 AEFL平面 AADC【答案】解：(1)连结AB和

40、AC.因为E、F分别是侧面 AA1B1B和侧面AAGC的对角线的交点， 所以E、F分别是AB和AC的中点.所以EF / BC又BC二平面ABC中，EF ?平面ABC中，故EF /平面ABC 因为三棱柱 ABCABG为正三棱柱，所以A|A _平面ABC，所以BC _ AA.故由 EF/BC，得 EF _AA又因为D是棱BC的中点，且 ABC为正三角形，所以BC _ AD .故由 EF/BC，得 EF _AD而A：A AD =A，AA AD匚平面AAD，所以EF丄平面AD又EF二平面AEF，故平面 AEF 平面 AAD 39 .如图,四边形 ABC为正方形,在四边形 ADPQ 中,PD/QA .又QA丄平面1A B C,DQA = AB PD .2(1) 证明：PQ丄平面DCQ ;(2) CP上是否存在一点 R,使QR/平面AB