2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

1、层级一学业水平达标1.若点P到原点的距离为2,点P在原点的左侧，则点P的坐标为（）D .不确定解析：选B设点P的坐标为X,则|x|= 2,由点P在原点的左侧，可知 x= 2.2.数轴上三点A,B, C,已知AB= 2.5, BC = -3,若A点坐标为0，则C点坐标为（）A. 0.5B. - 0.5C. 5.5D. 5.5解析：选B由 Xb 0 = 2.5 得 XB= 2.5,17由 Xc Xb=3 得 xc= 0.5.3.已知数轴上两点A, B,若点B的坐标为3,且A, B两点间的距离d（A, B）= 5，则点A的坐标为（D . 8或一2解析：选D记点 A(xi), B(X2),贝U X2=

2、 3, d(A, B)=|AB|=|X2 xi|= 5，即 |3 xi|= 5,解得xi= 2 或 xi = 8.4.在数轴上从点 A（ 2）引一线段到B（1），再同向延长同样的长度到C,则点C的坐标为（）A . 13解析：选C 如下图所示，故C（4）为所求.-4 -3 -2 -1 () 1 2 S d5. 在数轴上，已知任意三点 A, B,O,下列关系中，不正确的是 （）A . AB= OB OAB . A0+ 0B+ BA = 0C . AB= AO + OBD . AB+ AO+ BO = 0解析：选 D OB OA = OB + AO = AO+ OB = AB,AB= OB OA，故

3、选项 A正确；选项 B、C显然正确；AB+AO+ BO= 2AO丰0,故选项 D不正确.6. 已知数轴上点A, B的坐标分别为X1, X2,若X2=- 1,且|AB|= 5,则xi的值为解析：|AB|= |X2 X1|= 5，即 |X1 + 1|= 5，解得 X1= 6 或 X1= 4.答案：6或47. 已知数轴上一点 P(X),它到点A( 8)的距离是它到点B( 4)的距离的2倍，则x=解析：由题意，得d(P, A) = 2d(P, B),16| 8 x|= 2| 4 x|,解得 x= 0 或 x=.答案：0或y;已知点N的坐标为2, |MN|&在数轴上，已知点 B的坐标为3, AB

4、 = 4,则点A的坐标为=1，则点M的坐标为解析：设点 A 坐标为 X. AB = 3 x= 4,.x = 1.设 M 点坐标为 y.v|MN|= |2 y|= 1, Ay= 1 或y= 3.答案：11或3 9.在数轴上，讨论点 A(3a + 1)与点B(1 2a)的位置关系.解：当3a+ 1> 1 2a,即a> 0时，点A在点B右侧;当3a+ 1 = 1 2a，即a= 0时，点A与点B重合;当3a+ 1< 1 2a，即av 0时，点B在点A右侧.10.已知M , N , P是数轴上三点，若|MN|= 5, |NP|= 2,求d(M , P).解：因为M , N, P是数轴上

5、三点，|MN|= 5, |NP| = 2.(1)当点P在点M , N之间时(如图所示).d(M , P) = |MN| |NP| = 5 2 = 3.(2)当点P在点M , N之外时(如图所示).d(M , P) = |MN |+|NP| = 5+ 2 = 7.综上所述：d(M , P) = 3 或 d(M , P)= 7.层级二应试能力达标1在数轴上，已知 A, B, C三点的坐标分别为 x,2x,3 X,若使AB+ CB>AC，则实数x的取值范围是（）B. x> 1C. XV 3解析：选 B AB + CB> AC,.由向量坐标公式，得(2x x) + 2x (3 X)&

6、gt;(3 x) x,解得x > 1,故选B.1个单位，点A, B,2.如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距C, D对应的数分别是整数 a, b, c, d,且d 2a = 10,那么数轴的原点应是（）解析：选B用排除法，如原点为 A,则a = 0, d= 7, d 2a = 7丰 10,排除A，同样的方法,排除C、D;当B为原点时，a= 3, d= 4, d 2a= 4 2X ( 3) = 10,满足条件，故选 B.3.数轴上点P,M , N的坐标分别为一 2,8, 6,则在 MN = NM :MP = 10;PN = 4中,正确的表示有（）A. 0个解析：选C 数轴上的两点

7、对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN = NM 不正确，MP = 10, PN = 4 正确.4.设数轴上三点 A, B, C,点B在A, C之间，则下列等式成立的是 （）| AB CB 1=1 ABI|CB|AB + CB|= I AB I + |CB| AB CB |=| AB|+ |CB | AB + CB |= | AB CB|解析：选C 根据A, B, C三点的相对位置可知,|AB CB |= |AB + BC |= |AC |= | AB| + |CB|,故 C 成立.5.已知数轴上两点 A（a）, B（5.5），并且d（A, B） = 7.5，贝U a=,

8、若 AB = 7.5，贝U a=解析：/d(A , B) = 7.5 , |5.5 a| = 7.5 ,解得 a = 2 或 a = 13.若 AB = 7.5 ,贝U 5.5 a= 7.5 ,解得 a= 2.答案：2或13 2,|AB| + |BC6.在数轴上，已知 A, B, C三点的坐标分别为一 3,7,9，贝yAB+ BC + CA =1+ |CA| =解析：AB + BC+ CA = AC + CA= 0; |AB| + |BC|+ |CA|= |7-(-3)| + |9- 7汁3 9|= 24.答案：024 7.数轴上A , B两点的坐标分别为X1= a + b , X2= a b

9、,分别求向量AB 的坐标，BA , d(A , B),d(B, A).解：向量 AB 的坐标 AB = X2 xi= (a b) (a + b)= 2b,BA= xi X2= (a+ b) (a b) = 2b 或 BA= AB= ( 2b) = 2b.d(A, B) = |AB|= |X2 xi| = | 2b|= 2|b|,d(B, A) = d(A, B) = 2|b|.&已知数轴上的点 A, B, C的坐标分别为一1,3,5.(1)求AB , BA, |AB|, |BC|,|AC|;(2)若数轴上还有两点E, F ,且 AE = 8,CF = 4，求点E , F的坐标.解：(1

10、)AB = 3 ( 1) = 4;BA= AB = 4;|AB|= |3 ( 1)| = 4;|BC|= |5 3|= 2;|AC|= |5 ( 1)| = 6.(2)设E , F点的坐标分别为xe ,Xf.AE = 8, axe ( 1) = 8，得 xe = 7.X1 + X221.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“X”)CF = 4,.xf 5= 4,得 XF = 1.故E, F两点坐标分别为7,1.2. 1.2 平面直角坐标系中的基本公式课前门上学习-基稳'能楼*6预习课本P6871,思考并完成以下问题1两点间距离公式是什么?2中点坐标公式又是什么?(1)A,

11、B两点的距离与A, B的顺序无关(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序答案：(1)2(2) V2.设A(3,4)，在X轴上有一点P(x,0)，使得|PA|= 5,则X等于D. 0或一6答案：C3.点P(2, 1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为A. (1,5)(4,9)C. (5,3)(9,4)答案：B帰堂讲练设计举能通类题題型一两点的距离公式(1)已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(4,1),B( 3,2), C(0,5)，则 ABC 的周长为(W2162C . 122(2)若A( 5,6), B(a, 2)两点的距离为10,则a =解析(1) A(4,1) , B( 3,2), C

12、(0,5),|AB|=#(- 3- 4 2+ (2- 1 2 =750= 52,|BC| = y0 - (- 32 +(5 2；2=伍=372,|AC=#(0-4 舁(5- 1 2=辰=4逅kBC 的周长为 |AB| + |BC| + |AC| =52 + 32 + 4/2 = 12返(2) |AB|= P (X1-X2 2+ (y1- Y2$=P(- 5 - a；2*©+ 2f= 10,.'a = 1 或一11.答案(1)C(2)1 或11两点的距离公式应用的两种形式(1)求到某点的距离满足某些条件的点P(x, y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x, y的方程或方程组，

13、解之即可.(2)利用两点的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形.还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线.活学活用已知点A( 1,2), B(2, (7)，在X轴上求一点P,使|PA|= |PB|，并求|PA|的值.解：由已知设所求点 P的坐标为(x,0),于是有|PA|= d(P, A)=#(X +1)2+(0-2$ =寸x2+2x+ 5,|P B|= d(P, B)= 寸(X- 2$ + (0-V7；2 = 寸 X2 4x+ 11 ,2 2由|PA|= |PB|,得 x +2x+ 5= x - 4x+ 11,解

14、得x= 1.所以，所求点为 P (1,0)，且 |P A|= d(P, A)=# (1+ 1 2+ (0 - 2$ = 2 也題型二"中点公式的应用典例已知三点A(x,5), B(-2, y), C(1,1)，且点C是线段AB的中点，求x, y的值;(2)求点M(4,3)关于点N(5, - 3)的对称点.rx-2I 2 = 1,解(1)由题意知I也=1I 2= 1,x = 4,解得1ty=- 3.x+ 4r=5,(2)设所求点的坐标为(X, y),则罗=-3,jx= 6,解得5故所求对称点的坐标为(6, 9).ly=- 9,盘点中点公式解决问题的类型(1)中点公式常用于求线段的中点、

15、三角形的中线长、平行四边形的对角线交点等，解决这类问题的关键是根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，从而根据中点公式解决.(2)因为两点关于其中点对称，所以利用中点公式可以解决中心对称问题.活学活用 已知ABCD的两个顶点坐标分别为 A(4,2), B(5,7)，对角线的交点为 E(-3,4)，求另外两个顶点 C, D的坐 标.解：设 C(xi, yi), D(X2, y2), E为AC的中点,X1=- 10,X1+ 4-3 = 丁4 =宁解得071 = 6.5 + X2-3=丁又TE为BD的中点,fx2=- 11, 解得丫皿=1.a型三C点的坐标为(一10,6), D点的坐标为(一11,

16、1).坐标法的应用在 ABC中，D为BC边上任意一点(D与B, C不重合)，且|AB|2= |AD|2 + |BD| |DC|.求证： ABC为等腰三角形.证明如图，作A0丄BC,垂足为0,以BC所在直线为x轴，以0A所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.D(d, 0)(bvd<c).设 A(0, a), B(b,0), C(c,0),因为 |AB|2= |AD|2 + |BD| |DC|,所以，由两点的距离公式可得b2+ a2= d2+ a2+ (d b)(c d),即一(d b)(b + d) = (d b)(c d).故一b- d= c d,即一b= c.所以 |AB|= |AC|,

17、即AABC为等腰三角形.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题;第三步：把代数运算结果翻译成几何结论.活学活用已知 ABC是直角三角形，斜边 BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明:1|AM|= 2|BC|.证明：如图所示，以 RtAABC的直角边AB, AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B, C两点的坐标分别为(b,0), (0, c).因为点M是BC的中点，故点M的坐标为特叨即IS-由两点间距离公式得|BC| = yj (0 b许(c- of =寸 b

18、2+ C2, |AM| =寸 g-0)+(2-0)=1 pb2 + c.1 所以 |AM|= 1|BC|.课石层级训练.步歩捉升陡力层级一学业水平达标1.已知点 A( 3,4)和B(0, b),且 |AB|= 5,则 b等于()B. 0或- 8D. 0或一6解析：选A 由寸(-3 丫+ (4-衬=5，解得b= 0或8.2.点A(2, - 3)关于坐标原点的中心对称点是()A. (3, - 2)B . (-2, - 3)C. (-2,3)D. (-3,2)解析：选C 设所求点的坐标为B(x, y)，则由题意知坐标原点是点A , B的中点，则解得x=- 2, y= 3.故选C.I-3+ yI3.若

19、点P(x, y)到两点M(2,3), N(4,5)的距离相等，则x+y的值为()D.不确定两边平方，得x + y解析：选C 由两点距离公式，得寸(X 2$+ (y 3)2=H(x 4f+ (y 5$,=7,故选C.4.已知A(x,5)关于C(1, y)的对称点是B( 2,- 3)，则P(x, y)到原点的距离为(C. Vl5解析：选D 由题意知点C是线段AB的中点,X- 2 = 2, 则l2y= 2,x = 4,5 .以 A(1,5), B(5,1), C( 9,-9)为顶点的三角形是()A.等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D.直角三角形解析：选B 根据两点的距离公式,|AB| =

20、 #(1-5 2+(5- 1 2= 472,|AC| = 7(1 + 9 2+(5+ 9f=V296,|BC| =寸(5+9 2+ (1 + 9$ =7256,|AC|= |BC|丰|AB|,.ZABC为等腰三角形.6.7.已知 A(a,6), B( 2, b),点 P(2,3)平分线段 AB，则a + b=a 2 b+ 6解析：由中点公式知2 =厂，盯=3,'a = 6, b= 0,.a + b= 6.答案：6 设P点在X轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M( 1,2)，则|PQ等于解析：设P(a,0), Q(0, b),由中点坐标公式得a+ 0=- 1,a = 2,0+ bT = 2

21、，Lb= 4,|P Q|=寸 a2+ b2= >/20= 2诟.答案：2(5若X轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5, 3)的距离相等，则点 M的坐标为解析：设 M(x,O)(x> 0),则 X2+ 02= (X 5)2 + (0 + 3)2,解得x= ¥，所以点M的坐标为 僚0)答案：0)9.已知 ABC的顶点坐标为 A(1,2), B( 2, 2), C(3,4)，求BC边上的中线 AM的长.解：由中点公式，得BC边的中点M的坐标为2+ 3 2+ 4，即 M, 1 丿d(A, M)=-2)+(2- 1 f= ylW1 =当，即BC边上的中线 AM的长为 詈.10.已

22、知 A(6,1), B(0, 7), C( 2, 3).(1)求证： ABC是直角三角形;(2)求 ABC的外心的坐标.解：(1)证明：|AB|2= (0 6)2 + ( 7- 1)2= 100,2 2 2|BC| = ( 2 0) + ( 3 + 7) = 20,2 2 2|AC|2= ( 2 6)2 + ( 3 1)2 = 80,2 2 2因为 |AB| = |BC| + |AC| ,所以ABC为直角三角形，/ C = 90 °一(6 + 0 1 7、(2)因为ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为 卜亍，2丿即(3， 3).层级二应试能力达标1.已知 A

23、BC的两个顶点 A(3,7) , B( 2,5),若AC , BC的中点都在坐标轴上，贝U C点的坐标是A. ( 3，一 7)C . (3, 5)(3, 7)或(2, 5) (2, 7)或(一3, 5)解析：选D 设C(x, y),显然AC, BC的中点不同在一条坐标轴上.若AC的中点在x轴上,BC中点在y轴上，则有y+ 7 = 0, 2+ x = 0，即C(2, 7);若AC中点在y轴上，BC中点在x 轴上，则有 3 + x= 0,5 + y= 0,即卩 C( 3, 5).2.光线从点A( 3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10),则从A到B的光线的距离为()D. 10诉解析：选C

24、 点B(2,10)关于x轴的对称点为 B (2, 10)，由光线的对称性可知，从A到B的光线的距离就是线段 AB'的长度， |AB |=寸2-(-32 +( 10 5$ = 5伍.3.已知直线上两点 A(a, b), B(c, d),且 Qa2+ b2c2 + d2 = 0,则A .原点 定是 线段AB的中点B. A, B定都与原点重合C 原点一定在线段 AB上，但不是线段 AB的中点D 原点一定在线段AB的垂直平分线上解析：选D 由寸a2 + b寸C2+ d2 = 0得Ja+b2 = Jc2Td2,即A , B两点到坐标原点的距离相等，故选 D.4已知点 A(2,0) , B(4,2

25、),若 |AB|= 2|AC| ,则 C点坐标为()A. (-1,1)C . (-1,1)或(1,3)B . (- 1,1)或(5, - 1)D. 无数多个解析：选 D 设 C(x, y),由 |AB|= 2|AC|2 2 2 2 得(2 - 4) + (0 - 2) = 4(2 - X) + 4y ,即(x 2)2+ y2= 2,：.存在无数多个C点.5.等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|= 4, BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为1解析：|BD| = 2|BC|= 2 ,|AD| = 7 (5 - 3 2+ (4-0f= W5.在 Rt AADB 中,由勾股定理得腰长|AB|= 寸22 + (25 f = 26.6.已知点 A(5,2a- 1), B(a + 1, a-4)，则当AB|取得最小值时，实数 a等于解析：|AB|2= (5 -a- 1)2 + (2a- 1-a+ 4)2= 2a2-2a+ 25= a-井十晋,所以当 a=寸，|AB