(完整word版)直线与圆位置关系知识点与经典例题

1、直线与圆位置关系课标要求1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二知识框架 f相离(几何法r弦长w直线与圆的位置关系 相交弓代数法I切割线定理相切直线与圆 (代数法'求切线的方法寸 几何法 圆的切线方程<i过圆上一点的切线方程、圆的切线方程*切点弦过圆外一点的切线方程 方程三直线与圆的位置关系及其判定方法Aa Bb c1. 利用圆心O(a,b)到直线Ax By C 0的距离d ,与半径r的大小来判VA2 B2(1) dr直线与圆相交(2) dr直线与圆相切(3)

2、 dr直线与圆相离2. 联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。(1)有两个公共解(交点)，即 0直线与圆相交(2 )有且仅有个解(交点)，也称之为有两个相同实根，即0直线与圆相切(3)无解(交点)，即0直线与圆相离3.等价关系相交d r0相切d r0相离d r0练习(位置关系)1.已知动直线丨:y kx 5和圆 C : (x 1)2y21，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交?2 2(位置关系)2.已知点M(a,b)在圆0：x y1夕卜，则直线ax by 1与圆0的位置关A.相切B. 相交 C. 相离 D. 不确定（最值

3、问题）3.已知实数x、y满足方程x2 y2 4x 10 ,（1 ）求y的最大值和最小值；x（2 ）求x y的最大值和最小值；（3）求x2 y2的最大值和最小值。分析考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法， 直观的理解。 转化为求斜率的最值；转化为求直线y x b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。（位置关系）4.设m,n R，若直线（m 1）x （n 1）y20与圆（x 1）2 （y 1）21相切，贝U m n的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c

4、0的距离为1,则实数c的取值范围是 6. 直线.3x y 2 3 0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（C ）A B、一C、 D、6432（位置关系）7 圆 x2 y2 2x2y1 0上的点到直线x y2的距离最大值是( )A. 2B.1、2 C . 1、 2D . 12.22（最值问题）8.设 A为圆(x 2)2 (y2)21上一动点，贝U A到直线xy 50的最大距离9.已知圆C的半径为2圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为（)A.x2y2 2x30B.2 x2y4x0C.x2y2 2x30D.2 x2y4x010.若曲线yx2与直线y x b始终有两个交

5、点，则 b的取值范围是 （对称问题）11.圆C1 :（x 3）2 （y 1）24关于直线x y 0对称的圆C2的方程为：（）A. (x3)2(y 1)24BC. (x1)2(y 3)24D12.直线ykx3与圆（x2)2(y则k的取值范围是（）(X 1)2 (y 3)24(X 3)2 (y 1)243)24相交于M ,N两点，若| MN |2、3 ,C. D. -,032213.圆C：(x- 1) + (y-2) =25,直线 l : (2m 1)x+( m1)y=4( mR).(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2) 求OC与直线I相交弦长的最小值.解析(1)将方程(2

6、1)x + (1) y= 7m 4,变形为(2x+ y- 7) nu (x+ y 4) = 0.直线l恒过两直线2x+ y 7 = 0和x+ y 4= 0的交点，2x+ y 7 = 0由得交点M3,1).x+ y 4= 02 2 _ _ _ _又 (3 1) + (1 2) = 5<25,二点M3,1)在圆C内，.直线l与圆C恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当I丄CM时，弦长最短.又 |CM = ,(3 1)2+ (1 2)2= ,5,弦长为 I = 2 ：r2|CM2= 2 25 5= 4 5.四.计算直线被圆所截得的弦长的方法1. 几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，

7、即 AB 2祈2 d22代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即AB| Vk2 1|xa Xb| V（k2 1） （Xa Xb）2 4xaXb（注： 当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为（互 空，上 览），求解弦中点轨迹方程。）2 2练习1. 直线y 2x 3被圆x2 y2 6x 8y 0所截得的弦长等于（）2. 过点（2,1）的直线中被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦长最大的直线方程是（）A. 3x y 50 B. 3x y 70 C. x 3y 50 D. x 3y 503.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l : y x 1被圆C所截得的弦长为2.

8、2，则过圆心且与直线 丨垂直的直线方程为()4.直线x 2y 3 = 0与圆C: (x 2)2+ (y+ 3) 2= 9交于E、F两点，则厶ECF的面积为()代|B.3 C . 25 D. ¥5. 已知圆 C : (x 3)2 (y 4)24 和直线丨：kx y 4k 30(1) 求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；(2) 求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.6. 若曲线x2+ y2+ 2x 6y+ 1 = 0上相异两点P、Q关于直线kx + 2y 4 = 0对称，则k的值为1( )A. 1B. 1C.D. 227. 已知过点M 3, 3的直线l与圆x2 y2 4y

9、 21 0相交于A, B两点，(1) 若弦AB的长为2.15，求直线l的方程；(2) 设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.解：(1)若直线I的斜率不存在，则 I的方程为3，此时有y2 4y 120，弦|AB| |yA VbI 268，所以不合题意.故设直线l的方程为y3，即 kx3k将圆的方程写成标准式得x22225,所以圆心0,半径r 5 .圆心0,2到直线I的距离|3k1|，因为弦心距、1k2半径、弦长的一半构成直角三角形，所以23k 1k225,230，所以k所求直线l的方程为3x12设P x, y，圆心。10,，连接Of，则O1P AB 当x 0且x 3时,则有y ( 3)x (

10、3)，1，化简得 x当x 0或x 3时，P点的坐标为 0, 2 , 0, 3 ,3, 23, 3都是方程(1)2(1)的解，所以弦 AB中点P的轨迹方程为 x8.已知圆x2 y2 x 6y m 0和直线OP OQ ,求实数m的取值.355y222x 2y 30相交于P, Q两点，0为原点，且五已知切点，求切线方程1. 经过圆x2 y2 r2上一点P (xo, yo)的切线方程为y°y r22. 经过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x°,y°)的切线方程为(X。a)(x a) (y。b)( y b) r23. 经过圆x2y2DxEyF 0上一点P(x°

11、,y°)的切线方程为xo xyo yxox yoy DEF 0练习1. 经过圆上一点P( 4, 8)作圆(x 7)2 (y 8)29的切线方程为()2. 圆x2 y2 4x o在点P(1,、一3)处的切线方程为()A. x . 3y 2 o B . x . 3y 4 o C. x . 3y 4 o D . x . 3y 2 o六. 切点未知，过园外一点，求切线方程1. k不存在，验证是否成立；2. k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d r，即y yo k(x x)|b yo k(a xo)|, r Jk2 1练习1.求过A(3,5)且与圆C : x2 y2 4x 4y 7 o相切的直

12、线方程。七. 切线长2 2 2若圆C : (x a) (y b) r，则过圆外一点P(x°,yo)的切线长d.(xo a)2 (yo b)2 r2练习1. 自点 A( 1,4)作圆(x 2)2 (y 3)21的切线，则切线长为( B )(A)5(B) 3(C).10(D) 52. 自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八. 切点弦方程过圆C:(x a)2 (y b)2 r2外一点P(x。，y。)作圆C的两条切线方程，切点分别为A, B ,则切点弦AB所在直线方程为：(x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r21.过点q6 , - 8)作圆x2

13、+ y2= 25的切线于切点 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为( )15A. 15B. 1C.D. 5九. 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即|PT|PC| |PD练习2 21自动点P引圆x y 10的两条切线PA,PB，直线PA, PB的斜率分别为«飞2。(1 )若k1 k2 k*21，求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x y m上，且PA PB，求实数m的取值范围。解析(1 )由题意设P(x°,y°)在园外，切线l : y y。 k(x冷),出竺出 <10 ,Jk2 1(x。210)k2 2x°y°k yo2 100由k1 k2 k*21得点P的轨迹方程为x y 2、5 0。又PAPB ,kh1,y。 1012 1 ，X0102 2即x0 y° 20,将x y m代入化简得2xo22mx3m2 200又0 ,-210m2,10又xo2 2yo10恒成立，m 2或 m2.5(