待定系数法分解因式

1、待定系数法分解因式(总8页)-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1CAL本页仅作为文档封面.使用请直接删除待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程 系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中其至于大 学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待泄系数的新的形式，这样就得到一个恒等 式。然后根据恒等式的性质得岀系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方 程组便可求岀待泄的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法 叫做待定系数法。本讲主要

2、介绍待立系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技 巧。【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待泄系数法进 行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1分解因式2宀芋一琢+"14厂15.思路因为2工+歼纣十刃（2沙羽）,所以设原式的分解式是“一屮湖（2"弘*）,然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。解法1因为2八+ & -纣=（x -刃（2"即），所以可设2+ xy - 3y2 + x + 14j；-15= （x-ym）（2x 十羽 +w）.=2x2 + xy-3y2 + （2m + （3m 一耳）尹f2m+n=

3、 1i 3m-n= 14比较系数，得“215由、解得朋=5" =_5把朋=3"= 一列弋入式也成立。.2x2 +"32 十 x +14? -15 = （x - / + 3）（2x 十3? - 5）. 思路2前而同思路1,然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。解法2因为X +们纣=（刃® +即）,所以可设2x2 + xy - 3y2 + x + 14j；-15= x-ym）（2x 十羽 +w）.因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令入= °,得炖刃=-is.令;t = 0,7 = 1,得诙刃十3加一力十1二0yy =

4、2= Q解、得m =或 3，把它们分别代入恒等式检验，得加=3为5. 2x2 + xy-3y2 + 天 + 14尹二(x-/+3)(2x + 3-5). 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的 方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得 方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2分解因式/ 一尸十4/十思路 本题是关于x的四次多项式，可考虑用待立系数法将英分解为两个二次 式之积。解 设兀* _+ 42 +3 + 5=(j2+l)(x25)=X4 + (<3+(5<2 +&)x + 5,a+ b = -1

5、< ab + 6 = 4由恒等式性质有：九十b = 3由、解得°=1上=-2,代入中，式成立。 x4 - Xs + 4x2 + 3% + 5 = (%2 + x +1)(异-2x +5). 说明若设原式=口+勿-1)(/+加乍)，由待泄系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式=(/ +必 +1)(# +x+ 5). 例3在关于x的二次三项式中，当兀=1时，其值为0：当=-3时，英值 为0：当x=2时，其值为10,求这个二次三项式。思路1先设岀关于X的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系 数。可考虑利用恒待式的性质。解法1设关于X的二次三项式为把已知条件分别代入，

6、得a+ b+ c = 09a+ 3b + c = 04a+ 2b + c = 10a = 2,11解得丿 b = 4,故所求的二次三项为2八+力-6.思路2根据已知兀=1厂3时，苴值o这一条件可设二次三项式为agT）（x + 3）然后再求出a的值。解法2由已知条件知当兀=1厂？时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个 二次三项式为吩-1）（工+3）把“2代入上式，得孔TO,解得° = 2.故所求的二次三项式为29-1）0+3）,即2严+4x-6.说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。 例4已知多项式/十力？十以十N的系数都是整数。若bdcd是奇数， 证明这个多项式不能分解为

7、两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及 其他知识推出这种分解是不可能的。证明：设*+以十"=中珑）（/十滋中尸），/ +以+ M = 叨1）戏+（曲+酬 ©nr都是整数）。比较系数，得mr =丛因为bdxd =讥尢）是奇数，则by与d都为奇数，那么叶也是奇数，由 奇数的性质得岀m, r也都是奇数。在式中令"1,得屮+。+/ = （1+初（1+血+厂）.由b + 是奇数，得l + b+C+R是奇数。而m为奇数，故1 +称是偶数，所以 （1+血）（1+丙+尸）是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此

8、，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 例5已知/ 対兀十°能被整除，求证：=r思路：可用待左系数法来求展开前后系数之间的关系。x5 一 5?兀十4厂=0 -c2X3 +a2十十卑）证明：设卍展开，比较系数，得a 2 c = 0c2 + b - 2 ac = 0ac2 一 ate 十您=0c2 -be2 =59 c由、，得“芯"3& ,_ _ _5 c“4 代入、得：r cc ,.95 = r4 例6若a是自然数，且+1%2-咒“右的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1和它本身，故

9、可用待泄系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得«4-V+15a2-30 + 27=3 -免 +訓>2 - <2 +9）.由于a是自然数，且初-4空+1加2-30处27是一个质数，-3a + 3<tj2 -3tz + 9. a1 - 3a 十 3 = 1. 解得如=2.当o = i时，屛一励+ g = 9不是质数。当勺=2,时，打5+9 =11是质数。.么* -4a，+1%? 一 30a + 27二I】.强化练习A级 1、分解因式站+勿-27 + 9厂4= 2、若多项式弘2+女戸_2才+天+刘+”能被弘-+

10、4整除，则n= 3、二次三项式当乳=1时其值为-3,当=2时英值为2,当兀=一1时其值为5 ,这个二次三项式是 4、m, n是什么数时，多项式*+1忖+枷卄能被/_2卄1整除？B级 5、多项式弘U2&-y +女-3歹以能分解为两个一次因式的积，贝ijk= 6、若多项式 八一*+11* +液*能被（x-l）2整除，则牌+力= 7、若多项式护-6严4加-B当兀=1，2时的值均为0,则当x二时，多项式的值也是0。 8、求证：工矽十尸+久中丿不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：1 (3兀 + 沪 + 4)("2厂1)提示：设原式+ R + Q=3j2 + 5xy - 2尹彳

11、+ (& + 33)x + (2a - b)y + ab.比较两边系数，得a = 4,a+ 3b = 12a - b = 9ab = -4由、解得将“ =4怡=-1代入式成立。原式=厲一八4）（卄2丁-1）2、-4。提示：设原式=（攵-八4）（汇+ 2尹+阙+ 5xy- 2y2 + (3m + 4)兀 + (8 -m)y + 4m3m+ 4 = 13 - tn= 9n = 4m比较系数，得由、解得朋=_1,代入得«=4-3、张2-纸-2.提示：设二次三项式为a*1十泳十C. 把已知条件代入，得1a 十 b 十 u = 一3, 4a + 2b + c - 2, c = 5.解得

12、所求二次三项式为弘2 -4x-24.设；- 5x3 +1 x2 +2x += (x2 + bx + n)(x2 - 2x+ 1)=x4 + 0 2)F + (« - 2Z)+ l)x2 + (-2« +i)x+ «.比较系数，得b-2Y?2 - 2Z)+ 1 = 11,=型解得3« =4,m = - W当m二-11, n=4已知多项式能被“ -心十1整除。提示：设原式=（卄严翊® 一小切=3x + 2xy-y + ( + 32)x + (« -m)y +比较系数，得(立十3承=工冷=忍=一3、mn = k.提示：设原式FT)廿S + b)=X4 + (<3 - 2)x3 + (b - 2a + 1)J2 +(<2 - 2b)xf比较系数，得a - 2 = -5,2a+1 = 11,a =W2,b = k.解得(m = -11, 卜=4.加十円=一11十4二-7. 提示：设原式=("1)(" 2)(“。=x3 - (3 +