电动力学-静电场答案详解

1、实用标准文案精彩文档班级：-学号:姓名：-成绩:第1章静电场1.证明均匀介质内部的极化电荷体密度， 总等于自由电荷体密度 Q/的-(1-)倍。Dp = -V P二-V -(E) = -P ( (-%)EPP=-U(二)叨=-(-%”8 8编号:实用标准文案精彩文档2.有一内外半径分别为心和心的空心介质球，介质的介电常数为，使介质 内均匀带静止自由电荷Qf ,求(1 )空间各点的电场；(2 )极化体电荷?口极化面电荷分布。解1)由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：厂 V 儿时E(r)E(r) = = v v-dV-dV = =0或E(E( r r) ) = = 0 0勺

2、frrfrrrr2 2的球形外：4 4 加辽（厂丿=丄尢4勺比7D(r)D(r) = = p p 7trdr7trdrE(r)E(r) = =实用标准文案精彩文档式中 = r写在一起o(rr(rr ) )E=l-()E=l-()3 3rr(r(r rrrD2n =Dn（E2 E El l）=O,n-=O,n-（D D2 2- -Di）=（yf）若两种介质都是线性均匀的，即9 =勺E,E, , , D D2 2= =2E E2 2；上边两式为:E2sisi” 0 02 2- - E E、sinsin, 2E2coscos 0 02 2= =1E1coscos于是得：tan0 02 2s s1 1

3、tan习实用标准文案精彩文档4.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下，导体实用标准文案精彩文档外的电场线总是垂直于导体表面。证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。静电情况下：E, =0,0=0由边值关系：HX(E(E2 2-E-E ) ) = =0,H(D2-DJ=DJ= a af f可得:E Eltlt= = E Ey y,D,D2n2n-D-Dlnln= = crcrf fBD ,E E2t2t= = 0 0 , , D D2n2n= = j j对于各向同性线性介质=所以，E E = = nn 即导体外的电场线垂直于导体表面实用标准文案精彩文档5.如图1 ,有一厚度为

4、2d,电荷密度为。的均匀带电无限大平板，试用分 离变量法求空间电势的分布。解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性,电势分布仅与x有关，即一维问题。容易写出定解问题:(xa)(xa)(xa)加二畝dxdx dxdx实用标准文案精彩文档直接求解得实用标准文案精彩文档6.内半径G， 外半径为b的两个同匕导体球壳， 令内球接地， 外球带电量Q ,试用分离变量法求空间电势分布。解根据球对称性,空间电势分布0仅与r有关,定结问题为:g 时0严02心-普心 Q Q求解得=0(ar(ar b)b)rb)实用标准文案精彩文档7.均匀外电场中，置入半径为的导体球。求以下两种情况的电势分布。(1)导体球上接

5、有电池，使球保持电势为； ( 2 )导体球上带有总电荷Q Q 解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即 电势仅与r有关1)卩的定解问题为如=0(rRJ(rRJ也广o(p(pr r=-E=-EQ Qrcos0rcos0 +(p+(pQ Q实用标准文案精彩文档此时久是导体球放入前,通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为实用标准文案精彩文档（p=%-Ejcosp=%-Ejcosg +（o _ %丿傀 + ER：cos 0r r厂2）卩的定解问题为%=0胡广。（待定丿岸 R R。dtl心类似解为QE E 尺 coscos。0= 00 -E EQ QrcorcoS S0+

6、-0+-+ +4or厂8.介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为d的空球，球心处置一电矩为PfPf的自由偶极子，试求空间电势分布。实用标准文案精彩文档解如图建立球坐标系,Pf的方向为极轴方向,0的定解问题为”， 1(ra)(ra)00 a)(ra)0讣.*=0注意到泊松方程 ft 军的性质及电势分布具有轴对称性，卩可写为:乞AF + BJTZ比(COS&)(COS&)/?=0第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故B Bn n=0=0解的电势分布_ _ PfPf (W_Wo)Pf1(W_Wo)Pf1 J J4吧厂32 2 庇 o(2o(2 + +窃府二3Pf3Pf

7、F F 47r(47r(2W+)r)r3 3r=a时， =(p=(pe e普=drdrdrdrp pf fcosOcosO4 4 亦。孑(0r(0r a)a)(ra)实用标准文案精彩文档9.半径为R的均匀介质球中心置一自由偶板子 PfPf,球外充满另一种介质, 求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为 ,球外为勺X解：求解与上题类似，只需窃 T 勺疋 T 5彳曰。PfPfr r, ,-s-s2 2）p pf fr r牙14码”4亦（勺+ :弓）尺，厂勿（；?2：2尸凡）极化电荷分布，在介质球内几=-（1-/ 因此在球心处有一极化电偶极矩P= 1包p pf f, ,I 丿在广=他的界面上

8、，由 J =一（卩2 -刃）/P = GW。得3勺 （勺一兮） /coscos0 02码（ + 22）尺实用标准文案10-两个接地的无限大导电平面，其夹角为60。，点电荷!2位于这个两面角的平面上， 并与棱边 （两面角之交线） 相距为Q。 试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q Q位于双面角的平分线实用标准文案实用标准文案精彩文档平面的电势为零,应在Q关于ON对称的位置3处有一像电荷-Q(2)考虑半面ON ,同样为了满足电势为零的要求，对于&3处两个点电 荷+Q和-Q,应在4 3关于ON对称的位置CQ 处有两个-Q、+Q,(3)再考虑ON半平面，对于

9、CQ 处的-Q和+Q,应在F处有两个像 电荷+Q和-Q才能使导体ONON的电势为零。可以证明E E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON平面对称， 因而可满足ON平面的电势为零,这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使 角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P P处的电势可表为)=-Lfe_e+e_e+e_e4码5 E心 丿其中人,山分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。在其余空间的电势为0 = 0。实用标准文案精彩文档11.接地空心导体球，内外半径为&和R R2 2. .球内离球心。处(a v &)置一实用标准文案精彩文档点电荷Q，试用电像法求空间电势分

10、布。导体上感应电荷分布在内表面还是 外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量Q。，则电势分布又如 何？若导体球壳具有确定的电势久，电势分布如何？ 解：根据题意设球内区域电势为,球外区域电势为例，vViy,z）V2?2= 0，其中厂=(R(R2 2+a+a2 2- - IRacosIRacos&严,r r= =(R(R2 2+b+b2 2- - IRbcosIRbcos&严 由边界条件k=& = oQ Q2 2RR +b-2Rbcos+b-2Rbcos 0=0= Q Q2 2(R(R + + a a2 2-2R,acos-2R,acos 0)0)Q*RQ*R； +

11、+ b b2 2)-)- Q Q2 2(R(R；+ 戻)=2R (/b _Q Q2 2a)cosa)cos 0 0要使上式对任意0成立，必有妙倨+刊_02尿+戸）=02尺（0铅一02=0BQRR2Rl设像电荷位置如图所示Z 01P 04 4 庇 o o1f实用标准文案精彩文档/./. b b1 1-a-a1 1+ += 0a aR2解得A =a=a舍去）a aR RR R代入（T,得Q Q2 2= = -Q-Q a aa aQ=-QQ=-QClCleQRJQRJ a a| 1 0 + 0o（7?2+a+a2 2- - IRacosIRacos 00R R2 2+ （/?：/_2R2R（RjRj

12、 / / a a）coscos伽 若使有确定皆且两种情况有相同解皆右譽Q_ _QRJciQRJciylRylR2 2+a+a2 2-2Racos0-2Racos0 I I” R R； 2R2R：R R - -由边界条件冇学 -学 =-（Jdndn onon总感应电荷0感应=Jy 0寸，p p= -V2 0= 0 ,rr ) )厂va时，p p = =-V2(-qrqr/ 2d)V J): : P P = =实用标准文案精彩文档15.在一点电荷q q的电场中，距离它为d d的地方有一偶极子，其电矩p p = = qlql , ,求在下列两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L :(1)偶极子的电矩沿点电荷电场的方向；实