土木工程线性代数山东大学网络教育考试模拟题及答案

1、百度文库好好学习.天天向上09年11月期末本科线性代数参考解答线性代数模拟题1一.单选题.1.下列()是4级偶排列.(A) 4321；4123；(C)1324；(D)2341.答:(A) 8；"11"12"134®2如-3%绚3«21Ct22Ct23=1, D=4吆221 322a235"32"334碍】2&31 3(*32a33,那么0 =(C)24；(D)-12;2.如果D =)一24答:3.设A与3均为nx”矩阵,满足4B = O,则必有().答:(B) A + B = O； (C)国=0或网=0；(D)-14

2、国+网=04.设A为阶方阵(h>3),而"是A的伴随矩阵，乂 R为常数，且"0,±1,则必有( )(A) kA (B) knA (C) knA答:5向量组ad?，线性相关的充要条件是()(A) al9a2,中有一零向量 (B) aa2.，中任意两个向量的分量 成比例(0 es，4中有一个向量是其余向量的线性组合(D) a，&2，4中任意一个向量都是其余向量的线性组合6.已知0|,02是非齐次方程组Ax = b的两个不同解，es是4x = 0的基础钉出为任意常数，则Ax = b的通解为(答：B(A) kg +k2(ai +a2) + 匹(B) kCt

3、+«2(0 _&2)+ Q Q(0 kg + 込(Q +02)+ A ；(D) kg +込(0, +02)+ 4厶乙7. 入=2是A的特征值，则(A:/3) -1的一个特征值是()答:B(A)4/3(B)3/4(C)1/2(D)1/48. 若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2, 1/3, 1/4, 1/5,则行列式)(A)0(B)24(0 60(D) 120答:B9. 若人是(人则A必有A = A答:(1) 当k为何值时，存在可逆矩阵P,(2) 求出P及相应的对角矩阵。3 2解：(1) A=-k -14 2-2A10.若A为可逆矩阵，下列(A)恒正确答:(A )(2A

4、)= 2Af ;(B)(2A)' = 2Al(C) E)T=T ；二.计算题或证明题(32-2)1.设矩阵A =-k -1k< 423丿(A)对角矩阵；(B)三角矩阵；(0可逆矩阵；(D)正交矩阵.使得P：AP为对角矩阵?一3k =1HO, k为任何值时，都存在可逆矩阵P,使得P"AP为对角矩阵;久-3-2pllj AI-A= 0 2 + 1一4 -220 =(/1 + 1)2(2-1) = 0 ,几+ 3入=& = 1,久3 =1-4xj -2x2 +2x3 =0当=-1时，方程组(A/-A)X= 0为< Ox, = Ox,+03=0 ,其基础解系 一4

5、兀一2*2 +2花=0为:2%| 2%7 + 2兀3 = 0VJ =2川2 =0；当人=1时，方程组2x2=0,其基础解系3丿Z一 4%, 一 2x2 + 4x3 = 0-1 1 o)r-l 0 O'p =2 0 0,对角矩阵八=0-1010 2 1,<0 02.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入，是A的伴随矩阵，设|A|=d, 证明：d/入是X的一个特征值。证明：设心为“的一个特征值，有肉/-仆如-A-叶国备-犷=0,3.即訝,m=t=1当"取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时,解.ax, + x2 + x3 = 1X + ax2 +x3 = aX

6、 + x2 + ax3 = a2解：增广矩阵(a 111、0 0 11 a 1a=> ("- 1)20 1 011 a>a)1 0 0+1门a + 21a+ 2a + (1)当“ =-2时，方程组无解;当(心14工一2时，有唯一解:a + x.=-a + 2"丄，勺=&a+2a+2当c = l时，有无穷多解，xo=(lAO)r ,基础解系4=(-l,l,oy,j =(101)4全部解为x = klal +k2a2 +兀4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表 示.ara2,a4 是一个极大无关组，且= 3a + a2,= -al

7、 -a2+a45. 若A是对称矩阵，3是反对称矩阵，试证：AB-BA是对称矩阵. 证：由条件屮=A , B1 =-B ,有(AB 一 BA)=(AB)7 - (BA)7 = BJ AT 一 A1 B1 二(-B)A - A(- B)=AB_BA°线性代数模拟题2一单选题.为 答：1.若(-1)皿心皿2%5心是五阶行列式|吗|的一项，则八/的值及该项号)(B) k=2, 1 = 3符号为正；(D) k = l, 1 = 2,符号为正. )的值必为零.(A) k=2, 1 = 3、符号为负;(C) k = 3, 1 = 2,符号为负；答:2. 下列行列式(A3.畀阶行列式中,“阶行列式中

8、,零元素个数多于用一八个;零元素个数小于用一料个;(0(D)阶行列式中,阶行列式中,零元素个数多于”个； 零元素的个数小于"个.设A, 3均为阶方阵，若(人+ 盼-閃二宀矿，则必有().答:(A) A = I; (B)B = O； (C) A = B ;(D) AB = BA4. 设A与3均为""矩阵，则必有().答:C(A )卜 + 国=卜| +网;(B ) AB=BA ; ( C ) AB = B ; ( D )(A + B)j = A" +B.5. 如果向量0可由向量组a】,a?，线性表出，则() 答：D(或A)(A) 存在一组不全为零的数人,灯,

9、ks ,使等式0 = Rq +灯(22 +忍成立(B) 存在一组全为零的数热,©，&,使等式P = kxax + k2a2 +. + ksas成立(0对0的线性表示式不唯一，(D)向量组仅弘勺”匕线性相关6. 齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充要条件是()答:C(A) 系数矩阵A的任意两个列向量线性相关，(B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D) 任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n阶矩阵A的一个特征值为入，贝1(入人一丁+1必有特征值() 答:B X =+13(B) X:-l(C)2(D)-22 -H8.已知 A =0

10、0 a与对角矩阵相似，则。=()答:卫o o丿A(A)0 ;(B)-1 :(C) 1 :(D)29.设A, B ,c均为阶方阵，下面()不是运算律.答:D(A)(A + B)+C = (C + B) + A :(B) (A +B)C = AC + BC；(C) (AB)C = A(BC)；(D) (AB)C = (AC)B .10.下列矩阵()不是初等矩阵答:01、100、q00)00010；(B)000；(C)020；(D)01 -2<100><010,0x0b、00(A)二.计算题或证明题1.已知矩阵A,解:f 1J-22，1J-210设A为可逆矩阵，X是它的一个特征值,

11、2.个特征值。0、21%证明：入H0且“是2的一证：设心为屮的一个特征值，血卜仏卜肉f因为兄是A的一个特征值，故=2 ,因人工0,故兄工0且儿=丄=。 几°A3. 当"取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时, 求其解.axx + x2 + x3 = a 3增广矩阵< x, + ax2 +xy = -2xv + x2 + ax3 = -2(2) ° + 2工0,方程组有唯一解，x严"a + 2并把其余向量用极大无关组线性表解：向量矩阵a 11a-3、"002 + a-3、1 a 1-2d(l_d)20-11011 a-2

12、/J0a + -2/(1)当2+a二0 ,方程组无解:aa2,a3为一个极大无关组，a4 =a -a2 -a3 Q5. 若A是对称矩阵，了是正交矩阵，证明T-'AT是对称矩阵.证：由条件知 AT =A, Tl =Tt ,(T_1AT)7 =TrAT(A'J =TlAT 为对称 矩阵.线性代数模拟题3一.单选题.1.设五阶行列式给= /«,依下列次序对给进行变换后，其结果是()答：C交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加 于第三列，最后用4除第二行各元素.(A) 8/n : 一37 ;(C) 一8？；(D)存2 如果方程组3x + ky-z

13、= 04y+Z = 0有非零解，则(kx-5y- z = 0)答:D(A)R=O 或& = 1； (B)k = l 或 £ = 2； (C)k = 1 或 k = l； (D) k = - 或 R = 3 3.设A,B,C,I为同阶矩阵，若ABC=I,则下列各式中总是成立的有()答:A4.(A) BCA = I； (B) ACB=I； (C) BAC=I； 设A, B, C为同阶矩阵，且A可逆，下式(D)必成立CBA = I 答:5(A)若 AB = AC,则 B = C； (B)若 AB = CB, (C)若 AC=BC,则 A = B； (D)若 BC=O, 若向量组Q,

14、a?，的秩为r，则(则 A = C: 则 B = O.答:(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无D(A)必定 r<s；关(C)向量组中任意，个向量线性无关；(D)向量组中任意个厂+ 1向量必定线 性相关6. 设向量组？心“巾线性无关，则下列向量组线性相关的是() 答:(A) a +a2,a2 +aay+a ;(B) aa +a2.a3 +a2 +a;(C)?一“巾一內 ；(D) a +a2,2a2 +a3,3a37.D(A) X I-A= X I-B（B）A与B有相同的特征值和特征向设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（） 答:（C）A与B都相似于一个对角矩阵（D

15、）kl-A与kl-B相似（k是常数）8当（）时，A为正交矩阵，其中A =答：C(A) a=l, b=2, c=3;(D)a=b=l, c=0 (B) a=b=c=l;(C)a=l, b=0, c=-l;、a9.已知向量组勺,勺4"勺线性无关，则向量组（答：A(010.当A=()<a a2、3C|5 - 3c? a厶厂 3C3'h b2“3=片b2.答：B<C1 C2C3)C1sr 100、q 0 -3)0 0 -3、(A)010；(B)0 1 0；(C)0 1 0-301丿,0 0 1J ° 1丿(D)时(D)Aa】 +a2,a2 +a3,a3-a4.a

16、4 一y 线性无关.01一3(T0La】 +a2.a2 +a39a3 +a49a4 + a】线性无关;Qi -a2,a2-a4.a4 一a】线性无关;+a2.a2 +a39a3 +a49a4 一线性无关;二.计算题或证明题如A可逆，则B也可逆，且A"B"1.设AB,试证明A”B“（m为正整数）（2）证：由条件得A = PBPAm = (pbE )" = (pbE 'peR 伽 K 厂=(pbP 'pep' V、= PZT h（2） A = PBh,贝ij A'1 =（PBFrlY =PB'XP , 4矿】2 如n阶矩阵A满足

17、A-A,证明：A的特征值只能为0或卫。证：设兄为 A 的一个特征值，AX=AX = A2X = AAX = ArX , <2 = 22, 2 = 0或 A = 1 O3.当“、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有 解时，求其解.+ 2x2 一 2勺 + 2x4 = 1乃一勺一无=1o解：增广矩阵A + x2 - x3 + 3x4 = ax - x2 + x3 + 5x4 = h12-22fl004-1、01-1-11=>01-1-1111-13a0000a1-115bj0000h + 2/（1）当“HO或“ + 2H0时，线性方程组无解：（2）当。=0、且b+2=0线性方程组有无穷解，基础解系为 =（0,1,1,0）丁 , a2 =（-44Al）7 ,特解Q（）= （-1 丄0,0）7,通解a = kax +k2a2 +«（）4. 判断向量”能否被线性表出，若能写出它的一种表示法.'-I（-2、< 3、'-5、-37-5-6-7,0 =1s =