一阶线性偏微分方程

1、第七章一阶线性偏微分方程例7-1求方程组AdxBdyCdzB-CyzC-AxzA - B yz通积分，其中A, B,C为互不相等的常数。解由第一个等式可得xdx B -CydyxyzAB -Cxdxydy 二 0,xyz即有两边积分得方程组的一个首次积分B 2C - A，(x, y,z)A x2B - C由第二个等式可得BCydyzdzC - A _ A - Bxyzxyz即有ydy -A_Bzdz = 0,两边积分得方程组的另一个首次积分C2 。-甬1坯，空)excz颈 x,y,z)冈ex由于，雅可比矩阵二 2xB -Cyc - ABC - A，0CzA B的秩为2，这两个首次积分相互独立，

2、于是原方程组的通积分为r A 2 B 2 cxy = GB-C C-AB 2 C 2 z-xy z =C2 。I C -A A-B要得到通积分需要评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。求得n个独立的首次积分，n为组成方程组的方程个数。 用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。例7-2求方程组的通解。解由原方程组可得-(x2 y2)(x2y -1)dxdyx y - dtdt2 2 2 2 2 2d(x y ) = -2(xy )(x y -1)dt这个方程关于变量t和x2 y2是可以分离的，因此易求得它的通积分为x2y2 -12tx2 y2 e=Ci这是原方程组的一个首次

3、积分。再次利用方程组，得到=-(x2y2)，dydxx y - dtdt即有arctanxd_dt由此得到原方程组的另一个首次积分汀（x, y,t） = arctan t = C2。 x由于，雅可比矩阵为挪-2x2t2 y_ 2tqe,屮)(X22 e + y2)22 e(x2+y22C(x, y)yx® 一12+2x十y2 + 2 x + y而“7=+八0， 所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分。采用极坐标，令 x = r cost, y = rsin v，由这两个首次积分推得1 2t12 e Ci.r210 t = C2由此解得1r = ,«；1 -D

4、e10 = C2 _t因此微分方程组的通解为y(t)s i nC2 _t)J -C1et另外，方程组有零解 x = 0, y = 0。评注：注意方程组的通积分与通解的关系,由通积分可以确定通解,但根据隐函数存在定理，通解不一定都能表示成显式形式。例7-3求解方程组dy 1 1dx y - x解把原方程组写为dydx =- 菖"z y xdxz以上方程组中的两式左右两边分别相乘，消去dx，得y -x z由此得到一个首次积分于是y 'X z = G。Ciy _x 二z代入原方程组第二式，得dx dzCi 一 z '两边积分得xIn z =+1n C2Ci即Xz =C2eC

5、i ,将C y - x z代入，得到另一个首次积分z(y-xze二 C2。并且容易验证它与前一个首次积分是相互独立的,于是这两个首次积分构成方程组的通积分。评注：利用已得到的首次积分消去一部分未知函数，减少方程和未知函数的个数，以便 得到另外的首次积分。例7-4求解下列一阶线性齐次偏微分方程。CN况丄CU1)(4y-5x)3t *3y)E (3x-4t)7T02)(xy2lnxy-：u:z解1)特征方程组为dt _ dx4y -5x 5t -3ydy3x -4t将三个分式作如下变化3dt4dx5dy12y -15x 一 20t -12y 一 15x - 20t则利用合比性质dtdxdy 3dt

6、 4dx 5dy4y -5x 一 5t -3y 一 3x -4t 一0'从而 d (3t 4x 5y) = 0 ,由此得特征方程组的一个首次积分(t, x, y) = 3t 4x 5y = G。再将特征方程组三个分式作如下变化2tdt2t(4y -5x)2xdx2ydy 2tdt 2xdx 2ydy2x(5t -3y) 一 2y(3x -4t) 一0从而 d(t2 x2 y2) = 0 ，2 2 2由此可得另一首次积分汀(t, x, y) = t x y 二 C2。Ct:x.x逹T£P45的秩为22x 2y_所以这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为2 2 2u 二：(

7、3t 4x 5y,t x y )其中G为任意二元连续可微函数。2)特征方程组为dxdydzxxy2 In x - y 1dx由dz可得一个首次积分为x再由鱼=得x xy In xy2xdy ydx - xy In xdx 二 0，两边积分，有得另一个首次积分d(xy)2 2x yIn x , dx=0Inxy1In2 x+xy 2=C2。容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为In2 x21=:(In x _ z,_xy其中“为任意二元连续可微函数。评注：a）利用比例的性质是求首次积分的有效方法；b）求解一阶线性偏微分方程实际上归结为求解常微分方程（或方程组），此例正是利用积分因子

8、转化为恰当方程而得到一个首次积分。例7-5解方程：兰一辽史exdy .*二=0，其中：k（ 1,2,3）是行列式；z戲1dx创盘淸2冴2祈2ex创CZ£3滸3鱼的第三行第k个元素对应的代数余子式，而 ff?, f3为已知可微函数。.x-Z解原方程的特征方程组为dxzdy dz由行列式的性质，有出=0，:Z:f2-:y将特征方程组的三个分式作如下变化由合比性质得f AdxfiAi:x一讦2 -dx：x-：f2 .占1:x2：=y：讦2 .-dy-：f2 .2-:y尘dz-：f2'3jzf dx.x ；yf dy + f dz = 0cz圭dx 主dy 主dz =0，.x；y；z

9、于是有 dfr =0,df2 =0，由此得两个首次积分fi（x, y,z）二Ci, f2（x, y,z） =C2,由所给方程知 兀（k =1,2,3）不可能全为零，所以这两个首次积分还是独立的，因此所求方程的通解为u ：(fi(x, y,z), f2(x,y,z)其中门为任意二元连续可微函数。评注：注意行列式的意义及性质。2z 二 X ,y二z2的积分曲面。例7-6求解方程XZz yz=z = xy，并求通过曲线 :x:y解这是拟线性偏微分方程，其特征方程组为dxdy dzxzyz xy '由此得鱼二业，解得一个首次积分为x y Ci。x八、dx dz ,代入中得,xz xydx dz

10、，解得另一个首次积分为z C1x2z - xy = C2。易知=C1，x-xy =C2是两个独立的首次积分，所以原方程的通解是:Cz2 xy) =0x其中门为任意二元连续可微函数。将 z 二 x2, y二z2代入两个独立的首次积分 =C1， z2 - xy = C2中，得xC2从而所求的曲面为z2-xy5I 。IX.丿评注：求柯西问题的解时,关键是寻求任意常数之间的关系式，将首次积分代入即可得所求问题的解。2 2例7-7求以圆x y = ax, z二2为准线，(0,0,0)为顶点的锥面方程。解 设以f(x, y,z) =0表示任一以原点为顶点的锥面方程，那么锥面在其上任一点 (x, y, z)

11、的法线应与过此点的向径垂直，因为向径全部位于锥面上。这样，f (x, y, z)应满足方程yf z0，.x: y:z它的特征方程组为dx dy dzx y z它的两个独立的首次积分为-Ci, -C2，故以原点为顶点的锥面的一般方程为z zf (x, y,z)其中门为任意二元连续可微函数。2 2要寻找过圆x y二ax,z=2的锥面，先把z=2代入首次积分中，得到x = 2Ci, y =2C2 ；再以此代入x2 yax，即得C1,C2所满足的关系式为32C； -aC1 2C； =0。最后，将首次积分代入此关系式中，得到所求的锥面方程为2x ax 2y22亍=0或2x 2y 一 axz = 0。 z

12、评注：先建立顶点在原点的锥面方程， 再求满足一定条件的特解。 求特解类似于前一题。例7-8求与椭圆面族正交，且通过直线 x =2y =4z的曲面。解 设与已知椭圆面族正交的曲面族为&x,y,z）二C，则任一交点（x,y,z）处它们的法 线互相垂直，故 ©应满足线性偏微分方程x. ys. 2z£K 0 ,.x 2 :y ；z它的特征方程组为dx2dy dzy 2z它的通积分为要寻找通过直线x = 2y = 4z的曲面，以x=2心2代入首次积分中，得到G y = 2, C?y2消去y得到CC2所满足的关系式为CiI6C2。xz最后，将首次积分2二C1, 4 = C2代入上关系式中，得到所求的曲面方程为y y32x 16y z 。评注：求解柯西问题有时直接从特征方程组的通积分入手得到任意常数之间的关系式, 从而求得满足条件特解。例7-8 一直线在运动时常与一固定直线相交成定角，求它运动时所成曲面的方程。解 不妨设这一固定直线为 z轴，所求曲面方程为 u(x, y,z)= 0 ,则过曲面上任一点(x, y, z)且与z轴夹角为常角 a的直线一定在所求曲面上，此时若这条直线与 z轴的交点为&2 +y2(O,O,Zo)，则 tan a 二一 z_z°由于过该点的法线与此