Sobolev空间的建立

1、Sobolev 空间0,一、定义:(一)弱导数的定义:阶弱导数，如果存在函数设u Lhoc (厂 对于给定的重指标,称为u的V L1 loc (),使得对于Co ()成立vdx ( l)1 1 uDdx ()Sobolev空间的定义:对p l,m是非负整数,定义Sobolev空间wm，P( ) Lp () u I D u Lp ( ),1 I u I u Lp ( ), D u Lp (), I I在WP()中引入范数( IDI If m.p, m max Id uI I m 11 u lp dxpDuP -)P,1 P下面证明W-p()按范数( I D u lp dx) pI Immax D

2、I I mDu)M pp,是赋范空间(i)非负性:时，任意的U W m. p ( IDulPI I midx)p 0,0(1 Du lpdx)p 0DI I mu 0对任意丨Im均成立 u 0 ；时，任意的u W】mP(),则Im. pmax|D uI I mOmax D u 0I I mDu0对任意Im均成立(ii)齐次性:当1 p 时，任意uWm.p(K,有ID (I I mu) IP1dx)Pu lp dx) P当P 时，任意U W m，p (),u| max D (I I mu)maxp u I I m9(iii )三角不等式性:P 时，任意 u W m. P ( ) , VW m,

3、P (),有1I D (u v) |P dx) p ( (I Du lp I D vlp dx) pI I mI I mII ul 41I D u lp dx) pI I mI D v lp dx)pm时，任意U W m. p ( ), v Wm.p(厂有lumax D (u v)maxlD u D vll maxIlD u I I m I I I m Imaxp vI I m所以,Sobolev空间W叫()是一个赋范空间.二、Sobolev空间的主要性质:(一)完备性：WP()是Banach空间.证明只要证明WP()是完备的.任取W mP()中的Cauchy序列fjfk fj|m , pD

4、fkD (fkD fkmD f|_1D fj)Lpt| ) PO(k,j)即D fj (I丨m)是LP ()中 的Cauch列，由LP()的完备性知，g Lp ( )(1 I m),使得 Dg J-在弱收敛的意义下，D fjLP()(4 J 1),有p qfjdxdx(j)特别对任意Co (),有fjdxdx(j)这是因为D fjdxdx II D fjI dxD fjlP0(应用Holder不等式)fj dxgdxf dx 其中Co ().在利用弱导数的定义得，对于任意Co()J时有D fj dx1)fjdx1)f D dxD f dx 即当j时,D fj在17()内弱收敛于D fj弱收敛f

5、(L?()由极限的唯一性，得D f g Lp ( ) (Im) 且D fj D f(Lp ()(j )这就说明，若fj是wm，P()中的Cauch y序列，则必存在fW叭p ()，使得fj f(WEP() (j)即，WP()是完备的.从而W gp ()是Banach空间(二)可分性：当1p 时，WP()是可分的.证明只要证明当1p 时，(LP( )Q是可分的，也就是说(LP( )Q中存在稠密的可列集事实上,对每个正整数k ,作x I x , dist (x,)设P表示所有有理数多项式全体，Pkfl fp则P在L ()中稠密事实上，对fP，由Co ()在L ()中稠密知，存在gCo (厂使得gL

6、(另外容易看出,故g属于某个Co()(丿Co( k)k 1Pm存在hPm，使得I g因为m有界,故有利用weierstrass定理知,0在2()中稠密，也就是说,II g hllP ( lg hf)PL ()II f hllLP()其中， 这就说明P()中稠密，且 p是一个可列集，因而QP(LP( )Q可列的稠密集，即(LP( )Q(1p)是可分的，从而W0P()也是可分的.(三)自反性：设1P ，则WP()是自反空间.三、Sobolev空间的嵌入定理：(一)设 具有锥性质k表示 与R中一上维平面的交集，Ikn , m为正整数，j为非负整数，1 P,则有下列嵌入关系情形A假设mp n且n mp

7、 k n则W 口 P ( )Lq ( ) , p qn mpWj m,P()wZ ( ) , p qpn mpWj EP ( ) WW ( k) , p qkp n mp情形B假设mp n ,则对1 k n ,有wj m，P()wj，q( k) , p q.特别W】n，P() Lq ( ) , p q.若p 1,则m n,这时当q 时，上两式仍成立. 情形C假设mp n ,贝ljWj.n.P( ) C J()()设 具有强局部Lipschitz性质情形C假设mp n (m 1) p ,贝ljW j m. p ( ) C，()，0 m -P情形C假设n (m 1) p，贝9Wj m.p( ) C

8、h ( ) , 01 若p 1, n m 1 ,则上式对1也成立.四、建立Sobolev空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有 相当一部分在古典理论上是不存在解的但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这 时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题广义 解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中 广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是 相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积 法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间它们都是利用守恒原理，在偏 微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等