相似三角形全面讲义教师版

1、标准文案相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1图形的放大或缩小，称为 图形的放缩运动。2把形状相同的两个图形说成是 相似的图形，或者就说是相似性。注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得 到的.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相 等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段

2、有关概念及性质(1 )有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线a m段的比是 a : b = m : n (或b n)2、 比的前项，比的后项：两条线段的比 a： b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。a c3、 比例：两个比相等的式子叫做比例，女口ba c4、 比例外项：在比例b d(或 a： b = c: d )中 a、d 叫做比例外项。a c_5、 比例项：在比例b d(或 a: b = c: d )中 b、c 叫做比例项。标准文案a c6、 第四比例项：在比例bd（或 a :

3、 b = c： d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。a b7、 比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为ba（或 a:b = b:c 时，我们把 b 叫 做 a 和d 的比例中项。8比例线段：对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长d（或a:b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线（2 ）比例性质3.更比性质（交换比例的项或外项）：a b，（交换内项）c dd-，（交换外项）b ad b（同时交换内外项）c a4.合比性质:ca bc ddbd（分子加 （减） 分母，分母不变）注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比

4、的前项，后项之间a c发生同样和差变化比例仍成立.如：b d5.等比性质：（分子分母分别相加,acem如果a c fm(b d比值不变.）acem afn0），那么- b d fn ba度的比相等，即-b段。（注意：在求线段比时,线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）a1.基本性质：badbc（两外项的积等于两项积）2.反比性质:a c（把比的前项、后项交换）badca cabc dabc d标准文案标准文案注意：此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时

5、乘以一个数，再利用等比性质也成知识点三：黄金分割即 AC2=AB XBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中AC AB0.618AB。22)黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.BD= - AB作法：过点 B 作 BD 丄 AB，使 二 ;2连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB ;3在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为:AC_ BC 5-1A，-.(只要求记住)1)定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC

6、BC)，如果ACABBCAC标准文案3)矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。标准文案知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 已知 11 /|2/|3,CF 13AB DE 亠 AB 或BC EF AC可得2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比(1)是“ A”字型(2)是“ 8 ”字型 经常考，关键在于找DEDF标准文案.,zl=tAD AErBD ECrAD AE , _ 人一北宀 宀丄宀由 DE / BC 可得：或或此推论较原定理应用更加广D

7、B EC AD EA AB AC泛,条件是平行3. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边 .（即利用比例式证平行线）4. 定理 :平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边 与原三 角形三边对应成比例.5. 平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言/ ABE 中 BD /CEAB AD上 上BC DE简记：下下AB AD BC DE上上

8、土土归纳：ACAE和ACAE推广：类似地还可以得到全 全和全 全标准文案三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对 应成比例三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边标准文案平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例AB DE BC

9、EF AB DEAD /BE/CF,BC EF，AC DF，AC DF2 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所 截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等用符号语言表示：ADPBEPCFAB BC.DE DF重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍知识点三：相似三角形1、相似三角形1） 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相

10、似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）2） 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。用符号语言表示:标准文案3） 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如MBC与ZXDEF相似，记作ABC s/DEF。相似比为 k。4） 判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其它两边相交， 所构成的三角形与原三 角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理 1 ：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

11、形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.（此定理用的最多）判定定理 2 :如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.标准文案判定定理 3 :如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.直角三角形相似判定定理：9斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形

12、与原直角三角形相似射影定理：CD2=AD BD ,AC2=AD AB ,BC2=BD BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比 例，那么这两个标准文案三角形相似。相似三角形的性质1相似三角形对应角相等、对应边成比例2相似三角形对应高、 对应角平分线、 对应中线、 周长的比都等于相似比（

13、对应边的比）.3相似三角形对应面积的比等于相似比的 平方2、相似的应用：位似1 ）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形。2两个位似图形的位似中心只有一个。3两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。4位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。2位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的

14、距离等于位似比（相似比）。3每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。标准文案巩固练习:标准文案典型例题例 1、弦 AB 和 CD 相交于Oo 一点 P 求证：PA PB=PC PD例 2 :如图， ABC 中，AD 是ZBAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于 E,交 BC 的延长线于 F求证：ABFs:AF例 3、如图：在 Rt ABC 中， /ABC=900 , BD 丄 AC 于 D，若 AB=6 ; AD=2 ;贝 U AC= _ ; BD= _; BC=_BDAAB标准文案例 4、如图：在 Rt ABC 中， /ABC=900 , BD 丄 AC 于 D

15、,若 E 是BC 中点，ED 的延长线交 BA 的延长线于 F,求证：AB : AC=DF : BF例 5.如图：小明想测量一颗大树 AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面CB 上，测得 CD=4m,BC=10m那么树的高度是多少？，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆的影子长为2 米,标准文案针对性练习1、 判断1所有的等腰三角形都相似.（）2所有的直角三角形都相似.（）3所有的等边三角形都相似.（）4所有的等腰直角三角形都相似.（）2、RtKBC的斜边AB上有一动点P（不与点A、B重合），过P点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，则满足这样条件的直线共有

16、多少条，请你画出来。c- 标准3. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它们对应边的比为 _ 对应高的比为_ 长的比为_。4. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为，则较小三角形对应边上的高为接触到路灯 A 的底部，当他向前再步行12m 到达点 Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设 AP =x(m)。(1)求两路灯之间的距离;(2)当小华走到路灯 B 时，他在路灯下的影子是多少?10.如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯 B，当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好标准常见的相似三角形小结

17、:BDA标准文案二、巩固练习：1、 有一比例尺为 1 4000 的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是 250cm2,则这个地区的实际周长是 _ m，面积是 _m22、 有一个三角形的边长为 3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的周长为_ ，面积是_。3、两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和 20cm，若它们的周长的差是 60cm，则较大的三角形的周长是 _，若它们的面积之和为260cm2,则较小的三角形的面积为_cm24、照相机镜头的取景框长 16 毫米。为了风景照的视觉效果BCAA标准文案最好，人像应在取景框长的黄金分割点处。如图，要拍左

18、侧的风景，人站在右侧，则人像应距左边框_米。5、 如图，若 ABC 的中线 AD 和中线 BE 交于点 G,AABG 的面积如图，若 ABC 的中线 AD 和中线BE 交于点 G,AABG 的面积为 4,AABC 的面积为_ 。6、 如图，矩形 ABCD 中，AE 丄 BD 于 E,若 BE=4 , DE=9,则矩形的面积是_。7、 下列各组的两个图形，一定相似的是（）A、两条对角线分别对应成比例的两个平行四边形；B、有一个角对应相等的两个菱形;C、等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形；D、对应边成比例的两个多边形。9、如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE 交 BC 于点 E,交点

19、F,且 BE2=EF EA。求证：AB2=BF BD。10、如图，在 ABC 中，已知 EF/AC , D 是 BC 上一点，连标准文案接 AD，则 ABD 与BEF 的面积相等。求证：BE2=BD BC。标准文案A. 30 B. 50 C. 40 3、三角形三边之比 3 : 5 : 7,与它相似的三角形最长边是D . 7011、如图，由边长为 1 的 25 个小形组成的形网格上有一个厶 ABC ;在网格上画出一个与 ABC 相似且面积最大的AiBiCi，使它的三个顶点都落在小形的顶点上，求AiBiCi的最大面积。三、课后练习i、如果 ABCs/ABC，相似比为 k （k 判），贝 U k 的

20、值是（）A./A: /AB.A B:ABC. ZB: ZBD.BC:B C2、若ABCs/ABCZ=40,Z=iiO。，则zB等于（）CB2icm，另两边标准文案之和是（）A. 15cmB. 18cmC. 21cmD. 24cm4、如图 AB /CD /EF,则图中相似三角形的对数为（）A . 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对5、MBCs念1B1C1，相似比为 2 : 31B1C1S2B2C2，相似比为 5 : 4，则AABC 与厶A2B2C2的相似比为（）标准文案标准文案D .6、在比例尺A. 200cm7、已知线段1 : 10000 的地图上，相距 2cm 的两地的实际距离是（）

21、B. 200dmC. 200mD . 200kma=10，线段 b 是线段 a 上黄金分割的较长部分，则线段 b 的长是（）标准文案8、若贝U下列各式中不正确的是（ ）标准文案9、已知 ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 AE=1.2 , EC=0.8 , AD=1.5 , DB=1，则下列式子正确的是（）标准文案D .10、女口图： 在 ABC 中标准文案标准文案11、计算DE/AC，贝 U DE: AC=()C. 8: 5D. 5: 8标准文案的值(2)已知：且 2a b + 3c=21，求 a, b ,c 的值.标准文案相似三角形经典大题解析1.如图，已知直线h：y-x8与直

22、线12: y 2x 16相交于点C, h、I2分别交x轴于33A B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线h、l2上，顶点F、G都在x轴上，且 点G与点B重合.12、在等边AABC 中，P 是 BC 上一点，AP 的垂直平分线分别交于 M、N，求证： MBPS/PCN.AB、A标准文案(1 )求ABC的面积；(2) 求矩形DEFG的边DE与EF的长；(3) 若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 t 12)秒，矩形DEFG与厶 ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函标准文案3由2x0,得xt的取值围.80,得X4. A点坐标为3168.

23、B点坐标为8,0 .412.2X32X83,解得16.5.C点的坐标为6.SAABCAB-YC1-12 6236-(2)解：.点D在li上且 XDXB8,YDD点坐标为8,8.又点E在 J上且YEYD8,2XE168.XE4.E点坐标为4,8.OE 8 4 4, EF 8.(3 )解法一：当0 t 3时，如图 1，矩形DEFG与厶 ABC重叠部分为五边形).过C作CM AB于M，则CHFGR(t 0时，边形CHFG为四标准文案标准文案BG RG “ t RGBM CM 36 Q RtAAFHsRtAAMC,S S,ABCSABRG1SAAFH36t1 2t8t28 t 223421644即S-

24、tt333 当3 t8时，如图2，为梯形面积，-G(8 1,0 )GR= 2 (8t)88 ?3331282t880 S4-(4 t)-8 -t233333当8 t12时，如图 3,为三角形面积,S1(8)(12 t)t28t 482332 如图，矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3) 动点M , N同时从B点 出发，分别沿BA,B C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1 )若a 4厘米，t 1秒，则PM _米；(2)若a 5厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；(3 )

25、若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值围;(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯【答案】解：(1)PM3，4(2)t 2，使 PNBPAD，相似比为3: 2(3)Q PM 丄 AB, CB 丄 AB， AMP ABC，形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在,标准文案QM 3 Ja3t(a3 (a 1)a2-(a t) t t-化简得t26aQt 3, 3，则a 6, 3 a 6,6 a(4)Q3 a 6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，贝U CN P

26、ME(a t) 3 t，把t -6乞代入，解之得a2后，所以a 2丁3.a6 a所以，存在a，当a 2,3时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.3.如图，已知ABC是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是 1cm/s，点Q运动的速度是 2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1 )当t= 2 时，判断BPQ的形状，并说明理由；(2) 设ABPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3) 作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APR

27、s/PRQ?当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即(QP AD)DQ(MP BN)BM AMP ABC,PM AM PM即 -BN AB t ,Q PM at(a t)a6a6 a标准文案【答案】解：(1) BPQ 是等边三角形，当 t=2 时,AP=2X1=2,BQ=2X2=4,所以标准文案BP=AB-AP=6-2=4, 所以 BQ=BP .又因为/ B=600所以 BPQ 是等边三角形过 Q 作 QE 丄 AB,垂足为 E 由 QB=2y,得 QE=2t sin600=3 t,由 AP=t，得 PB=6-t,11-品l所以 S XBPXQE= (6-t)x、.3t= t2+3, 3t;

28、22 2因为 QR /BA,所以ZQRC= ZA=60,/RQC= /B=600，又因为/ C=600,1所以 QRC 是等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos600=X2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP /QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ= . 3t,又因为/ PEQ=900,所以ZAPR= /PRQ=900.因为APR-APRQ, 所以/QPR=ZA=600,所以 tan600=,即6厂J3 ,所以 t=,PR V3t56所以当 t=时，APR -APRQ54 .在直角梯形OAB

29、C中，CB/OA，/COA = 90o ,CB= 3,OA= 6 ,BA= 3 5 .分别 以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系.(1 )求点B的坐标；(2 )已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD= 5,OE= 2EB，直线DE交x轴于点 F.求 直线DE的解析式；(3 )点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.标准文案TW-. v ETI -W *：H 驚：（丨）作刖轴于业乩 剿的边（time为他埶异m郁=3,.t-IA/ - fl W

30、 = 6-3 = J.曲心册中 w-*VEI1-屮-6.2鲁、/.点卅的朋鼻为（*町- . . . (5分)灯点邙:餐标为(0. S).懺倔加林析咒An“駅 叫芝；*-*“戈f运为龜ffii U标准文案HP Pit _讥wm乱反兀点祁的坐标为i“万.石).A点A的垫杯为(2jSt5) .:加图？* 半)n = u=1肝-5 EJ , Pljffi旺W八和为奏甲塔传盘悼处耳抽于点几 仲IT轴，/ A W ft血线)-+ 5上:、i殳財恵半标为M * - yaT时ft Ri&CVW甲.加t Pif!=Wt-J( (W( (3 Oj 4. d, =0 (.底芮他坐林为* rii TMT-P

31、! .L f 干 4F r -3帖图矢冷f川=tfD n ttl =、0时,啡詠为（$* 2 I* .* +（|4裁）蘇I所述；轴上力妁点丫有三个分别为(J再人帛(叽*) 用n5.小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3 个有联系的问题，请你帮助解决：(1) 如图 1，形ABCD中，作AE交BC于E，DF AE交AB于F，求证：AE DF；(2) 如图 2，形ABCD中，点E, F分别在AD，BC上，点G, H分别在AB，CD上, 且EFGH，求匡的值；GH(3 )如图 3，矩形ABCD中，AB a，BC b，点E，F分别在AD，BC上，且Bl ?Fi存在 . . . .i如歯L 1m= awM

32、Xwj =sai,冋边j衫OMX为荽形.作认丄：轴于点/.财肿7 i也.ZUHF A F加,i/?f 0 *时-i *5 aO, tff3T= 10, 就的坐标为VI, +mTj . -IOJ=5 5（1則点的坐标为(J. ?) ),*+* 2l規M世酸小辻按爾人交阳i诃户，ttJ XVJj M取棚垂UY专人标准文案EF GH，求GH的值.fi: L朴抽LFL離封倉出上At肛丄丽L，-亠AESZtMbngD* RiK-ijiASkAHAF的性周育可易住；!ftLJdjrHxABTU-山 作 JUEFxBC 于 JJh作&NGHxAB于N,贝AM二EF DM二GH-由（1 ）妙，AM二DN，（第 23 题图 1）（第 23 题图 2）（第 23 题图 3）标准文案EF: EFm P-= 1 W分）GH标准文案(3 )作他#EF交BC 于 M 作交 AB 于 N则如厶跖DN=GH.斎-,T/2 . /又.1 T -ll.-r.AM _ AB _ a 一 - -1:二;。6 如图，在等腰梯形ABCD中，AD / BC,AB DC 5,AD 6,BC 12动 点P从D点出发沿DC以每秒 1 个单位的速度向