第5讲(学生版)勾股定理经典例题

1、专项辅导第5讲勾股定理经典题1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理J勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状勾股定理的应用1、面积问题2、求长度问3、求最大、最小角的问题3、最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题类型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，/C=90°(1)已知a=6,c=10,求b,已知a=40,b=9，求c；(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用1专项辅导举一反三【变式】：如图/B=/ACD=90&#

2、176;,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少类型二：勾股定理的构造应用如图，已知：在中，二-百，a川，a求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知:一；一二于P.求证：寸-一F虫.【变式2】已知：如图，/B=/D=90°,/A=60°,AB=4,CD=2求：四边形ABCD的面积。12类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了'11.到达3点，然后再沿北偏西30。方向走了500m到达目的地C点。(2)(1)求A、C两点之间的距离。确定目的地C在营地A的什么方

3、向【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分,请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm,EC是上底面的直径.只蚂蚁从点A

4、出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.解:类型四：利用勾股定理作长为丽的线段5、作长为匚、九；、心的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于匚，直角边为匚和1的直角三角形斜边长就是±，类似地可作。8作法:【变式】在数轴上表示“订的点类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确（1） .原命题：猫有四只脚.（正确）（2） .原命题：对顶角相等（正确）（3） .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）（4） .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）7、如果ABC的三边分别为a、

5、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断/ABC的形状。【变式1四边形ABCD中，/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13，求四边形ABCD的面积【变式2】已知：AABC的三边分别为in?n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且mn）,判断ABC是否为直角三角形.【变式3如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且BF-AB请问FE与DE是否垂直？请说明经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【变式2】直

6、角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30。，点A处有一所中学，AP二160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？举一反三【变式1】如图学校有一块长方形

7、花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 却踩伤了花草。路（假设2步为1m ）,【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角专项辅导三角形问题来解决.1专项辅导3、如图所示，ABC是等腰直

8、角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE，DF，若BE=12,CF=5.求线段EF的长。B（二）方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC 中，/ C=90°,Z A=60 0 一，求“、1的值2举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm，求EF的长。ADBF考点一：勾股定理相关概念性质专项辅导(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么一定有b2=c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论：有一个角是30°的直角三角形

9、，30°角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是450的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证例题:例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。(1)在RtAABC中,/C=90若a=5,b=12,贝Uc=若a=15,c=25，则b=;若c=61,b=60,则a=;若a：b=3：4,c=1O贝URtAABC的面积是=(2)长是(如果直角三角形的两直角边长分别为 )rv-1 , 2n(n>1),那么它的斜边A、2nB、n+1C、n 1(3)的是(D > n +1在RtA ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确 )2

10、_L222x22A.abcB.acb222C.Cb=aD.以上都有可能(4)A、25B、14D、7 或 25已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是()例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为。专项辅导(2)已知RtAABC中，/C=90°,若a+b=14cm,c=10cm，贝URjABC的面积是(2A、24 cm2B、36 cm2C、48 cm2D、60 cm(3)已知x、y为正数，且黑241+ (y-3)2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三

11、角形的斜边为边长的正方形的面积为(B、25D、 15例2:面积问题(1)下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是(1A. 13B. 26A. S 计 S2> S3B. S 什 S2= S3C. S2+S3V SiD.以上都不是(2)如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角 形，其面积分别是Si、S2、S3则它们之间的关系是(D. S2- Ss=SiA. Si- S2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+S3V Si(1)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还

12、多1米，当他把绳子的下端拉开 5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。(2)在一棵树10m高的B处，有两只猴子, 一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；？另外一只爬到树顶D处后直接跃到A夕卜，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高?D. 94C.47(图(3)如图，ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系,可得(B例4:最短路程问题2(1)如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2,AB,CD分别是两底面的直径，AD,BC是母线，若一只小虫。(结果保留根式)从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(

13、2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为D '- B(图1)例5:航海问题（图2）(1) 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后，它们相距海里.(2)如图1，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30。的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。（图1）

14、（图2）(3)某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向如图的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h 2，260kmB点移到D点？如果在距台风的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例6:网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A.0B,1C,2D,3（2）如图，正方形网格中的aABC，若小方格边长为1，则上'ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三

15、角形D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A.25B.12.5C.9D.8.5D（图1）（图2）（图3）例7:图形问题（1）如图1,求该四边形的面积（2）如图2,已知，在AABC中，/A=45°AC=直,AB=J3+11则边BC的长为c3BC1?-D/413AADB（图1）（图2）（3）某公司的大门如图所示手中四边形CD是长方形，上部是以AD为直径的半圆,其中AE=2.3m,BC=2m现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m,宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由（4）（太原）将一根长24cm的筷子置于地面直径为5cm,

16、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm,贝Uh的取值范围。课后作业：【中考链接】1 .如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm>BC=8cm,现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则BE的长为(A) 4 cm(B) 5 cm(C) 6 cm(D) 10 cm2 .如图所示，在RtZABC中，/C=90。，/A=30°,BD是/ABC的平分线，CD=5cm,求AB的长.3 .如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形:使三角形的三边长分别为3、.、8、.5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）4.A.1 , 2, 3B.2 , 3, 4C.3 , 4, 5D.4 , 5, 6F列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）5.在AABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为(6.A.锐角三角形B直角三角形C.钝角三角形D等腰直角三角形6.已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtAACD再以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等