人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析汇报)

1、标准实用几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1. 掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2. 掌握正方形的性质定理1 和性质定理2。3. 正确运用正方形的性质解题。4. 通过四边形的从属关系渗透集合思想。5. 通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2 包括了

2、平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：（ 1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（ 2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。文案大全标准实用典型例题精讲例 1如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使 AD 边与对角线BD 重合，得折痕 DG ，使AD2，求 AG【解析】：作 GM BD，垂足为M由题意可知ADG=GDM，则 ADG MDG DM=DA=2 AC=GM又易知： GM=BM而

3、 BM=BD-DM=22 -2=2 （2 -1）， AG=BM=2（ 2 -1 ）例 2如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PAPB 10 ，并且 P 点到 CD 边的距离也等于10 ，求正方形 ABCD 的面积？【解析】：过 P 作 EFAB于F 交DC于E设 PFx ，则 EF10x ， BF1 (10x) 2由 PB2PF2BF 2可得： 102x21(10x)24故 x 6 SABCD162256例3.如图， E 、 F 分别为正方形ABCD 的边 BC 、 CD 上的一点，AMEF ， ?垂足为 M ，AMAB ，则有 EFBEDF ，为什么？【解析】：要说明 EF=BE+DF

4、，只需说明BE=EM，DF=FM即可， 而连结 AE、AF只要能说明 ABE AME， ADF AMF即可理由：连结 AE、 AF由 AB=AM， ABBC， AM EF， AE公用， ABE AME BE=ME同理可得，ADF AMF DF=MF EF=ME+MF=BE+DF文案大全标准实用例 4如下图E、分别在正方形ABCD的边、上，且EAF 45 ，试说明 EF BE DF 。FBC CD【解析】：将 ADF旋转到 ABC，则 ADF ABG AF=AG， ADF= BAG，DF=BG EAF=45°且四边形是正方形， ADF BAE=45° GAB BAE=45&#

5、176;即 GAE=45° AEF AEG（ SAS） EF=EG=EB BG=EB DF例 5. 如图，在正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上取 E、F 两点，使EAF45 ，AGEF 于G. 求证： AGAB【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证 Rt ABE与 Rt AGE全等，但条件不够. EAF=45°怎么用呢 ？显然 1 2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.【证明】：把 AFD绕 A 点旋转 90°至 AHB. EAF=45°， 1 2=45° . 2= 3， 1 3=45° .又由旋转所得

6、AH=AF，AE=AE. AEF AEH.例 6. (1)如图 1, 在正方形 ABCD 中, 点 E ,F 分别在边 BC ,CD上, AE, BF 交于点 O, AOF90 .求证： BE CF .(2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E, H , F , G 分别在边 AB,BC,CD, DA上, EF , GH 交于点 O,FOH90 , EF4.求 GH 的长.图 21. 已知点 E, H , F ,G 分别在矩形 ABCD的边 AB, BC,CD, DA上，EF , GH 交于点 O , FOH 90 , EF 4 . 直接写出下列两题的答案：文案大全标准实用如图 3, 矩

7、形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成, 求 GH 的长；如图 4, 矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成, 求 GH 的长 ( 用 n 的代数式表示) .图 3图 4【解析】(1) 证明：如图 1， 四边形 ABCD为正方形， AB=BC, ABC= BCD=90°， EAB+ AEB=90° . EOB= AOF 90° ,FBC+ AEB=90°， EAB= FBC，图 1 BCF，= ABEBE CF(2) 解：如图 2, 过点 A 作 AM/ GH交 BC于 M，N过点 B作 BN/EF交 CD于 N, AM与 BN交于点 O/，则四边

8、形 AMHG和四边形 BNFE均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， 90°,/，, / =90° ,MFOHAMGH EF/BNNOAO故由 (1)得 , ABM BCN， AM=BN，GH=EF=4图 2(3) 8 4 n巩固训练【双基训练】1. 如图 6，点 A 在线段 BG 上，四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形， ?其边长分别为 3cm 和 5cm ，则 CDE 的面积为 _ cm2 (6)(7)2你可以依次剪6 张正方形纸片， 拼成如图7 所示图形 ?如果你所拼得的图形中正方形的面积为1，且正方形与正方形的面积相等，?那么正方形的面积为_3. 如图

9、9，已知正方形ABCD 的面积为 35 平方厘米， E 、 F 分别为边 AB 、 BC 上的点 AF 、 CE相交于 G ，并且ABF 的面积为14 平方厘米，BCE 的面积为5 平方厘米， ?那么四边形BEGF 的文案大全标准实用面积是 _4.如图， A 、 B 、 C 三点在同一条直线上，AB2BC 。分别以AB 、 BC 为边作正方形ABEF 和正方形 BCMN ，连接 FN ，EC 。求证： FNEC 。5.如图， ABCD 是正方形G 是 BC上的一点， DEAG 于E， BFAG 于F （ 1）求证： ABF DAE ；（ 2）求证： DE EF FB ADEFBGC【纵向应用】

10、6.在正方形ABCD 中，12 A求证： OF1 BEE22FG1BDC7. 在正方形 ABCD 中， 12 AE DF ,DA求证： OG1 CE1 2 G2EHOCFB8.如图13，点 E 为正方形ABCD 对角线 BD 上一点 ,EFBC ,文案大全标准实用EGCD求证： AEFGADEGBFC139. 已知：点 E 、 F 分别正方形 ABCD 中 AB 和 BC 的中点，连接 AF 和 DE 相交于点 G ,GHAD于点H.一、求证： AFDE；二、如果 AB2,求GH 的长；AHD三、求证： CGCDEGB【练习题答案】1 6cm22 363 4 20 cm2（面积法）274. 证

11、明： FN=EC。证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF， BC=BN， FEN= EBC=90° AB=2BC EN=BC FEN EBC FN=EC。5. 略6. 提示：注意到基本图形中的AE=AF.一 . 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证二 .过点 O作 OG DE和 CO=CG,CF=CE可证 .3，过点 O作 OH BE, OF= OH= 1 BE27. 提示：一条线段的一半或 2 倍这两者的位置关系有哪两种8. 提示：延长 AE 交 GF于点 M，DC,使 CH=DG,连接 HF,证四边形对角互补 , 法 2：延长 FE， AE证全等三角形9.

12、（ 1) 略（ 2） 4 （ 3）作 CMDG,证 DM=AG=0.5DG5FC文案大全标准实用专题（ 1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（ 2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是90°；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（ 3）主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的平行四边形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的

13、形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。典例精讲例 1. 已知：如图， P是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 求证：PBC 是正三角形【证明】：如下图做 DGC 使与 ADP 全等，AD可得 PDG 为等边，从而可得P DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG 150所以 DCP=30 0 ，从而得出 PBC 是正三角形例 2. 如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形BCACDE 和正方形 CBFG ，点 P是 EF 的中点D求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半【证明】：过

14、 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG， CI ， FH。G可得 PQ=EG+ FH 。EC2由 EGA AIC ，可得 EG=AI ，PF由 BFH CBI ，可得 FH=BI 。AQB文案大全标准实用从而可得 PQ= AI +BI =AB ，22从而得证。例 4. 如图，四边形 ABCD 为正方形， DE AC ， AEAC，AE与CD相交于 F 求证： CE CF 【证明】：顺时针旋转ADE ，到 ABG ，连接 CG.由于 ABG= ADE=90000+45 =135从而可得B ，G，D 在一条直线上， 可得 AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边

15、三角形。 AGB=30 0，既得 EAC=30 0，从而可得 A EC=75 0 。又 EFC= DFA=45 0 +300 =750.可证： CE=CF 。ADFEBC例 6. 设 P 是正方形ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP ， CF 平分DCE 求证： PAPF 【证明】：作FG CD， FEBE ，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ， BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tan EPF= X =Z，可得 YZ=XY-X 2+XZ ，Y Y- X+Z即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PAPF ，得证

16、 。ADFBPCED文案大全标准实用例 7. 已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA PBPC的 AD最小值【证明】：顺时针旋转 BPC 600 ，可得 PBE 为等边三角形。P既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP， PE， EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 。BC既得 AF=1 + (3+1)2=2 +3 =4+2 3422(3+ 1)2=23+ 1)=2(26 + 2=。2例8.P 为正方形 ABCD 内的一点，并且PAa ， PB2a ， PC3a ，求正方形的边长【证明】顺时针旋转ABP900 ，可得如下图：既

17、得正方形边长 L = (2 +2)2+ (2 )2 a = 5 + 2 2 a 。22ADPBC文案大全标准实用【双基训练】1. 如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、 BD 相交于 O ，四边形 BEFD 是菱形，若正方形的边长为 6，则菱形的面积为_2. 如图， ABCD 是正方形，E 为 BF 上一点，四边形AFEC ?恰是一个菱形，?则EAB =_【纵向应用】3. 如图，四边形ABCD 是边长为 a 的正方形，点G ， E 分别是边 AB ， BC 的中点，AEF90 ，且 EF 交正方形外角的平分线CF 于点 F （ 1）证明：BAEFEC ；（ 2）证明：AGEECF ；（

18、 3）求AEF 的面积文案大全标准实用【横向拓展】4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD （不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN ，连接 EN 、 AM 、CM . 求证：AMBENB ； 当 M 点在何处时， AMCM 的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当AMBMCM 的最小值为3 1时，求正方形的边长 .ADNEMBC【练习题答案】1 362【解析】连结BD交 AC于点 O，作 EMAC于点 M设正方形边长为a，则 AC=BD=AE= 2 a又 AC BF， BO AC， EMAC，12 BO=EM= BD=a2 2在 Rt AEM中， AE= 2 a， EM= 2 a2 CAE=30°则 EAB=15°3. （ 1）证明： AEF=90o， FEC+ AEB=90o在 Rt ABE中， AEB+ BAE=90o， BAE= FEC；（ 2）证明： G， E分别是正方形 ABCD的边 AB，BC的中点， AG=GB=BE=EC，且 AGE=180o 45o=135o又 CF是 DCH的平分线，文案大全标准实用 ECF=90o+45o=135o在 AG