复数专题复习

1、复数复习专题【基础知识回顾】、复数的概念及运算:1 复数的概念： 形如 a+ bi(a, b R)的数叫复数。(1) 虚数单位i;(2) 实部：a,虚部：b;即 a+ bi 的共轭复数是。复数的模：umr向量OZ的模 r 叫做复数 z= a+ bi(a, b R)的模，记作|z|或|a+ bi|,即 |z| = |a + bi| =_2.复数的几何意义剧应(1)复数 z= a+ bi- 复平面内的点 Z(a, b)(a, b R).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 zi= a + bi, z2= c+ di(a, b, c , d R),则加法：zi+ Z2= (a+ bi)

2、 + (c+ di) =_2减法：zi z2= (a+ bi) (c+ di) = _3乘法： ziz2= (a+ bi) (+ di) = _4除法：zi=a直=a+bi cdi=z2c+ dic+ di c di(2)复数加法的运算定律(3)复数的分类(Z宀拓有理数bi)实数(b 0)无理数i虚数(b 0)纯虚数(a非纯虚数(aa,b R;0)0)相等的复数：a+ bi = c+ di?(a, b,c, d (5)共轭复数：a + bi 与 c+ di 共轭?_(a, b, c, d R).复数 z= a+ bi(a,b R)-平面向量Ok复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zi+ z2

3、= Z2+ Zi, (zi+ z2)+ Z3= Zi+ (z2+ z3).Zi, Z2, Z3 C,有24 复数的共轭及模的性质:(1)z R z z；z是纯虚数zz，反之不成立;(2)z与z关于x轴对称,(3)复数共轭运算性质：Z1Z2Z1Z2, Z1z2Z2Z2ZZ2复数模的运算性质:Zi|Zz,Zi片(Z20),z|z|zn；z2（1） 对复数 z、Z-I、Z2和自然数m nzm?znm nm、nZ，(Z )mnZ，(W?Z2)i1i，i21，i34i，i1；.4n 1i1，i4n21, 4n 3ii， 4ni(1i)22i1，1i.1i，i1ii设1、3i2 25、重要结论n，有n n

4、Z1?Z21.3 n3nnn 1n 2，0二、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况:对方程ax2bx c 0(其中a,b,c0），令b24ac，0时，方程有两个不相等的实数根。=0 时，方程有两个相等的实根；0时，方程有两个共轭虚根:2、复系数一元二次方程根的情况:对方程ax2bx c 0,x3、一元二次方程的根与系数的关系:XiV i22的平方根；2ax-ix2若方程ax2bx c 0（其中a,b,c R且a 0）的两个根为 捲、x2，贝UXjX2【热身练习】1. （2015 全国卷I）已知复数 z 满足（z 1）i = 1 + i，贝 U z=（）A . 2 iB . 2+

5、iC、2 i D. 2+ i2.（2016 郑州质量预测）设 i 是虚数单位，若复数m+3i（m R）是纯虚数，则 m 的值为（）A、一 3 B . 1C . 1 D. 33 .（习题改）如果实数 x,y 满足（x+ y） + （y 1）i = （2x+ 3y） + （2y+ 1）i，贝 U x =_, y=4 .（习题改）ABCD 是复平面内的平行四边形， A, B, C 三点对应的复数分别是1 + 3i,i,2 + i，则点 D 对应的复数为 _.5.设 i 是虚数单位，若复数（2 + ai）i 的实部与虚部互为相反数，则实数 a 的值为_.【典例剖析】考点一复数的有关概念2 +ai【例

6、1】1 . （2015 全国卷H）若 a 为实数，且 二三=3+ i，则 a=（） 1+ iA. 4B . 3C . 3 D、42i2 . （2016 江模拟）设复数 z=，则 z 的共轭复数为（）1313A.2 i B、2+ 2iC . 1 3iD . 1 + 3i3.【2015 高考广东，理 2】若复数z i 3 2i（i是虚数单位），则z（）A .3 2iB .3 2iC .2 3iD、2 3i【变式突破】1 .（易错题）设复数 z= 1 i（i 为虚数单位），z 的共轭复数为 z，则|（1 z） -z |=（）A、，10 B . 2C. 2 D . 17 + i2 . （2014 天津

7、高考）i 是虚数单位，复数 3+=（）17 , 3117 , 251B1+q怎+刃 D.+7baca3. （2015 天津高考）i 是虚数单位，若复数（1 2i）（a+ i）是纯虚数，则实数 a 的值为_.考点二复数的几何意义1 一 i【例 2】1. （2016 长春质检 復数 的共轭复数对应的点位于（）2 iA .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限5i2.（2015 郑州质量预测）在复平面内与复数 z=苻刁所对应的点关于虚轴对称的点为A,则 A 对应的复数为（）A . 1 + 2i B . 1 2iC、一 2+ i D . 2+ i【变式突破】1.已知复数 Z1= 1+ 2i,

8、 z2= 1 i, z3= 3 4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,uuur uuru uuu若OC=入OA+QB,（人氏 R），贝 U 入 + 的值是_ .2i2. （2015 安徽高考）设 i 是虚数单位，则复数 严在复平面内所对应的点位于（）1 iA .第一象限B、第二象限C.第三象限D .第四象限1 + i 2 + i1 + 2i2+ 3 1 i3.计算： 沪 ；（2）2+T考点三复数的代数运算【例 3】2_= 1 + i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A . 1 + iB . 1 iC . 1 + i D、一 1 i22 . （2016 吉林实验中学）设复数 z=

9、1 + i（i 是虚数单位），则-+2=（）A、1 + i B . 1 iC . 1 i D . 1+ i1 i1 . （2015 湖南高考）已知 一1i . 1+i 、1 3i 呵厂+L；(2)逅+ i.【变式突破】2 .已知 i 是虚数单位, 复数课后巩固提升1. （2016 西安质检）已知复数 zi= 2+ i, Z2= 1-2i.若 z=，贝 V z =（）Z244A- + i B. - IC . i D、一 i5512.若复数 z= a2-1 + （a+ 1）i（a R）是纯虚数，则 的虚部为（）z+ a2 2 2 2A、 5B .-5iC.5D.5i1 + 2i2 0153.复数

10、z=歸（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点在（）IiA.第一象限B.第二象限 C、第三象限D.第四象限“uuu uuuF4.如图，在复平面内，复数左应二 LA、2B. 3C.2J2D. 3 羽T丨2i5.（2015 浙江宁波高三期中）已知复数 z= 1 +1j，贝V1+ z+ z2+-+ z2 015=（）A . 1 + i B . 1 - iC . i D、06 . （2016 芜湖一模）已知 i 是虚数单位，若 Z1= a+ ji, Z2= a 屮，若:为纯虚数，则实数 a =（）7.设 Z1, Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A .若 |Z1 Z2|= 0,贝yZ1=Z2

11、B .若 Z1=Z2，贝yZ1=Z2C.若 |Z1|= |Z2,则 Z1-Z1= Z2-Z2D、若 |Z1|= |Z2|,则 z= Z21 V31 V5& （2016 刑台摸底考试）已知复数 Z1=- 2 + P, Z2=- 2 yi，则下列命题中错误的是（）a1-L1 已知复数A.z 的共轭复数，则界.或一A . z5= Z2B .|Z1|= |Z2|C、Z3- z2= 1D .Z1, Z2互为共轭复数129.- 复数 |1+;2i|+ _=.1 i10._(2015 重庆高考)设复数 a+ bi(a, b R)的模为 J3,则(a + bi)(a bi) =_ .11._已知复数z

12、i= cos 15+ isin 15 和复数 z2= cos 45+ isin 45 ，贝 U ziz2=_ .a+ 3i12.(2016 浙江摸底)已知 i 是虚数单位，若 =b+ i(a, b R)，则 ab 的值为_13._ (2015 唐山统考)若复数 z 满足 z= i(2 + z)(i 为虚数单位)，则 z=_ .1 + ai14._已知 a R，若为实数，则 a= .2 i15. 已知复数 z= x+ yi，且 z 2|=3,则y的最大值为 _ .X附复数三年高考汇编1.(2014 浙江高考)已知 i 是虚数单位，a, b R,则a= b= 1 ”是(a+ bi)2= 2i”的(

13、)A、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件1 + z2.(2015 全国卷I)设复数 z 满足 1z= i，则|z|=()A、1B. 2C.3D. 23.(2015 全国卷n)若 a 为实数，且(2 + ai)(a 2i) = 4i，贝Ua=()A . 1 B . 0C. 1 D. 24.【2015 高考新课标 2，理 2】若a为实数且(2 ai)(a 2i) 4i，则a()A.1B、0C. 1D.2325.【2015 高考四川，理 2】设 i 是虚数单位，则复数i3()i(A) -i (B) -3i (C) . i (D) 3i7.【2015 高考北京，

14、理 1】复数i 2 i()A、1 2i B. 1 2i C.1 2iD.1 2i8.【2015 高考湖北，理i为虚数单位,i607的共轭复数为(9.【2015 高考山东，理若复数z满足i，其中i为虚数为单位，则z=()(A) .1 i(B)1 i(C)1 i(D)1 i虚数”的（ ）13. （ 2016 年山东高考）若复数z满足2z z 3 2i，其中 i 为虚数单位，则z=（A） 1+2i （ B） .1 2i （ C）1 2i（ D）1 2i14. （2016 年全国 II 高考）已知z （m 3） （m 1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）（A） .（ 3,1）（

15、 B）（ 1,3）（C）（1,+ ）（ D）（-，3）15. （ 2016 年全国 I 高考）设（1 i）x 1 yi，其中x，y是实数，则x yi =（A） 1（ B） .2（C）3（ D） 24i16. （ 2016 年全国 III 高考）若z 1 2i，则一zz 1（A）1（B） -1（C）. i（D）-i17. （2014 苏高考）已知复数 z= （5 + 2i）2（i 为虚数单位），贝Uz 的实部为 _.1 18. （2014 上海高考）若复数 z= 1 + 2i，其中 i 是虚数单位，则z+=_19. （2016 年北京高考）设a R，若复数（1 i）（a i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a _.20. （2016 年天津高考）已知a,b R，i是虚数单位，若（1i）（1 bi） a，则a的值为_.b21. （2016 江苏省高考）复数z（1 2i）（3D,其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_10.【2015 高考安徽,理 1】设 i 是虚数单位，则复数12i（A）第一象限（B） 第二象限(C) 第三象限在复平面内所对应的点位于（i（D）第四象限11.【2015 高考湖南,理 1】已知i（i为虚数单位），则复数z=（）A.1 iB.1 iC.1D.1 i12.【2015 高考上海,理 15】设Z|Z2则“