无穷小与无穷大培训资料

1、无穷小与无穷大精品资料1.4无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1.无穷小量的定义定义：如果X 一 X0 (或x 一 吟时，函数f (x)的极限为零，那么把f (x)叫做当X 一 X0 (或X 一 °°)时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为lim (x 1) 0,所以函数x-1是x1时的无穷小。一一 1因为lim 7x X0 ,所以函数1是当X-1时的无穷小X仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢51 1 一，一一、.因为lim j 0,所以函数 ,te当x一一0°时的无分小。x . 1 X1 X以零为极限的数列Xn12 .,称为当A8时的无穷小，王都是n-00

2、时的无穷小。注：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在X-X0 (或X一 8)时，极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在 X-X0 (或X-oo)时，极 限是零。2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。sin x 例1求lim二 x X1斛：:

3、 sinx 1,是有界函数，而lim - 0攵X有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。limXsin xx3 .函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。4 .无穷小的比较例：当 x0 时，x, 3x, x2, sinx, x2 sin1 都是无穷小。x观察各极限:2lixmo3x 0sin x则丫4比3x要快得多sinx与x大致相同sin x 1 sin x lim 丁lxm ;x sinx比x2慢的多.1ns2Xx-m:1- Xnsi不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。得到以下结

4、论：设a和B都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小如果lim=0,则称B是比a高阶的无穷小如果lim= 8,则称B是比a低阶的无穷小如果lim=k (kw0),则称B与a是同阶的无穷小如果lim=1,则称B与a是等价无穷小，记为aB。例2.比较当X-0时，无穷小, 1 x与X2阶数的高低。1 x解：因为m:) xmo x所以 - 1 xX21 X例3.当x-1时，无穷小1 x与1-x3是否同阶，是否等价?1 X1 x1斛：则 F 则（1 x）（1 x x2） 3故同阶但不等价。常用的等价无穷小：当 x一。时，sinx x ； arcsinx x ； tanx x ； arctanx x ；12

5、xa1-cosx &x , ln（1+x）x ; e-1-x ； （1+x）1-ax1.4.2无穷大1 .无穷大量的定义如果当x 一 xo （或x 一 °°）时，函数f （x）的绝对值无限增大，那么函数f （x）叫做当x 一 x0 （或x 一 °°）时的无穷大量，简称无穷大。1 一注：说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数 ,是 x当x 0时的无穷大，当x 00时，它就不是无穷大，而是无穷小了。不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x一xo（或x-oo ）时极限为常数本身，并不是无穷大。2 .无穷小与无穷大的关系1、定理：在

6、自变量的同一变化过程中，若 f(x)为无穷大，则,为无穷 f(x)1小；反之，若f(x)为无穷小，且f(X)W0,则为无穷大。 f(x)例4.求则 x22x5x37解：当x1时，分母x2-5x+4-0,因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限/21x 5x 4则而则一" 0由无穷大与无穷小的关系可得lim f (x) "x" 11. 5函数的连续性1.5.1函数连续性的概念1 .函数的增量定义：在函数y=f (x)中，当x由xo (初值)变化到x1 (终值)时，终值与初值之差x1-xo叫做自变量的增量(或改变量)，记为A x= x 1-xo.相应的，函

7、数终值f (x)与初值f (xo)之差Ay,叫做函数的增量。注意：增量Ax可正、可负；增量Ay可正、可负或为零。2 .函数y=f (x)在xo的连续性先观察两个函数的图像的特点精品资料当 Ax0 时，Ay 0。当Ax-o时，Ay不趋向于零。定义：设函数y=f(x)在点xo及其近旁有定义，如果当自变量 x在点xo处的增量Ax趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量y f (xox) f(xo)也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点xo连续用极限表示，就是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11im y o或 lim f (xox)f (xo)定义2：设函数y=f(x)在点xo及其左右近

8、旁有定义，如果函数 y=f(x)当xi一xo时的极限存在，且等于它在xo处的函数值f(x o),即lim f(x) f(xo)x xo那么就称函数f(x)在点xo处连续。函数f(x)在点xo处连续必须满足三个条件: 函数f(x)在点xo及其左右近旁有定义;lim f(x)存在;x xo lim f(x)f(X0)X X01xsin_,x 0例5试证函数f(x) o,x 0,在x=0处连续。证明：函数f (x)在x = 0及其左右近旁有定义1lim xsin 0 f(0)=0lim f (x) f x 0xx 0函数f(x)在x=0处连续。3.函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数f(x

9、)在区间(a, b内有定义，如果左极限lim f(x)存在且等X1 b1于 f (b),即 lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在点b左连续。x b设函数f(x)在区间a, b)内有定义，如果左极限lim f(x)存在且x a等于f (a),即lim f (x) = f (a),就说函数f (x)在点a右连续。 x a定理：函数f (x)在点x。处连续f (x)在点x。处既左连续又右连续f(%)f(%) f(x°)在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区 问(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4.复合函数的连续性设函数y

10、f(u)在点u0处连续，函数u (x)在点x0处连续，且U0 (x6 ,则复合函数y f x在点x0处连续，即lim f X fX XoX。 f limXXXo例6求lim也一解：原式=lim log a 1X 0logaeln e 1ln a ln a可以推出：当x 0时,lOga 1 XXln a1.5. 2函数的间断点函数f (X)在X0点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称f(x)在X0点不连续(或间断)，并称X0点为f(x)的不连 续点或者间断点。间断点的分类:第一类间断点：fXofXo,但fXofXofXo,或者f Xo无意义。 f X0f X0不是第一类间断点的

11、其他间断点都称为第二类间断点。1.5.3闭区间上连续函数的性质性质1闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。注意：若区间是开区问，定理不一定成立。若区间内有间断点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质2如果函数f(x)在a,b上连续，且f a f (b)<0,那么至少存在一点七C(a,b),使得f 0o对于方程f(x)=0,若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根七f七又称为函数f (x)的零点。例7证明方程x3 4x2 1 0在区间(0, 1)内至少有一个根。证明：设f(x)=x3 4x2 1, f(x)在0,1上是连续的，又因为f (0) =1>0f(1) = 2<0根据性质2,至少存在一点己e(0, 1),使f 0即 3 4 2 1 0从而证得方程x3 4