全国大学生数学竞赛预赛试题.(19届)

1、第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题(每小题5分，共20分)(x y)ln(1 -)1 .计算一,x dxdy _,其中区域D由直线x y 1与两坐标轴所围成三角形区域D . 1 x y22 .设f(x)是连续函数，且满足 f(x) 3x八、(10分)求x 1时，与 xn等价的无穷大量o f (x)dx 2,则f(x) .2x 23 .曲面z y2平行平面2x 2y z 0的切平面万程是24 .设函数y y(x)由方程xef(y) eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1,则叫 .dxx 2xnx e二、(5分)求极限iim(e_J)"其中n是给定的正整数.X 0三、(1

2、5分)设函数f(x)连续，g(x)在x 0处的连续性.(xt)dt ,且 lim (x) A, A 为常数，求 g (x)并讨论 g (x)x 0 x , L为D的正向边界，试证：ssin y ,sin y ,52(2) o xe 'dy ye dx 一1 2四、(15分)已知平面区域D (x, y)|0 x , 0 ymsin ysin xsin ysin x ° xe dy ye dx 口 xe dy ye dx;LLxex ex, y3 xex e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分五、(10 分)已知 y xex e2x, y 方程的三个解，试求此微分方程.六、(

3、10分)设抛物线y ax2 bx 2lnc过原点.当0 x 1时，y 0,又已知该抛物线与x轴及直线 x 1所围图形白面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.3七、(15分)已知明满足Un(x) Un(x) xn 1ex(n 1,2,),且u0(1)-,求函数项级数Un(x)之和.nn 1第二届全国大学生数学竞赛预赛试题x2一、（25分，每小题5分）（1）设 Xn （1 a）（1 a22五、（15分）设l是过原点、方向为（，），（其中222 1 ）的直线，均匀椭球勺 4 4 1,a b c其中（0 c b a,密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其

4、转动惯量关于方向（，）的 最大值和最小值。六、（15分）设函数（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分?2xyd4_膂 的值为常数。（1）设l为正向闭曲线（x 2）2 y2 1,证明？丝要一（2x）dy 0;（2）c x yc x y）L （1 a2）,其中 |a| 1,求 limxn.（2）求 lim e x 1nx（3）设 s 0 ,求 I ° e sXxndx（n 1,2,L ）。 22（4）设函数f（t）有二阶连续导数，r 77F,g（x,y）f 1 ,求一1 2。r x y、（15分）设函数“*）在（0,lim f (x)0,且x求直线l1:Z

5、0 0与直线lz1的距离）上具有二阶导数，并且f （x） 0,lim f （x）x存在一点xo,使得f（xo） 0,证明：方程f （x） 0在（，）恰有两个实根 x 2t t2三、（15分）设函数y f（x）由参数方程x （t1）所确定，其中（t）具有二阶导数，曲线y （t）t223,y （t）与y e u du 一在t 1出相切，求函数 （t）。 12ena四、（15分）设an 0,Snak,证明：（1）当 1时，级数 员收敛；（2）当 1且5 （n ）k 1n 1 0时，级数亘发散 n 1 Sn4x2求函数（x）； （3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求2xydx(x)dyy计算下列

6、各题(1).求 limx 0sinx(3)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题（共3小题，每小题各5分,11 cosx共15分）1(2).求 lim n nx已知yIn 1e2tt arctanet求d2y，求左。. （10分）求方程2x y4 dx x y1 dy 0的通解. （15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 f0 ,f0 ,f0均不为0,证明：存在唯一一组实数k1fhk2 f 2hk1,k2,k3,使得 lim了3hf 0 02x四.(17分)设1 : 2 a22-y-二 1,其中 a b c 0, 2 : z2x2y2,b2c2的交线，求椭球面上各点的切平面到原

7、点距离的最大值和最小值。五.（16分）已知S是空间曲线z3y201绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0）取上侧，是S在Px,y,z点处的切平面,x,y,z是原点到切平面 的距离,表示S的正法向的方向余弦。计算:(DS x,y,zdS； (2) z x 3 y z dSS六.（12分）设f（x）是在内的可微函数，且mf x ,其中0 m1,任取实数a0,定义anln fan 1,n 1,2，证明:an1an 1绝对收敛。七.（15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f（x）,满足f 0 f 21,1,2f x dx 1?请说明理由0第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷,x 12.求极限lim 3

8、x xxLSint _dt：,t cost一.每题6分共30分11.求极限 lim (n!)n2 ;n3.求通过直线L :2xy 3z 0 的两个相互垂直的平面5x 5y 4z 3 02,是其中一个平面过点(4, 3,1);4.已知函数z2u(x,y)eaxby,且一u 0,确定常数x ya和b ,使函数z z(x, y)满足方程5.设函数uu(x)连续可微，u(2) 1 ,且(x 2y)udx (xLj)udy在右半平面上与路径无关,求u(x);.(10 分)计算 o e 2x |sin x |dx ；1.(10分)求万程x2sin- 2x 501的近似解，精确到0.001； x四.(12

9、分)设函数 y f(x)二阶可导，且 f (x) 0, f (0) 0, f (0) 0 ,求lirn x f(u!，其中 u 是 lixm f(x)sin3u曲线y f (x)上点P(x, f(x)处切线在x轴上的截距;五.(12分)求最小实数C,使得对满足jf(x)|dx 1的连续的函数f(x),都有:f(/x)dx C；六.(12分)设f(x)为连续函数，t 0,区域 是由抛物面z x2 y2和球面x2 y2 z2 t2所围起来的上半部分，定义三重积分F(t)f(x2 y2 z2)dv,求F(t)；a-1七.(14分)设 an与bn为正项级数那么(1)若lim(nJ ) 0,则 an收敛

10、；(1)若n 1n 1nan 1bnbnn 1a 1lim(/ -) 0,则若bn发散，an收敛。nan 1 bn bnn 1n 1第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 n1.求极限 lim 1 sin 71 4n2n、 解答下列各题（每小题6分共24分）2 .证明广义积分 snx dx不是绝对收敛的0 x3 .设函数y y x由x3 3x四、（12分）设 f x , f xy 2y3 2确定，求y x的极值。4 .过曲线y 3/x x 0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为-,4求点A的坐标。、（12 分）计算定积分 IxsinxarCtanexdx1 cos x一 1一

11、级数 f -收敛n 1 nf x、（12分）设f x在x 0处存在二阶导数f 0 ,且lim 00证明x 0b0 a x b ,证明 sin f x dxa五、（14分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 Ix3 x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（14分）设Ia r ? ydx xdy ,其中a为常数，曲线C为椭圆x2 xy y2 r2,取正向。求极限 22c x ylimrIa r七（14分）判断级数1n的敛散性，若收敛，求其和第六届全国大学生数学竞赛预赛试题填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

12、1 .已知yi ex和yi xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是2 .设有曲面S:z x2 2y2和平面L:2x 2y z 0。则与L平行的S的切平面方程是3 .设函数y y(x)由方程x、一 n k i4 .设 xn 。则 lim xnk i (k 1)! n(12分)设n为正整数，计算xsin 一 dt所确止。求45 .已知g1 xdydxx 01f(x) 73f(x)e lim Vxx 0 xI2n cos ln- dx。e dx x三(14分)设函数f(x)在0,1上有二阶导数，且有正常数 A,B使得|f(x)| A,|f"(x)| B。证明：B对任意 x 0,

13、1,有 | f'(x) | 2A B。 2四(14分)(1)设一球缺高为h,所在球半径为R。证明该球缺体积为一(3R h)h2。球冠面积为2 Rh ;3(2)设球体(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 12被平面P:x y z 6所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx zdxdy1 b五(15分)设f在a,b上非负连续，严格单增，且存在xn a,b,使得f(xn)n f(x)ndx。 b a a求 lim xn n六 (15 分)设 An2n2-n22-n2o 求 lim n -Ann 1n 2n n n 4第七届全国大学生数学竞赛预赛

14、试卷、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）(1)极限 lim nn.2 sin sin - nn_2 A 2 c n 1n 2sin-2 n n(2)设函数z z x,y由方程F x -, y -y x0所决定，其中F u,v具有连续偏导数，且zzxFuyFv0。贝U x y- .xy（3）曲面z x2 y2 1在点M 1, 1,3的切平面与曲面所围区域的体积是 (4)函数f x3,x5,0在 5,5的傅立叶级数在x 0收敛的值是0.x0,5（5）设区间0,上的函数u x定义域为的u x 0 e"dt，则ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，

15、求其方程三、（12分）设f x在a,b内二次可导，且存在常数，使得对于x a,b ,有f x f x fx,则fx在a,b内无穷次可导四、（14分）求幕级数n3 2xn 0 n 1 !1 n的收敛域，及其和函数1五、（16分）设函数f x在0,1上连续，且0 f x dx10,0xf x dx 1o 试证:(1)x00,1 使 f x04(2)x10,1 使 f x14六、（16分）设f x,y在x2 y2 1上有连续的二阶偏导数，且fxx 2f： f。M。若f 0,00,fx 0,0fy 0,00,证明:f x, y dxdy、填空题（每小题1、在点x2、0, f3、4、5、求曲面第八届全国

16、大学生数学竞赛预赛试卷5分，满分30分）a可导，且f a1存在，求极限Inf a 10,则 lim nn f a有连续导数，且 f 12 ,记ex sin 2x ,求 0anlxm02. 人f sin x cosx tan3xx2e 1 sinxf x在x 0的表达式.2 x z 22 一 - . ，一 _._y平仃于平面2x2y0的切平面方程.二、（14 分）设 fx在0,1上可导,0,且当x0,1 ，试证当a 0,1 ,a2f x dx0a 3f30dx .、（14分）某物体所在的空间区域为2z2222留度函数为x y z ,求质量dxdydz.四、（14分）设函数x在闭区间0,1上具有连

17、续导数,0,证明：lim nndx1nfn k 1五、（14分）在闭区间0,1上连续，且x dx 0 ,证明:在0,1内存在不同的两点 x1,x2,1使得f x11f x2六、设f x在可导，且f x33 .用 Fourier级数理论证明f x为常数.第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷一填空1 .已知可导函数，(工)满足工)+ 2f (t)si(X)t = x + 1,则 f (x)一一222 .求 lim sin vn n n13 .设w f (u, v)具有二阶连续偏导数，且 u=x cy, v=x+cy ,其中c为非手吊数。则 wx -wyy=。 c4 .设 f(x)有二阶导数连续，且 f(0) f'(0) 0, f"(0) 6 ,则 lim f (sin x)= x 0 xsin xe sin 2x .5 不te积分 I 2-dx=.(1 sin x)6.记曲面z2 x2 y2和z J4x2围成空间区域为V,则三重积分zdxdydz=.V二(本题满分14分)设二元函数f (x, y)在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度，定义一元函数2g (t) f(tcos ,tsin ).