高中数学_线性规划知识复习

1、高中必最修快的5方线法性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数：P =2x + y是一个含有两个变 量x和y的 函数，称为目标函数.2. 可行域 : 约束条件所表示的平面区域称为可行域 .3. 整点： 坐标为整数的点叫做整点4. 线性规划问题 ： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 通常称为线性 规划问题只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划 ： 要求量取整数的线性规划称为整数线性规划 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、 经济管理中实际问题的专门学科 . 主要在以下两类问题

2、中得到应用：一是在人力、物力、财务 等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和 规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 .1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选 一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即 为不等式所表示的平面区域； 否则，直线的另一侧为所求的平面区域 若 直 线 不 过 原点， 通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平移直线y= k x +P时，直线必须经过可行域.4. 对于有实际背景的线性规划问题，

3、可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此 时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什 么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：( 1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； (3)在可行域内求目标函数的最优解 .积储知识：一. 1点P(xo,yo)在直线Ax+By+C=O上，则点P坐标适合方程，即 Axo+Byo+C=O2. 点 P(xo,y 0)在直线 Ax+By+C=0上方(左上或右上)，则当 B>0时，Axo+Byo+C>O;当 B&

4、lt;0 时,Axo+Byo+C<O3. 点 P(xo,y o)在直线 Ax+By+C=0下方(左下或右下)，当 B>0 时，Axo+Byo+C<O;当 B<0 时，Axo+Byo+C>O 注意：(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标 (x,y)代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，(2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C，所得到实数的符号相反，即： 1. 点 P(x1,y 1) 和点 Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0 的同侧，则有( Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)>02. 点

5、 P(x1,y 1) 和点 Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0 的两侧，则有( Ax1+By1+C)(Ax 2+By2+C)<0 二 . 二元一次不等式表示平面区域 ： 二兀一次不等式 Ax+By+C>0 (或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 . 不.包括边界 ; 二兀一次不等式 Ax+By+O 0 (或w 0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界 ;注意：作图时 , 不包括边界画成虚线 ; 包括边界画成实线 . 三、判断二兀一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 ： 方法一 ：

6、取特殊点检验 ; “直线定界、特殊点定域原因：由于对在直线 Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实 数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x o,y o),从Axo+Byo+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域 .特殊地，当CM0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0,1 ）或（1, 0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另 一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：1. Ax+By+C>0,当B>0时表示直线 Ax+By+C=0上方（左上或右上

7、），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）；2. Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、线性规划的有关概念：线性约束条件：线性目标函数： 线性规划问题：可行解、可行域和最优解:典型例题一画区域1.用不等式表示以 A（1,4），B（_3,0），C（-2,2）为顶点的三角形内部的平面区域.分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：kAB = 4=1，其方程为y=x 3 .1 -（d）艸 门可

8、求得直线BC的方程为y = -2x -6 .直线AC的方程为y = 2x 2 .ABC的内部在不等式 x - y 30所表示平面区域内，同时在不等式2x y 6 - 0所表示的平面区域内，同时又在不等式2x - y 2 ： 0所表示的平面区域内（如图）."xy +3 >0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组弦x+y+6 >0,表示.2x - y 2 ：: 0说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线. 2画出2x -3 : y _3表示的区域，并求所有的正整数解（x , y）. >0, y >0,解：原不等式等价于y 一而求

9、正整数解则意味着x , y还有限制条件，即求x=z, y=z,.y3.y 2x-3,依照二元一次不等式表示的平面区域， 知2x -3 ： y _3表示的区域如下图： 对于2x -3 ： y乞3的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）.3 设 x_0 , y_0 , z_0 ; p二-3x y 2z , q=x-2y，4z , x y z =1 ,用图表示出点 （p, q）的范围.分析：题目中的 p , q与x , y , z是线性关系. 可借助于x , y , z的范围确定（p,q）的范围.r3x-y-2z = -p,x=27（8+

10、q-6p）,解：由彳x-2y+4z=q 得f 1丄I 2y 4z q, <y=烏（145q+3p）, lx+y+z=1,27i13/>+4+5=0z 亏（5 4p 3q）,6 p -q -8 岂 0,由xO , yK0, zO得彳3p_5q+140,画出不等式组所示平面区域如图所示.3p 4q 5 _0,说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x, y, z的取值范围借助于三元一次方程组分别求出x , y ,z，从而求出p , q所满足的不等式组找出(p , q)的范围.4、已知 x,y,a,b 满足条件：x 丄 0, y 亠 0, a 丄 0, b 亠 0,2x+y+a=6,x+2y

11、+b=6(1)试画出(x, y )的存在的范围；(2)求2x 3y的最大值。典型例题二- 画区域，求面积1 -1所表示的平面区域的面积.例3求不等式组y 兰x +1分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而 求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等 式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论.解：不等式y兰x +1 -1可化为y启x(x 3 1)或y兰x 2(x < -1); 不等式y兰-|x+1可化为y兰一x+1(x0)或y兰x+1(x<0).AB : y=x(x_-1)， AC : y =x 2(x ： -1) DE: y

12、= x 1(x_0)， 则不等式组所表示的平面区域如图，由于根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为DF : y = x 1(x ： 0)AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形.、2知3丄所以其面积为32二和2典型例题三求最值、与直线的截距有关的最值问题z 二 Ax By C1.如图1所示，已知|_ABC中的三顶点A(2,4), B(-1, 2),C(1, 0), 点P(x, y)在L ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： y在点A 处有最大值6_,在边界BC处有最小值_1_ ； z =x -y在点C 处有最大值 J，在 点B 处有最小值 -3(一1,

13、(图1)C (1, 0)A (2 ,4)y(2 ,4)x 亠y =60(x=1(1xC (1, 0)=一 3A (2,4)(图2)42x y -12 _0,2若x、y满足条件3x-2y10_0,求 x 2y的最大值和最小值.x-4y 100.分析：画出可行域，平移直线找最优解.解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示.1 作直线l:x，2y=z,即卩y x2在可行域内滑动时，由图可知，直线-1 ' /-2O2x11-z，它表示斜率为 -一22l过点A时，z取得最大值，当I过点B时，z取得最小值.纵截距为|的平行直线系，当它在平面直角坐标系内作出四条射线：用心爱心专心3zma

14、x=2 2 8 二 18Zmin- -2：；'2二2 二 2Aza注：z =Ax By可化为y x表示与直线yx平行的一组平行线,B BB意：斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。变式：设x,y满足约束条件 上4丫弐_3« 3x +5y 兰25x Z1其中为截距，特别注B分别求：(1)z=6x+10y ， (2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。二、与直线的斜率有关的最值问题z = -y°表示定点P( xo,y o)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.x xoX-y-2 W 0,y例2设实数x y满足gx+2y-4> 0，

15、则z=的最大值是 ，x2y -3< 0,解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC乙二上二止0表示两点0(0,0) P(x, y)确定的直线的斜x x -0率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.可以看出直线 OP的斜率最大，故 P为x，2y-4=0与2y-3=0的交点, 即A点 P 1,3 故答案为-.I 2.丿23.如图1所示，已知|_ABC中的三顶点 A(2,4) , B1, 2) , C(1, 0),y*(一1, 2)C (1, 0)A (2,4)点P(x, y)在L ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是z = 口 或z =，你知道其几

16、何意义吗？你能否借助其几何xx+1(图1)意义求得zmi n和zmax ?三、与距离有关的最值问题z = , (x -x。)2 (y - y。)2或z= (x - x。)2 (y - y。)2或x2 y2 Ax By C (配方)的结构表示定 点Q (X0,y 0)到可行域内的动点 N(x,y)的距离的平方或距离。1.已知x，y-5_0, x，y-10_0 求x2 y2的最大、最小值.分析：令 x2 y2，目标函数是非线性的而z = x2 y2二 x2y2可看做区域内的点到原点距离的平方问题转化为点到直线的距离问题.x + y - 5 启 0,解：由丿y得可行域(如图所示)为x+y_10M0,z = x2 y2 = 一 x2 y2 ，而(0,0)到 x y -5 = 0 , x y -10 = 0 的距离分别为25 所以z的最大、最小值分别是 50和25 .2x y 2> 0,2.已知 x y -4> 0,求z = X y2 -10y 25的最小值2x - y -5 < 0,解析：作出可行域如图3, 并求出顶点的坐标A（ 1， 3）、B（ 3， 1 ）、C（ 7， 9）.而 z=x2+（y -5）2 表示y）到定点M（ 0, 5）的距离的平方，过 M作直线AC的垂线，易知垂足 N在线段AC