高中数学必修四知识点汇总

1、正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。按边旋转的方向分j零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 角I负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。的分啓限角类II按终边的位豐永r 第一象限角a |k 360° <a <90° +k 360° ,kez第二彖限角a |90° +k 360° <a <180° +k 360° ,kWZ 第三象限角a |180° +k 360° <a <270° +k 360° ,kGZJ第四彖限角a |2

2、70° +k 360° <a <360° +k 360° ,kez或a |-90° +k 360° <a <k 360° ,kezQll匕角(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.2终边相同角的表示：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=P IP = +k360° ,kGZ即任-与角a终边相同的角，都町以表示成角a与整个周角的和。3几种特殊位置的角:终边在X轴上的非负半轴上的角：a=k360° Jeez终边在x轴上的非正半轴上的角：a

3、=180° +k 360° JcZ终边在x轴上的角：a =k180° ,kez终边在y轴上的角：a =90° +k 180° ,k£Z 终边在坐标轴上的角：a=k90° ,kGZ终边在尸x上的角：a =45° +k180° ,kGZ终边在尸恣上的角：a =45° +k180° ,kez或a =135° +k180° ,kez终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：a=k45° ,kez4弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad

4、表示。5般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是06如果半径为】的圆的圆心角a所对弧的长为1 ,那么，角a的弧度数的绝对值是|a |=-r亠inrr B , 小 11 inrr- 1, 相关公式：=l«|rS弓2歸右lg7角度制与弧度制的换算：(1)1° = rad (2)lrad = (180)°180IT8单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。9利用单位圆定义任意角的三角函数：设a是 个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x, y)那么:(1) y叫做a的正弦，记作sina即sina =y(2)

5、 x叫做a的余弦，记作cosa ,即cosa =x> 叫做a的正切.记作tana ,即tana = (xHO)xx10什方关系：sin2a+cos2a = l a sin a = ±J1 - cos? a ； cos a - ±vlsiir a同角三角函数的基本关系I 商的关系【当 a kn + - (kez)：- = tan a2cosa11三角函数的诱导公式:公 sin(-a) = -sina 式 cos(-&) = cos a二 tan (yr + a) = tan a三 tan (-«) = - tan a公 sin (a + k 2龙)=s

6、in a 式cos(a+k2)= cos atan(a + k-2)= tana【注】其中kwZ公 sin(/r + a) = -sina 式 cos(;r + <z) = -cosg3公 sin(-a)= sin a 式 cos (一 a) = - cos a 四 tan (牙一 a) = - tail a公式一四可以概括如下：a + k-2 （keZ） -« n±a的三 角函数值，等于Q的同名函数值，前面加上一个把Q看成锐角时原 函数值的符号。五tan(naU=cot aC(BCS_ SO)©公式五和公式六町以概括如卜：-±a的正弦（余弦）2函

7、数值，分别等于a余弦（正弦）函数值，前面加上一 个把Q看成锐角时原函数值的符号。【筍变偶不变，符号看象限】正弦函数尸511圧余弦函数y=cosx正切函数7=131定义域RRx|xH+k;r, keZ值域-1,1(有界性)-1,1（有界性）R零卢x|x = S keZx|x = f + k/r, keZx|x = S keZ周期性T=2nT=2nT=n奇偶性奇丙数偶甫数奇函数单 调 性增区间- 4- 2k, + 2k(k g Z) 2 2一；r + 2k2k(k g Z)(-+k)(keZ)2 2减区间+2k»+2k(k e Z)2 22k, + 2k7r(k g Z)X对 称 性对称

8、轴x = +(k g Z)2x = k (keZ)对称 中心(k/r,0)(k e Z)(-Hc,0)GcgZ) 2k/r(,0)(keZ) 乙图像/ z、 /、f/Z1/ /7/1 .' '/112三角函数的图像与性质:注意：y= sinx周期为2n : y=|sinx|周期为tt : y=|sinx+k|周期为2n : y= sin| x|不是周期函数。413得到函数=Asin（OK+图像的方法 y=sinx -，f- >y=sin(x+y>) 帆现y = sin (a + cp) 刑他 >y = Asin (咼 + (p)y=si1ix>y = s

9、ill 宓向左或向右半榊耳个单位 zy = sm （宓 + （p）>y = Asin (宓+ 初5#14简谐运动工解析式:y = Asin (ox + 乂 w 0,+co)CqX若函数的虬人值为a,瑕小值为b,振幅：A就是这个简谐运动的振幅".?a b . a + b周期：T=则有 A= k =2 20)131 频率：f =-=T 2TT相位和初相：宓+0称为相位，x=0时的相位©称为初相。笫二章平面向量1. 向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量：我们把只有人小没有方向的最称为数最。2. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段有向线段三要素：起点、

10、方向、长度。3向量的长度（模）：向最忑的大小，也就是向量忑的长度（或称模），记作|忑4零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作6,零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于1个单位的向最，叫做单位向最。5平行向盘：方向相同或相反的非零向最叫做平行向轼。若向最；、6是两个平行向晴，那么通常记作a /b0平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量打任向量平行，即対于任向量7,都仃67。6相尊向:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若向量亍、6是两个相等向量，那么通常记作a=bo7如图，已知非零向量2、b ,在平面内任取一点A,作AB=a , BC=b ,则向量云乙叫做：与6的和，记作a + b,即

11、a + b = AB + BC= ACo向量的加法：求两个向量和的运算叫做向最的加法这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。8对于零向最与任一向帚我们规定:a+O=O + a=a9公式及运算定律：A1A2+A2A3+AnAi = O a + b = b+ a|a+b| W|a| + |b|(a+b) +c = a + (b+c)10相反向量：我们规定，9；长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a#我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。# 任一向屋与其相反向量的和是零向量，即亍+(Q=(亍)+亍=6。 如果a、6是互为相反的向最，那么a = -b 6 = a, a + b= 0 o

12、我们定义a-b= a + (-b),即减去一个向量等于加上这个向屋的相反向屋。11向量的数乘：一般地，我们规定实数入与向最a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作篇，它的 长度与方向规定如E：|兄：冃A|a|当入>0时，2a的方向与并的方向相同；当入vo时，的方向与：的 方向相反：入=0时，久a =012 运算 定律： >l(a) = (和)a(兄= A(a + b)二兄a +处(一兄)a =(兄a)=兄(一 a) A(a-b) =Aa-Ab13定理：对于向量2 (亍北6)、b ,如果有一个实数入，使6 =人亍，那么彳与6共线。相反，己知向量F与B 共线，aO,且向量6的长度

13、是向呈；的长度的p倍，即|6切|a|>那么当：与B同方向时，b=/za；当； 与6反方向时，有6= -/ao则得如下定理：向量向量并(aO )与6共线，当且仅当有唯一一个实数入, ttb = 2a o14平面向量基本定理：如果石、云是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平而内的任意向量7,有且 只有一对实数加、加,使a =。我们把不共线的向最石、云叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。15向皇乳与6的夹角：己知两个非零向吊订和6。作OA= a , OB = b ,则ZAOB =0 (0° W6 W180°叫 做向量彳与B的夹角。当e =o°时，2与6同向

14、：当8=180°时，亍与6反向。如果2与6的夹角是90° ,我们 说a与6垂直，记作丘丄6。16补充结论：己知向量7、6是两个不共线的两个向量，£Lm、nGR,若ma + nb = 6 ,则m=n=0。17正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向最，叫做把向最正交分解18两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若a = (»,yi), b = (X2,y2),则 a + b = (xiy + y>)> a-b = (xi-x?5yi-y?)19实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即K a = (&#

15、187;,yi),则 履=(加，兄yi)20当且仅当xiy2-x2yi=0时，向量a. b ( b 6 )共线21定比分点坐标公式:当丽=APP时,P点坐标为(呈土竽，竺学)/ /1 + N 1+ A 当点P在线段PP2上时，点P叫线段P1P?的内分点，入>0O B 当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P?的外分点，入Vl：当点P在线段P1P2的反向延长线上时,P叫线段PR的外分点，JV入<021从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则 OC = AOA+yzOB ,其中入 +M =1 23数量积(内积)：己知两个非零向量2与 我们把数|a|b|cos<9叫做：

16、与6 的数量积(或内枳)，记作7 6即7 b=|a|b|cos6>o其中6是；与B的夹角, |a|cos<9 (|b|cos<9)叫做向量亍在B方向上(6在2方向上)的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量 枳为0。24 a 6的几何意义：数量枳彳6等于彳的长度|2|与6在】的方向上的投影|b|cos<?的乘枳。25 数量积的运算定律：a *b=b a (入 a ) b =A ( a *b )=a (入 b )(a +b ) c = a c+b c(4)(a + b): = a + 2a b + b (§)(a -b)3 = a -2a b + b (a +

17、b) (a - b) = a - b26两个向最的数最积等于它们对应坐标的乘枳的和.即a b = +y;y2o贝叽 若a = (x,y),贝ij|a|2=x3 + y2>或|訂=后+ £ °如果表示向量2的有向线段的起点和中点的坐标分别为X)、(心 y<)，那么 a = (x,-v % >，口|= 丁(冯_%2 +(/_乂)2 设a = (%, %), b = (Xj, %),则a丄 1>0斉冯+% = 0Oab = 027设5、B都是非零向量，匚=(吗，yr), 6 = (& y,) , 9 Ma与6的夾角，抿据向量数冷积的定义及坐标表 一

18、_rzHQ a-bw + yy3示町得：cosO= -一 = ( r |a|b| J* + 玄収 + yj第三章三角恒等变换1两角和的余弦公式【简记6和】：e (a切加念0 - a p2两角差的余弦公式【简记CyJ： e a-p e ai聊 + a p3. 两角和(差)余弦公式的公式特征：左加号，右减気 同名函数之积的和与差。a、0叫单角，a 土0 叫复角，通过单角的正、余弦求和(差)的余弦值。“正用”、“逆用”、“变用”4. 两角和的正弦公式【简记S")】：tsaeiifi + a p5. 两角差的正弦公式【简记S“)】：也a-pG- a p6. 两角和(差)正弦公式的公式特征及用

19、途：左右运算符号和同。右方是异名函数Z枳的和与差，且正弦值在前，余弦值在后。用途：町以由单角的三角函数值求复角（和角q差角）的三角函数值。7两角和的正切公式【简记Tel切芮匸8两角差的正切公式【简记T“】：电1越 m a P9两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反。®ak + ,/?=#= k + ,a + /7#=k + （keZ）2 2 2公式变形： tan a - tan 0 = taii（a 一 /?）（! + tan a tail/?） tail a + tail /? = tan（a + /?）（1 - tan a tail p）10 辅助角公式：a cosx+bsinx= Ja?+ b ( / “、cosx+ sinx)Va2 + b2/a2 + b2令 sin 0 =-,x/a'