《等腰三角形的判定与反证法》教案北师大版

1、第 3 课时等腰三角形的判定与反证法1掌握等腰三角形的判定定理并学会运用； (重点 )2理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明一、情境导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树 (A 点 )为目标，然后在这棵树的正南方南岸 B 点插一小旗作标志，沿南偏东 60 度方向走一段距离到 C 处时，测得 ACB 为 30 度，这时，地质专家测得 BC 的长度是 50 米，就可知河流宽度是 50 米同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道 BC 的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定二、合作探究探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边

2、 )【类型一】确定等腰三角形的个数如图，在 ABC 中， AB AC， A 36°， BD、 CE 分别是 ABC、 BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5个B4个C3 个D2个解析： 共有 5 个 (1) AB AC，ABC 是等腰三角形；(2) BD 、 CE 分别是 ABC、 BCD 的角平分线， EBC1 21ABC， ECB 2 BCD. ABC 是等腰三角形， EBC ECB， BCE 是等腰三角形； (3) A 36°， AB AC，1ABC ACB 2 (180 ° 36°) 72°.又 BD 是 ABC 的角平分线，

3、ABD 1 2ABC 36° A， ABD 是等腰三角形；同理可证 CDE 和 BCD 也是等腰三角形故选 A.方法总结： 确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角， 然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数【类型二】判定一个三角形是等腰三角形如图，在 ABC 中， ACB 90°， CD 是 AB 边上的高， AE 是 BAC 的角平分线， AE 与 CD 交于点 F，求证： CEF 是等腰三角形解析：根据直角三角形两锐角互余求得 ABE ACD ，然后根据三角形外角的性质求得 CEF CFE ，根据等角对等边求得 CE CF ，从而求得 CEF

4、是等腰三角形解： 在 ABC 中， ACB 90°， B BAC 90° . CD 是 AB 边上的高，ACDBAC90°，B ACD . AE 是 BAC 的角平分线，BAE EAC， B BAE AEC ， ACD EAC CFE ，即 CEF CFE ， CE CF， CEF 是等腰三角形方法总结： “ 等角对等边 ” 是判定等腰第1页共3页三角形的重要依据， 是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中， 若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用如图，在 ABC 中， AB AC，点 D 、E、F 分别在 AB、

5、BC、 AC 边上，且 BE CF，BDCE.(1)求证： DEF 是等腰三角形；(2)当 A 50°时，求 DEF 的度数解析： (1) 根据等边对等角可得B C，利用 “ 边角边 ” 证明 BDE 和 CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE EF ，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2) 根据全等三角形对应角相等可得 BDECEF，然后求出BEDCEF BED BDE ，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出 B DEF .(1) 证明： AB AC ， B C.在BD CE， BDE 和 CEF 中， B C，BE CF，BDE CEF (SAS) ， DE EF ，

6、 DEF 是等腰三角形；(2)解： BDE CEF ， BDE CEF ， BED CEF BED BDE . B BDE DEF CEF ， B DEF . A 50°， AB AC， B 1× (180° 50°) 65°， DEF 265° .方法总结： 等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角， 判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段探究点二：反证法【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A 有一个内角大于60°B有一个内角小于60

7、°C每一个内角都大于60°D每一个内角都小于60°解析： 用反证法证明命题时，应先假设结论不成立， 所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选 C.方法总结： 在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况， 必须把它全部否定【类型二】用反证法证明一个命题求证：ABC 中不能有两个钝角解析：用反证法证明， 假设 ABC 中能有两个钝角， 得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确证明：假设 ABC 中能有两个钝角，即 A 90°， B 90°， C 90°，所以 A

8、B C 180°，与三角形的内角和为 180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确， 即 ABC 中不能有两个钝角方法总结： 本题结合三角形内角和定理考查反证法， 解此题关键要懂得反证法的意义及步骤 反证法的步骤是： (1)假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾； (3) 假设不成立， 则结论成立 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况 如果只有一种， 那么否定一种就可以了， 如果有多种情况，则必须一一否定三、板书设计1等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边 )2反证法(1) 假设结论不成立；(2) 从假设出发推出矛盾；(3) 假设不成立