一元二次方程(知识点考点题型总结).

1、一元二次方程专题复习考点一、概念(1) 定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式： ax2 bx c 0(a 0)难点 ：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A3 x 1 22 x 1B1 12 0x2xCax 2bx c 0Dx 22x x 21变式：当 k时，关于 x的方程 kx 22xx 23 是一元二次方程。例 2、方程 m2 x m3mx10 是关于

2、 x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习：1、方程 8x27 的一次项系数是，常数项是。2、若方程 m 2x m10 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程m1 x 2mx1 是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 4、若方程 nxm+x n-2x 2 =0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用 ：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知 2y2y3 的值为2，则4 y 22 y1的值为。例 2、关

3、于 x 的一元二次方程a2x2xa 24 0 的一个根为0，则 a 的值为。例 3、已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0 a0 的系数满足 acb ，则此方程必有一根为。例 4、已知 a, b是方程 x 24xm0 的两个根， b, c 是方程 y28 y5m0 的两个根，则 m 的值为。针对练习：1、已知方程x2kx100 的一根是2，则 k 为，另一根是。2、已知关于x 的方程 x2kx20 的一个解与方程x13 的解相同。求 k 的值；方程的另一个解。x13、已知 m 是方程 x 2x1 0 的一个根，则代数式 m 2m。 4、已知 a 是 x23x10 的根，则2a 26a。 5、

4、方程 a b x2bc x c a0 的一个根为（）A1B1Cb c 6、若 2x5 y 30, 则 4 x32 y考点三、解法D。a方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x2m m 0 ,xm对于 x a 2m ， ax m 2bxn 2等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：1 2x 280;2 25 16x 2=0;3 1x 290;例 2、若 9 x1 216 x2 2，则 x 的值为。针对练习： 下列方程无解的是（）A. x23 2x 21B.x 220C. 2x 3 1 xD. x 29 0类型二、因式分解法 : x x1 x x20

5、x x1 ,或x x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如ax2bxn2xa xbx ax c， x 22ax a 20m，典型例题：例 1、2x x35 x3的根为（）Ax5B x 3Cx15 , x23Dx22225例 2、若xyxy43 440 ，则 4x+y 的值为。变式 1： a 2b2 2a 2b 260, 则a2b2。变式2：若xy2xy30，则 x+y 的值为。变式3：若 x2xyy14 ， y 2xyx28 ，则 x+y 的值为。例 3、方程 x 2x60的解为（）A. x13，x22B. x13，x22 C. x13，x23 D. x12，x

6、2例 4、解方程：x2231 x2340例 5、已知 2x23xy2 y 20,则 xy 的值为。xy变式：已知 2x23xy2 y 20 ,且 x0, y0 ,则 xy 的值为。xy针对练习：1、下列说法中：方程 x2pxq0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x2pxq ( xx1 )( xx2 )x26x8(x2)(x4) .a25ab6b2(a2)( a 3) x2y 2(x y)(xy )(xy )方程 (3x1) 270可变形为 (3x17 )(3x17)0正确的有（）A.1 个B.2个C.3 个D.4 个2、以 17与 17为根的一元二次方程是（）A x22x 6 0B x22x

7、6 0C y22y 6 0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、 y 满足xy3 xy20 ，则 x+y 的值为（）A、-1 或 -2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 22D y22y605、方程： x212 的解是。x2 6、已知6x2xy6y20 ，且 x0 ，y02x6 y 的值。，求3xy 7、方程1999219982000 10的较大根为r，方程2的较小根为s，则 s-r 的xx2007 x 2008 x 1 0值为。b2b24ac类型三、配方法ax 2bx c0a 0x

8、2a4a 2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例 1、试用配方法说明x 22x3 的值恒大于 0。例 2、已知 x、 y 为实数，求代数式x 2y 22 x 4 y 7 的最小值。例 3、已知 x2y 24x6y130，x、y为实数，求 x y 的值。例 4、分解因式：4x212x 3针对练习： 1、试用配方法说明10 x27x4 的值恒小于 0。 2、已知 x21x140 ，则 x1.x 2xx 3、若tx2x23129，则 t的最大值为，最小值为。 4、如果 abc114a 22 b 14 ,那么 a2b 3c 的值为。类型四、公式法条件：

9、公式：a0,且b24ac0xbb24ac , a 0, 且b 24ac 02a典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程： 3 1x 26. x 3 x 68. x24x 1 0 3 24x10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5x例 2、在实数范围内分解因式：（1） x22 2x3；（ 2）4x28x1.2x24xy5y2说明：对于二次三项式ax 2bxc 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax 2bxc =0，求出两根，再写成ax 2bx c = a(x x1 )( x x2 ) .分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

10、类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：3x 2例 1、已知 x23x2 0，求代数式x11 的值。x1例 2、如果 x 2x10 ，那么代数式x32x 27 的值。例 3、已知 a 是一元二次方程x23x10 的一根，求a32a 25a 1 的值。a 21例 4、用两种不同的方法解方程组2 xy6,(1)x25xy6y 20.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题 .考点四、根的判别式 b24ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其

11、它 。典型例题：例 1、若关于 x 的方程 x22k x10 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程m1x22mxm0 有实数根，则m 的取值范围是 ()A. m 0且m 1B. m0C. m1D. m1例 3、已知关于 x 的方程 x 2k2 x2k0(1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式9x2(m6) xm2 是一个完全平方式，试求m 的值 .x22 y26,例 5、 m 为何值时，方程组y有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？mx3.针对练习：

12、1、当 k时，关于 x 的二次三项式 x 2kx 9 是完全平方式。2、当 k 取何值时，多项式3x24x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程 mx2mx20 有两个不相等的实数根，则m 的值是.ykx2, 4、 k 为何值时，方程组y 24x2 y10.（ 1）有两组相等的实数解，并求此解；（ 2）有两组不相等的实数解；（ 3）没有实数解 . 5、当 k 取何值时，方程x 24mx4x3m22m4k0 的根与 m 均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m 为,只有一个根，则m 为。

13、例 2、 不解方程，判断关于x 的方程 x 22 xkk23 根的情况。例 3、如果关于 x 的方程 x 2kx 2 0 及方程x2x 2k0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资

14、金600 万元，第二年比第一年减少1 ，第三年比第二年减少1，该产品第一年收入资金约400 万元，公司计划三年内32不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到30.1，133.61 ）4、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长

15、20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（ 1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2 ，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（ 2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、 A、B 两地间的路程为乙再走 1 小时 36 分到达36 千米 .甲从 A 地，乙从A 地，求两人的速度.B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2 小时30 分到达B 地，考点七、根与系数的关系前提：对于ax 2bxc0 而言，当满足a 0、0 时，才能用韦达定理。主要内容：x1x2b , x1 x2caa应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x 70 的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A. 3B.3C.6D.6例 2、已知关于x 的方程 k 2 x22k1 x10 有两个不相等的实数根x1 , x2 ，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和 2，小红因看错