高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

1、高中数学必修 4第二章平面向量教案（12 课时）本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概 念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平 移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景， 理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容能用向量语言和方法表述和解决数学

2、和物理中的一些问题本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念（让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时§2.1平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共 线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共

3、线向量的概念，会表示向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在 B处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向?、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又

4、有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、 如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各向 量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小起点、方向、长度2向量的表示

5、方法： 用有向线段表示； 用字母a、b（黑体，印刷用）等表示; 用有向线段的起点与终点字母：AB ; 向量AB的大小 长度称为向量的模，记作|AB |.3有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素: 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量;（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段4、零向量、单位向量概念： 长度为0的向量叫零向量，记作 0. 0的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制

6、了大小5、平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a /b/ c .6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量a与b相等，记作a = b; （2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量， 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要

7、区别于在同一直线上的线段的位置关系（四）理解和巩固：例1书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量a与b不共线，则a

8、与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形， 根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于 C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考 虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量， 而由零向量与任一向量都1h0A、OB、0C 相共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设0是正六边形ABCDEF的中心

9、，分别写出图中与向量 等的向量变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE)课堂练习：1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上; 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等; 四边形ABCD是平行四边形当且仅当 AB = DC 一个向量方向不确定当且仅当模为0; 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：不正确共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上不正确单位向量模均

10、相等且为 1,但方向并不确定 不正确零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的、正确彳Ef不正确如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同2 .书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题第2课时§ 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目标:1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解 决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生

11、掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量教学难点：理解向量加法的定义学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景:1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又

12、有方向的量 长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、情景设置:(1) 某人从A到B,再从B按原方向到C，则两次的位移和：AB B AC(2)若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和： AB BC二AC(3)某车从A到B,再从B改变方向到C，则两次的位移和:AB BC 二 AC(4)船速为AB，水速为BC，则两速度和:二、探索研究：1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、b .在平面内任取一点 A，作AB = a, BC

13、 = b ,则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b = AB BC = AC ,规定:a + 0-= 0 + aa-b.a + bIb+Jb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量;（2）当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a + b |<|a |+|b（3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向,且 |a + b|=|a|+|b |,当 a 与 b 反向时，若 |a|>|b 则a + b的方向与a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,则 a + b 的方向与 b相同，且 |a+b|=|b |-|a|.（4）“向量平移”（自由向量）：使

14、前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n个向量连加3. 例一、已知向量 a、b，求作向量a + b作法：在平面内取一点，作 0A = a AB = b，则OB = a b .4. 加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b + a的结果与a + b是否相同？验证结果相同从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） 2）向量加法的交换律：a + b = b + ar fc-fc- f|向量加法的结合律：（a + b）+ c = a + （b + c）、证：如图：使AB =/a ,贝y(a + b ) + c = AC CD = AD ,a + ( b + c) =

15、AB BD = AD/.(a + b)+ c= a + (b + c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、应用举例：例二(P94 95)略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律；3、注意：|a + b| < |a| + |b|,当且仅当方向相同时取等号 .五、课后作业：P103 第 2、3 题六、板书设计(略)七、备用习题1、一艘船从A点出发以2 = 3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的 速度的大小为4km/h，求水流的速度.2、一艘船距对岸 4.3km，以2 3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时， 船的

16、实际航程为8km，求河水的流速.3、 一艘船从A点出发以论的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为V2，船 的实际航行的速度的大小为 4km/h，方向与水流间的夹角是 60，求v1和v2.4、 一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h5、已知两个力F1, F2的夹角是直角，且已知它们的合力 F与F1的夹角是60 , |F|=10N求F1和F2的大小.6、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形第3课时§222向量的减法运算及其几何意义教学目标:1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会

17、作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法教学难点：减法运算时方向的确疋.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路:复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中， CB BA BA =.解：CB BA BA =CB BA AD = CD提出课题：向量的减法1. 用"相反向量”

18、定义向量的减法(1) "相反向量”的定义：与 a长度相同、方向相反的向量.记作-a(2) 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(电=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0如果a、b互为相反向量，则 a =七， b = -a,a + b = 0(3) 向量减法的定义：向量 a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2. 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，贝U x叫做a与b的差，记作a - b3. 求作差向量：已知向量 a、b,求作向量/ (a-b) + b

19、 = a + ( -b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点 O,ab作 OA = a, AB = b则 BA = a - b显然，此法作图较繁，但最后作图可统4.探究：1）如果从向量a的终点指向向量 b的终点作向量，那么所得向量是b 一 a.B'a-b *OA_bba-bB O2）若a / b, 如何作出a-b ?三、例题：例一、（P9 7例三）已知向量a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.解：在平面上取一点 O,作OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,作 BA , DC , 则 BA = a-b,DC = c-d即a_b可以表示为从向量

20、b的终点指向向量 a的终点的向量注意：1 AB表示a -b.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + （-b）例二、平行四边形 ABCD中，AB二a, AD二b,用a、b表示向量AC、DB .解：由平行四边形法则得:AC = a + b, DB = ABAD = a_b变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a_b垂直？ （ |a| = |b|） 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+ b| = |a_b|?（ a， b互相垂直） 变式三：a+ b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，t二对角线方向不同）练习：P 98四、小结：向量减法的定义、作图法

21、|五、作业：P103第4、5题六、板书设计（略）七、备用习题：1在 ABC 中，BC = a, CA = b，则 AB 等于)A. a+ bB,-a+(-bCa-bDh b- a2.0为平行四边形ABCD平面上的点，设 0A= a,OB = b,OC =c, OD = d，则A. a+ b+c+d=OB. a- b+ c- d 二。C.a+ b-c-d =0D. a-b-c+d=03 .如图，在四边形ABCD中，根据图示填空:a+ b=， b+c=， c-d=， a+ b+ c-d=4、如图所示，0是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b

22、= AB，c-d= DC，并画出b-c和a+ d.J2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§ 231平面向量基本定理教学目的：(1) 了解平面向量基本定理；(2) 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；(3) 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面向量基本定理教学难点：平面向量基本定理的理解与应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作： 入a(1) |入a |=|入|a | ； (2)入0时入a与a方向

23、相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 02. 运算定律入(a + b)=入a +入b结合律：入(归)=(入卩)；分配律：(入+卩)=入a+a ,3. 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使、讲解新课:平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a，有且只有一对实数 入1,入2使a=入1+入2e2.探究：(1) 我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4) 基底

24、给定时，分解形式惟一.1入力是被a , e , e2唯一确定的数量三、讲解范例:D例1已知向量q , e2 求作向量_2.5© +3色.例2 如图一 ABCD的两条对角线交于点M，且AB = a ,AD =b，用 a , b表示 MA , MB , MC 和 MD例3已知，一ABCD的两条对角线 AC与BD交于E,例4（ 1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB(t R)用 OA，任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OEOB表示OP .B所在的平面内，且P三点共线.（2 ）设OA、OB不共线，点 P在0、A、T T TOP =（1-t）OA tOB（t R）.

25、求证：A、B、例5已知a=2&-3e2， b= 2+3a,其中& ,血不共线，向量 c=2&-9e2，问是否存在这样的 实数、I,使d'='aQ._jb与c共线.四、课堂练习：1. 设&、e?是同一平面内的两个向量，则有（）A. ei、e2 一定平行B. ei、e?的模相等C. 同一平面内的任一向量a都有a = ?ei+姥（入 吐R）D. 若ei、e?不共线，则同一平面内的任一向量a都有a = ?ei+ue2（入u R）2. 已知矢量a = ei-2e2, b =2ei+e2，其中&、e2不共线，则 a+b与c =6ei-2e2的关系A.

26、不共线B.共线C.相等D.无法确定3. 已知向量ei、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2,则x-y的值等于（）A.3B.-3C.0D.24. 已知a、b不共线，且c =入a+迪兀加R），若c与b共线，则入=.5. 已知刀0,力0,ei、e2是一组基底，且a =入ei+?2e2,则a与ei, a与e2（填共线或不共线）.五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略） 八、课后记:第5课时§ 2.3.2-§ 233平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会

27、根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1. 平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 入1,入2使a=入10+入2e2（1）我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量 a在给出基底ei、e 2的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式惟一.认沧是被a , q , e?唯一确定的数量二、讲解新课：1.平面向

28、量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a =xi 十 yjO1a我们把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a = （x, y）02o：其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，02式叫做向y山量的坐标表示与a相等的向量的坐标也为 （x, y）.y事Oj） /特别地，i =(1,0) , j =(0,1), 0 =(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA =a，则点A的位置由a唯一确定设OA=xi yj，则向量OA的坐标(x, y)就是点A的坐标

29、；反过来，点 A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2平面向量的坐标运算(1 ) 若 a =(人，yj , b =(X2, y2), 贝V a b =(X! x?, yi y?),a b =(x! X2,yi - y?)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为 i、j，则 a b 二(x1i y-i j) (x2i y2j) = (x1 x2)i (y1y2)j即 a b = (x1 x2, y1y2)，同理可得 ab = (x1x2, y1 - y2)(2)若 A(x1，y1), B(X2,y2)，则

30、AB 二 x? -为2一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =(X2，y2)-(X1, y”=(X2- X1, y2- y”(3)若 a =(x, y)和实数 U a =( 'X, 'y) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为 i、j JU 'a = (xi yj)二Xi $，即 = ( x, y)三、讲解范例:例 1 已知 A(X1, y1), B(X2,y2)，求AB的坐标.例2已知a =(2, 1),b =(-3, 4)，求 a + b , a -b , 3 a +4 b 的坐例3已知平面上三

31、点的坐标分别为A( -2,1), B(-1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD时，由AB = DC 得 Di=(2,2)当平行四边形为 ACDB时，得D2=（4 , 6）,当平行四边形为 DACB时，得D3=（_6, 0） 例 4 已知三个力F1（3,4）, F2 （2,与）,F3（x, y）的合力F +F2+ F3= 0，求 F3 的坐标.fe解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0得：（3， 4）+ （2， -5）+（x， y）=（0， 0）- F3 (-5, 1)即: 3+2+x = 04 _ 5 + y = 0四、课堂练习：一

32、11. 若 M（3 ,-2）N（-5,-1）且 MP MN , 求 P 点的坐标22 若 A(0 ,1),B(1 ,2),C(3 ,4),则 AB -2 BC =3. 已知：四点 A(5 ,1) ,B(3 ,4) ,C(1 ,3) ,D(5 ,-3), 求证：四边形 ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略） 八、课后记:第6课时§ 2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授

33、课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入:1平面向量的坐标表示分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi yj把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作 a = (x, y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地,i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).2平面向量的坐标运算右 a=(Xi,yi), b =(x2,y2),则 a b =(X! X2,y!y?), a - b =(X!- x?,y!-y?), a = ( x, y).若 A(x1, y1), B(X

34、2, y?)，则 AB mix? -兀山 - 二、讲解新课：a b (b =0 )的充要条件是 X1y2-X2y1=0设 a=(x1, y”，b =(X2, y2)其中 b 严a.-xi =扎 x2了肖去 入，X1y2-X2y1=0由 a =入 b 得，(X1, y” =入(x2,y2) n、探究：(1)消去入时不能两式相除,y = Z.y2y1,y2有可能为0, t b =0/. X2,y中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成 血=垃X-Ix2/ X1,X2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a b (b =0)二a =，bX2 一 X2% =0三、讲解范例:例 1 已知 a

35、 =(4 , 2), b =(6 , y)，且 a / b，求 y.例2已知A(-1 ,-1),B(1 , 3),C(2 , 5)，试判断A , B, C三点之间的位置关系例3设点P是线段P1P2上的一点，Pi、P2的坐标分别是(xi, yi),(X2, y2).(1) 当点P是线段PlP2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a =(-i，x)与b =(-x，2)共线且方向相同，求x又/ 2X 2-4X 1=0 AB / CD解： a =(-1, x)与 b=(-x,2)共线.(-1) X 2- x?(-x)=0 x= ± .

36、2a与b方向相同 x= 2例 5 已知 A(-1 ,-1),B(1 , 3),C(1, 5),D(2 , 7),向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解： AB =(1-(-1),3-(-1)=(2 ,4),CD =(2-1 , 7-5)=(1 , 2)又/ AC =(1-(-1) , 5-(-1)=(2 ,6) , AB =(2, 4), 2X 4-2 X 6=0 AC 与 AB 不平行 A , B, C不共线 AB与CD不重合 AB / CD四、课堂练习：1. 若 a=(2 , 3), b=(4, -1 + y)，且 a / b,则 y=()A.6B.5C.7D.82. 若A(

37、x, -1), B(1 , 3), C(2 , 5)三点共线，则 x的值为()A.-3B.-1C.1D.33. 若AB = i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线,贝U x、y的值可能分别为()A.1 , 2B.2 , 2C.3 , 2D.2 , 44. 已知 a=(4 , 2) , b=(6 , y),且 a / b,贝U y=.5. 已知a=(1 , 2) , b=(x, 1),若a+2b与2a-b平行，贝U x的值为6. 已知 CABCD 四个顶点的坐标为 A(5 , 7) , B(3 , x) , C(2

38、, 3) , D(4 , x),贝U x=五、 小结(略)六、课后作业(略)七、板书设计(略)八、课后记:§ 2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然

39、后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点： 平面向量数量积的定义及几何意义； 平面向量数量积的 5个重要性质；平面向量数量积的运 算律教学过程：一、复习引入：1.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 入，使b =入 a ¥ *2平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 入1,入2使a=入10+入2e23. 平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.任作一个向量a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得a =

40、 xi yj把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a二（x, y）4平面向量的坐标运算若 a =(xyj , b =(X2,y2)，则 a b =区 x?,yi y?) , a b =(捲 一 x?,力 一 y?), = ( x, y).若 A（Xi, yi）, B（X2, y2），则 AB = x? - Xi, y? - yi i5. a / b （b =0 ）的充要条件是 xiy2-X2yi=06线段的定比分点及入Pi, P2是直线I上的两点，P是I上不同于Pi, P2的任一点，存在实数 入，使Pip =入PP2 ,入叫做点p分PP2所成的比，有三种情况入0（内分）（外分）入0（入

41、-i）（外分）入0 （-i入0）7. 定比分点坐标公式：若点P1 （xi,yi）, P2 （X2,y2）,入为实数，且RP =入PF2，则点P的坐标为（井，井），我们称入为点P分丽所成的比.8点P的位置与入的范围的关系: 当do时，RP与PF2同向共线，这时称点P为RP?的内分点.当xo （扎羊-i）时，PiP与PP?反向共线，这时称点P为RF2的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O,设OR = a ,可得op =a b ii0力做的功：W = |F|s|cos K二是F与s的夹角二、讲解新课:i 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA = a , OB = b

42、，则/ AOB = 0 (0 <0<n叫a与b的夹角说明：(1)当0=0时，a与b同向；(2)当0= n时，a与b反向；(3)当0=上时，2a与b垂直，记a丄b ；(4)注意在两向量的夹角疋义，两向量必须是冋起点的.范围 0 WW 1802. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0，则数量a|b|cos训a与b的数量积，记作 a b,即有ab = |a|b|cosv(o <0<n .并规定o与任何向量的数量积为o.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1 )两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由COST的符号所决定.(2)

43、 两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积 ax b,而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替.(3) 在实数中，若a=0，且ab=0，则b=0;但是在数量积中，若 a=0，且a b=0，不能推出 b=0.因为其中cos7有可能为0.(4 )已知实数 a、b、c(b=0)，贝U ab=bc = a=c.但是 a b = be' a = c 如右图：ab = |a|b|cos'- = |b|OA|，b c = |b|c|cos = |b|OA|二 a b = b c 但 a 屮c在实数中，有(

44、ab)c = a(b c)，但是(ab)c=a(bc)显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般 a与c不共 线.3“投影”的概念：作图定义：|b|cosv叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当：为锐角时投影为正值；当7为钝角时投影为负值；当二为直角时投影为0;当二=0时投影为|b|;当沪180时投影为_|b|.4. 向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosn的乘积.5. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = a e =|a|cosv2 a_b= a b = 0

45、3 当a与b同向时，a b = |a|b|；当a与b反向时，a b = -|a|b|.特别的a a = |a|2或| a = a a4 cost = ±ab5 |ab| < |a|b|三、讲解范例:已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角0 =120,求a b.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60o求(a+2b) (a-3b).已知|a|=3,判断正误，并简要说明理由|b|=4,且a与b不共线，k为何值时，向量 a+kb与a-kb互相垂直. a 0 = 0; 0 a = 0; 0 AB = BA :丨 a b| = | a|b| ;若 aQ 则对任一非零b有a bO;

46、a b = 0,贝U a与b中至少有一个为 0;对任意向量 a , b , c都有（a b ） c= a （ b c）;a与b是两个单位向量，则 a 2 =b.解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0a = O;对于：应有O a = 0;对于：由数量积定义有丨a b 1 = 1 al |blcos 01 <| all b I,这里0是a与b的夹角，只有 0=0或0= n时，才有| a b | = | a | | b | ;对于：若非零向量 a、b垂直，有a b=0;对于：由a b = 0可知a丄b可以都非零；对于：若a与c共线，记a=入贝U a b =（入）b

47、=入（cb） =入（b C ,( a，b) c=入(b C c=( b C 入 c( b c) a若a与c不共线，则(a b ) c* ( b c) a .评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例6已知丨a |=3,| bl=6，当a / b,a丄b，a与b的夹角是60°时，分 别求a b .解：当a / b时，若a与b同向，则它们的夹角0=0 °, a b=| a | | b | cosO°= 3X6X1 = 18;若a与b反向，则它们的夹角0= 180° a b=| a | b| cos180° = 3>6X

48、(-1) = 18; 当a±b时，它们的夹角 0= 90°, a b = 0; 当a与b的夹角是60°时，有1a -b =| a| b | cos60°= 3X5X= 92评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0° 180°,因此，当a / b时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1已知|a|=1, |b|=、2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60 °B.30 °C.135 °D. 4 5 °2. 已知|a|=2, |b|=1, a与b之间的夹

49、角为，那么向量 m=a-4b的模为()3A.2B.2、3C.6D.123已知a、b是非零向量，则|a|=|b是(a+b)与(a-b)垂直的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件714. 已知向量 a、b 的夹角为一，lal=2, PF1，则 |a+b| |a-b|=35. 已知a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a b=.( 26. 已知 a丄 b、c 与 a、b 的夹角均为 60° 且 |a|=1, |b|=2, |c|=3，则(a+2b-c) =.7. 已知 |a|=1,

50、 |b|=J2 , (1)若 a / b，求 a b;若 a、b 的夹角为 6 0 ° 求 |a+b|;若 a-b 与a垂直，求a与b的夹角.8. 设m、n是两个单位向量，其夹角为6 0°,求向量 a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9. 对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、 垂直的几何判断，会证明两向量垂直， 以及能解决一些简单问题

51、 教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，弓I导学生注意 数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA = a , OB = b，则Z AOB = 0 （0 <0<n叫a与b的夹角2. 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0，则数量ai|b|cos7叫a与b的数量积，记作 a b，即有a b = |a|b|cos”二（o.并规定

52、o与任何向量的数量积为o.3“投影”的概念：作图定义：|b|cosr叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当7为锐角时投影为正值；当汹钝角时投影为负值；当二为直角时投影为0;当二=0时投影为|b|;当二=180时投影为-|b|.4. 向量的数量积的几何意义:数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosyi的乘积.5. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = a e =|a|cosv2 a_b二 a b = 03 当a与b同向时，a b = |a|b|;当a与b反向时，a b = -|a|b|.特别的a a = |af或Ia

53、 I二a a* a b 亠4 cost =; 5 |a b| < |a|b|a|b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1 .交换律：a b = b a证：设 a, b 夹角为 v,贝U a b = |a|b|cosr, b a = |b|a|cosv-a b = b a2. 数乘结合律：( a) b = (a b) = a (，b)证：若> 0, ( a) b = |a|b|cos=, (a b) = |a|b|cosn, a ( b) = |a|b|cos ,若 < 0, ( a) b =| - a|b|cos(二七)=- |a|b|(_cos = |a|b|cosv, (a b) =，|a|b|cosv a ( b) =|a| b|cos(T)=先 |a|b|(-cost) = |a|b|cosn3. 分配律：(a + b) c = a c + b c在平面内取一点 0 ,作OA = a , AB = b , OC = c , / a + b (即OB )在c方向上的 投影等于a、