抽象代数基础2.6整环的因子分解教案

1、«抽象代数基础教案授课章节2.6整环的因子分解任课教师 及职称xx教授教学方法 与手段讲授法、板书课时安排6使用教材和 主要参考书抽象代数基础唐忠明编高等教育出版社2006 , 4近世代数杨子胥编高等教育出版社 2000 , 7教学目的与要求：明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环教学重点，难点：主理想整环、唯一分解整环、欧式环之间的关系授课时间第 30次课2教学内容：2.6整环的因子分解定义1 设R是一个整环(1) R中的(乘法)可逆元称为是 R的单位(2) 设a,b R ,若存在c R使a=bc,则称b整除a,记为b| a。(3) 设 a,b R ,若a|b ,

2、ba ,则称a与b相伴。命题1 a与b相伴存在单位 使a b证明： 由 ab , b a 知存在 c, d 使 b=ac, a=bd,于是 a=acd,若 a=0,则 b=ac=0,故 a=b；若a 0,则由a=acd消去a得cd=1,所以c, d为R的单位，因而总存在单位使a b。若有单位 使a b ,则b1a ,所以a| b , b|a ,即a与b相伴。定义2设R是一个整环，(1) 设a R且a 0,则R中的单位及a的相伴元都是a的因子，称为是a的平凡因子，a的非 平凡因子称为a的真因子。(2) 设a R且a 0,若a不是单位且没有非平凡的因子，即a的因子只有单位和 a的相伴元，则称a是既

3、约元。命题2设R是整环，则(1) a是单位(a) =R(2) a|b (b) (a)(3) a与 b相伴(a) = (b)(4) b是a的真因子 (a) (b) R(5) a是既约元(a)是非零的极大主理想，即不存在主理想( b)使(a)(b) R命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则(a) = (b),于是得证。定义3设R是整环，p R, p 0且p不是单位，如果对任意的a, b属于R,由p ab必有p a或者p b ,则称p是素元。例如：在Z中，素数是素元，Fx中，不可约多项式是素元。命题4设R是整环，p R, p 0且p不是单位，则p是素

4、元(p)是素理想定义3设R是整环，如果 R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则 I是素理想I是极大理想命题6 设R是主理想整环，pR是非零非单位的元素，则p是素元a rp2 pn qq2 qm R,i 1,2, ,n,qi,j 1,2, ,m p是既约兀国自，,an R,证明： 已证， 假设p是既约元，我们来证明(p)是极大理想。设I是R的一个理想使I (p),教学内容：由于R是主理想整环，所以存在 a R使得I= (a),因而存在b R使p=ab,而p是既约元，所以a为单位或者b为单位，若b为单位则(p) = (a)

5、,矛盾，所以a必为单位，从而I= (a) =R,所以 (p)是R的极大理想，从而也是素理想，从而 p是R的素元。定义4设R是整环，假设从R的非零兀的集合 R到非负整数集合有一个映射使得对 a, b R,b 0都存在q,r R使a qb r ,其中r 0或(r)(b) ,(*)则称(R,)是欧式环，简称R是欧式环，简称 R是欧式环，而算式(*)称为欧式除环。定理1欧式环一一定是主理想整环证明：设(R,)是欧式环，I是R的任意一个理想，若I=0,则显然I是主理想。假设I 0,则集合 (a)|a I,a 0非空，且存在最小数，设a I,a 0使得(a)是这个集合中的最小数，则对 b I ,b 0都有

6、(a)(b),下证 I= (a)。对 b I ,由于R是欧式环，所以存在q, r R使b=qa+r,其中r=0或者(r)(a),易证r=0,从而b qa (a),因而I= (a)。所以R是一个主理想整环。定义5设R是一个整环，如果 R满足下列条件(1)(存在性)R中的每个非零非单位的元素都可以表示成一些既约元的乘积的形式：a p1P2pn其中pi，i 1,2, ,n都是既约元(2)(唯一性)若 a PiP2 pn qq2 qm，其中 pi,i 1,2, ,n,qj,j 1,2, ,m 都是既约元，则必有m=n且适当调整顺序后有 pi与qi相伴，则称R是一个唯一分解整环。命题7 R是一个唯一分解

7、整环， p R是非零非单位的元素，则 p是素元 p是既约元定理2主理想整环是唯一分解整环于是，欧式环，主理想整环和唯一分解整环之间的关系是：欧式环 主理想整环 唯一分解整环定义6设R是一个整环，a1,a2, ,an R,d R(1) 如果d|a,i 1,2, ,n，则称d是a1，a2, ,an的一个公因子(2) 如果d是a1,a2, ,an的公因子而且若 d也是a1,a2, ,an的一个公因子则必有 d|d,则称d是a1，a2, , an的一个最大公因子。定理3唯一分解整环中的任意两个元素都有最大公因子命题8设R是一个主理想整环，则 d是a, b的最大公因子(a) + (b) = (d),而且

8、对a, b的任意最大公因子(a, b),存在s,t R使(a, b) =sa+tb证明： 若d是a, b的最大公因子，则 d|a且d |b ,于是(a)(d)且(b)(d),从而 (b) (d)。由于R是主理想整环，所以存在di R使(a) (b) (di),则(a) (di),(b) (di), 即di|a,d2|b,而d是a,b的最大公因子，所以di|d,于是(d)(di),即(d)(a) (b),所以(a) (b) (d)假设(a) (b) (d),则由(a) (d), (b) (d)得 d |a且 d| b。又若 d a且 d | b ,则(a) (d ), ' . . . .(b) (d ),于是(a) (b) (d ),故(d) (d ),则d d ,所以d是a, b的一个最大公因子。由于 (a,b