随机变量及其分布(二)

1、2.1 随机变量及其分布（二）连续随机变量的概率密度函数(Probability Density of Continuous Random Variable)连续随机变量的一切可能取值充满某个区间，在这个区间内有无穷不可列个实数，因此，描述连续随机变量的概率分布不能再用分布列的形式表示，而是改用概率密度函数表示。定义 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意，有则称为连续随机变量，为连续分布，为的概率密度函数，简称密度函数。2.1.4.1密度函数的基本性质（1）非负性：。（2）正则性：。以上两条是判定一个函数是否为某个随机变量的密度函数的充要条件。2.1.4.2（

2、绝对）连续分布函数的基本性质（1）在整个实数域上都连续。因为对任意点的增量，相应的分布函数的增量有 （2）在的导数存在的点上，有 （至多有一个Lebesgue零测集除外） 是（累积）概率函数，其导数是概率密度函数，由此称为概率密度函数。（3）对应的密度函数不唯一。因为在若干点上改变密度函数的值并不影响分布函数的值。 例 当随机变量的密度函数分别为下面两个函数时 有 可见两函数在概率意义上是无差别的，在此称函数是“几乎处处相等”，其含义是：它们不相等处的点组成的集合的概率为零。2.1.4.3 连续随机变量的性质（1）连续随机变量在上任意一点的概率恒为零，即或 （2）且，有2.1.4.4 分布函数

3、的分类（了解）根据实变函数论知识，定义在上的有届非降函数，除了阶梯函数 ，绝对连续函数之外，还有一类所谓的奇异连续函数。由Lebesgue分解理论知，任何一个一元分布函数都具有如下形式的分解式：其中，分别为阶梯函数，绝对连续函数，奇异连续函数，且。当中至少有两个不为零时，称为混合分布函数。故分布函数有四类： 阶梯函数，绝对连续函数，奇异连续函数，混合分布函数。例2.1.7（课堂练习）判定下面的函数是不是某个随机变量的分布函数。 解 函数的图形如右图，很明显的可以看出在实数域上，既不是阶梯函数也不是连续函数，所以它是既不离散也不连续得分布。例2.1.8 已知随机变量的密度函数为试求的分布函数。解

4、 （1）当时，（2）当时，（3）当时，（4）当时，所以，随机变量的分布函数为 这个分布被称为辛普森分布或三角分布，其密度函数和分布函数的图形如下所示：例 某型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度函数现有一大批此种元件（各元件工作相互独立），问（1） 任取1只，其寿命大于1500小时的概率是多少？（2） 任取4只，4只寿命都大于1500小时的概率是多少？（3） 任取4只，4只中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？（4） 若已知已知元件的寿命大于1500小时，则该元件的寿命大于2000小时的概率是多少？解 （1）（2）（3）（4）例 向区间上任意投点，用表示这个点的坐标。设这个点落在中任意小区间的概率与这个区间的长度成正比，而与小区间的位置无关，求随机变量的分布函数和密度函数。解 （1）当时，由于是不可能事件，所以 （2）当时， （3）当时，所以，随机变量的分布函数为由连续分布函数的性质知：故的分布函数为所以 （1）或时，（2）时，（3）和处，可以取任意值，一般就就近取值，这样不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是，随机变量的密度函数为这个分布就是区间上的均匀分布(Uniform distribu