人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示教案(3)

1、2.3.1平面向量基本定理及坐标表示一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解平面向量基本定理及意义，掌握正交分解下向量的坐标表 示.认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法.（二）学习目标1 .了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量基本定理.2 .了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直.3 .掌握平面向量的正交分解及坐标表示， 理解平面向量与坐标之间的对应关系， 为 用坐标进行向量的运算奠定基础.（三）学习重点平面向量的基本定理，正交分解下向量的坐标表示 .（

2、四）学习难点平面向量的基本定理的理解与应用.二、教学设计（一）课前设计1 .预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：（1）平面向量基本定理：如果e, e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对 于这一平面内的 任意 向量a,可且4号一对实数九，%，使a=ei + he2.我们把不共线的向量e , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.（2）向量夹角：已知两个 非零 向量a和b 作OA=a,-OB=b,则/AOB=8叫 作向量a与b|j勺夹角.向量夹角的取值范围是0*94180当a与b同向时,夹角日 =02；当a与b反向时，夹角日=出2如果向量a与b的夹角是空，我们说a与 b垂直记作

3、 a I b.（3）把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量、叫做把向量正交分解.在平面直角 坐标系中，分别取x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底.对于平面内 的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y使得a = xi +yj . 则把有序数对(x, y 叫做向量a的坐标，记作a= (x, y).2 .预习自测(1)只有不共线的两个向量可以作为基底()【答案】，(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一的()【答案】，(3)若e, e2是同一平面内的两个不共线向量，则九e+%e2 (九，九2为实数)可以表示该平面内所有向量()【答案】

4、V(4)已知向量a与b的夹角为-,则向量2a与一3b的夹角为()3A-B-C.21D(【答案】C.(5)已知基向量i= (1,0), j= (0,1), m=4i j,则m的坐标是()A.(4,1)B.( 4,1)C.(4, 1)D.(-4-1)【答案】C(二)课堂设计1.知识回顾(1)实数与向量的积：实数 九与向量a的积是一个向量，记作：Ka .阳=|111al ；儿0时Ka与a方向相同；儿0时Ka与a方向相反；九=0时九a=0.(2)运算定律：结合律：M也)=(汜a ；分配律：(九+ Na =?a + Na ,九(a + b)=7"a十九b.(3)共线向量基本定理：向量b与非零向

5、量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数九，使b = za .2 .问题探究探究一 平面向量基本定理 活动感性体会如图，e, e2是平面内两个不平行的向量，请用 ei , &表示AB、CD、EF、GH .77G777 -T*,我们容易得到： AB=2e,+3e2, CD = -e,+4e2 , EF =4e1 4e2 , GH=2e1+5e2.【设计意图】让学生从计算特例入手，感性体会 活动升华理解给定平面内任意两个向量ei, e2 ,平面内任一向量是否都可以用形如 兀e+，2 e2的向量表小呢？如图（1）,设ei , e2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量，请通

6、过作图探究a与e, e2之间的关系.如图（2）,在平面内任取一点 O,作OA =e, , OB =62 , OC =a .过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线，与直线 一、，八、 :""*OB父于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数 K3使彳# OM fe ,ON=% e2 ._L 一 ，一，一 上、一，、由于OC=OM +ON，所以a=10+%e2 .也就是说，任一向量a都可以表小成2iei+力e2 的形式.由此可得: 平面向量基本定理：如果 与，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实

7、数a ，1 e1 + 2e e2 .【设计意图】从特殊到一般 .活动唯一性及普遍性思考：1）若上述向量。，e2, a都为定向量，且。，外不共线，则实数九，%是否存在？是否唯一？2）若向量a与。或e2共线，a还能用九e +九%表示吗？3）平面向量基本定理中，不共线向量e ,色叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性，并进一步探究几个关键点：1）我们把不共线向量 ei , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2）基底不惟一，关键是不共线；3）由定理可将任一向量 a在给出基底ei , e

8、2的条件下进行分解；4）基底给定时，分解形式惟一 .九，%是被a, e , e2唯一确定的数量. 活动 巩固基础，检查反馈例1如果e- e2是平面a内两个不共线向量，那么下列说法中不正确的是 （）a=7e+电（I 口R R）可以表示平面ot内的所有向量；对于平面口内任一向量a,使a = g十2的实数对5*）有无穷多个；若向量入e +电与ea共线，则 勺=提；12 一 2若实数九N使得+ %2 = 0,则九=N = 0 .A.B.C.D.【知识点】平面向量基本定理.九九2 = 0或【解题过程】根据平面向量基本定理知：是真命题，是假命题；对于，当从内=0时不一定成立，应为 九内%乩=0 ;对于，若

9、 九,N有一个不为0,不妨设九#0,则：劭=©2；所以0,色共线，矛盾. 九【思路点拨】抓住基向量 e, e2不共线和平面向量 a用基底e , e2表示的唯一性.【答案】B同类训练下面说法中，正确的是 （）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量 a和一组基底e ,%，使a = %e + Na成立的实数对一定是唯一的.A.B.C.D.【知识点】平面向量基本定理.【解题过程】根据平面向量基本定理知：错；正确；正确；正确.【思路点拨】由定理知可作为平面内所

10、有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项.【答案】B例2已知|a|=|b =2,且a与b的夹角为60° ,则a+b与a的夹角是,a- b与a的夹角是:【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义.【解题过程】如图，-t>作OA =a, OB =b,且/ AOB=60° ,以OA、OB为邻边作平行四边形 OACB,则4 IOC=OA+OB =a+b, BA=OAOB =a b , BC =OA =a，因为 |a| =|b = 2,所以 AOAB 为 正三角形，所以/ OAB=60。=/ ABC,即ab与a的夹角为60。；因为|a| =出

11、，所以平行四边形OACB为菱形，所以 OC，AB, / COA= 90 -60 =30 ,即a+b与a的夹角为30°【思路点拨】根据向量的平行四边形法则，以向量a和向量b做平行四边形，再根据向量加减几何意义进行求解.【答案】30。，60。.同类训练如图，平面内有三个向量"Oa > OB、OC ,其中OA与OB的夹角为120° , OA与值为W的夹角为30。，=OB =1 ,若 OC =£OA+NOB(%RWR),则儿+ N 的【知识点】向量的夹角、线性运算性质及意义.> .【解题过程】过c足WAlTOB的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形

12、.由/ BOC= 90° , / AOC= 30° ,OA以九+ N = 2+4=6.=1 ，可得平行四边形的边长为2和4 ,所OC用向量 一八 1 """' """j十/八一,“ 一、/口” 上/” ” 【思路点拨】过 C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将OA表示即可.活动强化提升，灵活应用1例3如图，在 ABC中，点M是AB的中点，且 AN = NC , BN与CM相较于点E,设AB =a , 2AC =b ,试用基底a , b表示向量AE .【知识点】平面向量线性运算、基本定

13、理及三点共线定理.【解题过程】由题知:1-111AN =AC =b, AM 3AB = a.由N, E, B三点共线，知存在实数1Tm 满足 AE =mAN +(1 -m jAB =-mb + (1 -m ja .由 C, E,3M三点共线，知存在实数 n满足AE =mAM 1-n/小十1 -m =a, b作为一组基底，所以 V3m = 一，54【思路点拨】利用 N, E, B三点共线与C, E, M三点共线分别表示 AE .再结合点 M是AB的中1点，且AN =NC求解.221AE = a +b .同类训练如图,在 OAB中，F =a,F =b, M、N分别是边OA、OB上的点，且=a ,

14、ON = 31-* .*-b,设AN与BM相交于点P,请用向量a , b表示AE . 21 .-(1 -m a +mb ,【解题过程】由图可知：OP=OM +MP , OP=ON +NP .设MP=mMB , NP = nNA ,则-1 _r4-11OP =OM mMB =-a m lb a 33OPTON nNAtlb n a-lb1=_ 1 -n2131-m = n,3+na .因为a, b不共线，所以1-(1 _n)2二m.2 m - 解得 51 n 二一.5 ,)12，所以 OP=la+2b.55hT"oP ,然后再将一oP用向&"OA itoB表【思路点拨

15、】根据题意，用mP、一nP、oM、oN表 示即可.12【答案】OP =- a十一b .55探究二 平面向量的正交分解及坐标表示 活动 不共线的向量有不同的方向.对于两个非零向量 a和b,如图，格qA =a , oB =b .为了反映这两个向量的位置关系，称 08=0(0°<0<180°)为向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90° ,则称向量a与b垂直，记作a± b,互相垂直的两 个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？由平面向量基本定理可知：互相垂直的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底.活动如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为 G

16、,下滑力为F1,木块对斜面的压力为F2.根据物理知识我们知道 G = F+F2,叫做把重力G分解.类似物理中力的分解,把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解,如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30° ,且冏 =4,以向量i、j为基底，向量a如何表示？aO i【设计意图】通过思考，逐步引导学生体会平面向量基本定理的应用.在不共线 的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，体会这样给问题研究带来的方便. 活动在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数

17、 x、y,使得 a= xi + yj.我们把有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a=(x, y).其中x叫 做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量 a的坐标表示.思考：(1) x、y的几何息义如何？(2)相等向量的坐标必然相等，作向量 OA = a,贝U oA = (x, y),此时点A是坐标是什么？【设计意图】通过思考，体会平面内的向量与坐标建立一一对应，从而实现向量的“量化”，使我们在使用向量工具时得以实现“有效运算” .活动例4如图，分别用基底i、j表示向量a, b, c, d并求出它们的坐标.【知识点】平面向量正交分解及坐标表示.【解题过程】由图可知a =Aa

18、+Aa2=2i +3j ,所以a =(2,3).同理可得: b = -2i +3j=(-2,3), c = -2i -3j=(-2,与)，d =2i -3j = (2-3).【思路点拨】根据平面向量基本定理用i、j进行表示，再根据平面向量的坐标表示出来即可.【答案】a=(2,3), b= (2,3), c= (-2,-3), d= (2,-3 ).同类训练 如图，已知长方形 ABCD的长为4,宽为3,建立如图所示的平面直角坐标系.i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求 AC和BD的坐标.【知识点】平面向量正交分解及坐标表示.【解题过程】由图可知 CB± x轴，CD±

19、; y轴，因为AB=4, AD=3,所以AC =4 i +3 j,所以AC =(4,3 ).又 BD =BA+AD = AB +AD ,所以 BD = Yi +3 j ,所以 BD =( Y,3 【思路点拨】 首先利用平面向量基本定理，将 AB、AD用i、j表示出来；再利用三角形法则和平行四边形法则计算，最后根据坐标表示即可.【答案】AC =(4,3), BD=(Y,3 3.课堂总结知识梳理(1)平面向量基本定理：如果e, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数%,使a=九0+32 .不共线的向量e马叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量夹

20、角：已知两个非零向量 a和b,作iA=a,-OB=b,则/AOB=a叫 作向量a与b的夹角.向量夹角的取值范围是0°<6<180SJ1 a与b同向时，夹角0 = 00;当a与b反向时，夹角e = 180如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b 垂直记作a± b .(3)把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.在平面直角坐 标系中，分别取x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底 对于平面内的 一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y使得a = xi +yj则 把有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a=

21、 (x, y).重难点归纳(1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同 时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.(2)向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180° ,垂直向量的夹角是 90° .(3)向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.(三)课后作业基础型自王突破1 .已知e , e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ()A. e 与-e2B. 3e 与 2e2C

22、. e +e2与 e -e2D . e 与 2e【知识点】基底的概念.【解题过程】e与2e共线，故不能作为基底.【思路点拨】作为基底的两个向量不共线.【答案】D.2 .已知向量a与b的夹角为则向量2a与一3b的夹角为()3A. "B. |，2F口. 5F与一3b的【知识点】向量的夹角.【解题过程】2a与a同向，3b与b反向；a与b的夹角为三，则 3夹角为n-=. 33【思路点拨】理解向量夹角的定义.【答案】C.L E / r-'-,、3.如图，矩形 ABCD中，若BC=6e1，DC =4 %,则OC等于()A .3 q+2e2B .3q 2e2C.2 e1+3e2D .2e1

23、3e2【知识点】平面向量基本定理及意义.【解题过卜】 OC =1 AC = J(AB +Bc=1(DC +BC ) = 3e1 + 2e .【思路点拨】用 dC、bC表示Oc =- AC .2【答案】Ax轴、y轴方4 .已知向量a在射线y =x(x >0 )±,且起点为坐标原点 O,又|a| = J2 ,取分别与 向相同的两个单位向量 i, j作为基底，则向量 a的坐标为()A. (1,1)B. (-1-1 ) C. (V27万)D.(-五,7万)【知识点】平面向量的正交分解与坐标表示.【解题过程】由题 a =«5 cos45 =)+ (<2sin45°

24、; )j=i + j= (1,1).【思路点拨】利用正交分解.【答案】A5 .已知向量a =2e +e2 , b=-e1 +k&且a与b共线，则实数k=【知识点】平面向量基本定理、共线向量基本定理.2= 1【解题过程】依题意，设a=Kb(MR ),则2e1十金二九(-Q+ke2 ),所以七 ,解得1 = 'k.【思路点拨】向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数6 .已知a =e +e2 , b =262 , c = -2e1 +4e2 ( Q , e2是同一平面内的两个不共线向量)，则用a, b表示c为【知识点】平面向量基本定理. =2,解得,2,2.所以 c

25、 =2a -2b【解题过程】设 c =2.a + Nb,贝U: -2e1+4e2=九+e2)+N(28 -e2 ),即一,-2=， 2、c =(儿+2N R +(九一肾6 .所以，4 - - '.【思路点拨】根据平面向量基本定理，将 a, b看作基底，表示向量c.【答案】c =2a -2b .能力型师生共研7 .如图，在 AABC中，已知 D是BC延长线上一点，若 BC =2CD，点E为线段 AD中点,Tae=F3AC-) 一 41 C.一3【知识点】向量共线、三角形法则，平面向量基本定理.1)_ _ ) 3-【解题过程】AE=1AD, AD=BD-BA, BD =-BC , BC=A

26、CAB,代入可得 22T ae 工！ aC1b2 _2【思路点拨】利用向量三角形法则，以及向量共线，代人化简即得.【答案】B8.如图,OC =2OP , AB =2AC , OM =mOB ,工，3 一ON =nOA ,若m =_ ,那么n等于（）8D.453 C.42B.31A . 一2【解题过程】因为 AB=2AC，所以C为AB中点,OC =PA。汗 后Oc.zOP4,-1_ 1 1_T-1 _L ,N三点共线，所以OM =mOB , ON =nOA，所以 OP = ON +OM .因为 M、P、4n 4m11 , .334 1 ,而 m ,所 IiX n .4n 4m84, m3 - m

27、m ' 士一八曰-【思路点拨】利用 ON、OM表示向量OP ,再利用M、P、N二点共线.【答案】C探究型多维突破9 .已知A、B、C是平面上不共线的三点，。为4ABC的外心，D是AB的中点, 动点下制足OP =1 （2 2九）oD +（1 +2KJOC飞九3r）,贝U点P的轨迹一定过 ABC的A .内心B.外心 C.垂心D.重心【知识点】三角形五心、向量共线.【解题过程】因为 A、B、C是平面上不共线的三点，O为4ABC的外心，D是 1AB 的 中点， 动点 P 酒足 OP=3l（2 2九）OD+（l + 2九）OC I；九uR）, 且 1（2-2人）+1（1+2九）=1 ,所以P、C

28、、D三点共线，所以点P的轨迹一定过 ABC 的重心.【思路点拨】从三点共线的充要条件入手.【答案】D.10 .如图，已知 AABC的面积为14cm2, D、E分别为边 AB、BC上的点，且 AD:DB = BE:EC = 2:1 ,求 APC的面积.【知识点】平面向量基本定理、【解题过程】 设AB =a , BC =b ,IDP1-' DC 二1a b36, 74.72S apc -14 - 8 - 2 - 4 cmA向量共线及线性运算.w-aE =a +2b, dCJa+b.因为点 A、P、E 共线，所且 332以存在实数九和N使得AP = ?,AE=九a十b ,32 1 , /2 1.).»=4","又因为 AP =AD+DP =. +N a + Nb,所以3 3 ，得3 33 _ .42Sab =7 Sbc =8( cm ),C6S pbc = 141 - =2,7【思路点拨】先选F=a=b为基底，表示AE、F ,再利用三点共线进行解【答案】S apc =4 cm