高职高等数学 第十二章 无穷级数第五节

1、 因为 u (t 是周期为 2p 的偶函数，由（7）可知， u (t 的傅立叶系数为 an = 2 p 2 p t 1 p 1 1 u (t cos ntdt = sin cosntdt = sin(n + t - sin(n - tdt p 0 p 0 2 p 0 2 2 1 1 1 4 = - =- (n = 0,1, 2,L 2 p n + 1 n - 1 (4n - 1p 2 2 bn = 0 (n = 1, 2,L 将求得的 an 代入余弦级数（7）得 u (t 的展开式为 u (t = 41 1 1 1 1 - cos t - cos 2t - cos 3t - L - 2 cos

2、 nt - L p 2 3 15 35 4n - 1 三、函数展开成正弦级数或余弦级数 在实际应用中，有时还需要把定义在区间 0, p 上的函数 f ( x 展开成余弦级数或正弦 级数，简称为奇展开或偶展开。 这类展开问题可以按如下的方法进行：设函数 f ( x 定义在区间 0, p 上，并且满足收 敛定理条件。在开区间 (-p , 0 内补充函数 f ( x 的定义，得到定义在 ( -p , p 上的函数 F ( x ，使它在 (-p , p 上成为奇函数（偶函数） 。按阵中方式拓展函数的定义域的过程称作 奇延拓（偶延拓） ，然后将奇延拓（偶延拓）后的函数展开为傅立叶级数，这个级数必定是 正

3、弦级数（余弦级数） ，再限制 x 在 (0, p 上，此时 F ( x f ( x ，这样便得到 f ( x 的正弦 级数（余弦级数）展开式。 例 3 将函数 f ( x = x + 1, x 0, p 分别展开成正弦级数、余弦级数。 解： （1）奇展开：由（6）的傅立叶系数为 沈 阳 工 程 学 院 (- t + 2 p 2 p 2 x cos nx sin nx cos nx bn = f ( xsin nxdx = ( x + 1 sin nxdx = - + 2 - 0 0 p p p n n n 0 2 p +2 2 p n = (1 - p cos np - cos np = np

4、 - 2 n 代入正弦级数（6） ，得 p (n = 1,3, 5,L (n = 2, 4, 6,L x +1 = 2 p 1 p (p + 2 sin x - sin 2 x + (p + 2 sin 3x - sin 4 x + L p 2 3 4 (0 x p 在端点 x = 0 及 x = p 处，级数的和为零，级数不收敛于函数 f ( x 。 （2）偶展开：由（7）得傅立叶系数为 2 p 2 x sin nx cos nx sin nx an = ( x + 1 cos nxdx = + + 2 0 p p n n2 n 0 0, 2 = 2 (cos np - 1 = 4 np -

5、 , n 2p a0 = 2 p ( x + 1dx = p + 2 p 0 (n = 2, 4, 6,L (n = 1, 3,5,L 代入余弦级数（7）得 x +1 = p 4 1 1 +1 - ( cos x + 2 cos3x + 2 cos5x + L 2 p 3 5 和函数图像如图所示 沈 阳 工 程 学 p 院 (0 x p 四、周期为 2l 的傅立叶级数 对于周期为 2l 的函数的傅立叶级数， 利用前面对周期为 2p 的函数的傅立叶级数讨论的 结果，经过自变量的变量代换（令 x = l t） ，可得到如下结论： p 设周期为 2l 的周期函数 f ( x 满足收敛定理的条件，则它

6、的傅立叶级数展开式为 f ( x = 其中系数 an , bn 为 a0 np x np x + (an cos + bn sin 2 n =1 l l （8） 1 l np x f ( x cos dx l -l l 1 l np x bn = f ( xsin dx l -l l an = 其中 f ( x 为奇函数时 (n = 0,1, 2,L (n = 1, 2,3,L f ( x = bn sin n =1 其中系数 bn 为 bn = 其中 f ( x 为偶函数时 其中系数 an 为 将函数 f ( x 展开为傅立叶级数。 解：函数满足收敛定理条件，且 l = 3 。由（9）得，傅

7、立叶系数为 沈 例 4 设 f ( x 是周期为 6 的周期函数，它在 -3, 3 上的表达式为 阳 工 f ( x = 2 l np x f ( xsin dx l 0 l 程 np x l 学 院 （9） （10） （11） （12） （13） (n = 1, 2,3,L a0 np x + an cos 2 n =1 l an = 2 l np x f ( x cos dx l 0 l (n = 0,1, 2,3,L 0, -3 x 0 f ( x = c, 0 x 3 （常数 c 0 ） 1 3 np x np x c an = c cos dx = sin =0 (n 0 0 3 3

8、 3 np 0 a0 = bn = 1 3 cdx = c 3 0 1 3 np x np x c c sin dx = - cos 3 0 3 3 np 0 3 3 2c c , (n = 1, 3,5,L = (1 - cos np = np np 0, (n = 2, 4, 6,L 将求得的系数 an , bn 代入（8）式得 f ( x = c 2c p x 1 3p x 1 5p x + sin + sin + sin + L (- x +; x 0, 3, 6,L ; 2 p 3 3 3 5 3 c ，和函数的图像如图所示。 2 在 x = 0, 3, 6,L 处收敛于 -1, -p x 0 练习：将周期